历算全书 - 第 187 页/共 206 页

凡二十等面体内容立圆　内又容立方立方之角切立圆以切二十等面之面故立圆所容之立方与二十等面内所容之立方必同大 　　凡二十等面体内容立圆　内又容十二等面体体内又容立方此立方之角切十二等面之角以切立圆而切于二十等面之面皆同处 　　凡诸体能相容者其相容之中间皆可容立圆此立圆为外体之内切圆亦为内体之外切圆 　　惟八等面外切二十等面十二等面四等面及圆灯其中间难着立圆何也八等面之切圆灯以尖切尖而其切四等面十二等面二十等面则以尖切边故其中间不能容立圆 　　其他相切之中间能容立圆者皆以内之尖切外之面凡诸体在立方内即不能外切他体惟四等面在立方内能以其角同立方之角切他体故诸体所容四等面之边皆与其所容立方之面为斜线 　　凡诸体相容其在内之体为所容其在外之体为能容能容与所容两体之相切必皆有一定之处 　　凡相容两体之相切或以尖或以边【即体之棱】或以面浑圆在立方内为以面切面其相切处只一防皆在立方每面之中央【立方六面相切凡六防】 　　立方在浑圆内为以尖切面【立方之角有八故相切有八防】有一防不相切者即非正相容也 　　浑圆在诸种体内皆与在立方内同谓其皆以面切诸体之面而切处亦皆一防也然其数不同如四等面则切防有四方灯则切防有六八等面则切防有八十二等面及圆灯则切防有十二二十等面则切防有二十其切防之数皆如其面之数而皆在其面之中央也方灯则以其方面为数圆灯则以其五等边之面为数而不论三角之面者何也三角之面距体心逺故不能内切立圆也 　　诸体在浑圆内皆与立方在浑圆内同谓其皆以各体之尖切浑圆之面也其数亦各不同如四等面则切防亦四方灯则切防十二八等面则切防六十二等面则切防二十二十等面则切防十二圆灯则切防三十皆如其尖之数也 　　四等面在立方内以边棱切立方之面四等面有六棱以切立方之六面皆徧其四尖又皆切于立方之角十二等面二十等面在立方内皆以其边棱切立方之面两种各有三十棱其切立方只有其六以立方只有六面也 　　此三者为以楞切面 　　八等面在立方内以尖切面凡六防　圆灯在立方内亦以尖切面有六防皆在立方面中尖与八等面同方灯在立方内则以面切面皆方面也方灯之方面六亦与立方等也其十二尖又皆切于立方之十二边楞皆在其折半处为防 　　十二等面与二十等面逓相容皆以内体之尖切外体之面 　　十二等面在八等面内以其尖切八等面之面体有二十尖只用其八也 　　方灯在八等面内亦以面切面而皆三角面方灯之三角面有八数相等也又其尖皆切于八等面各棱之中央折半处棱有十二与灯之尖正等也 　　圆灯在十二等面内以面切面皆五等边平面也圆灯体之五等边平面原有十二故也又皆以其尖切十二等面之边楞而皆在其中半 　　圆灯在二十等面内亦以面切面皆三角平面也圆灯体之三角平面原有二十故也又皆以其尖切二十等面之边楞而皆在其中半 　　问十二等面与二十等面体势不同而圆灯之尖皆能切其楞边何也曰圆灯有三十尖而两等面体皆有三十楞故也 　　凡能容之体皆可改为所容之体递相容者亦可递改如立方容圆即可刓方为圆浑圆容方即可削圆为方递相容者如立方内容浑圆圆内又容十二等面体体内又容二十等面即可递改 　　凡所容之体皆可补为能容之体皆以数求之 　　如立方外切立圆以其尖角则求立方心至角之线为立圆半径 　　凡以面切面者其情相通 　　如方灯以其方面切立方面又能以其三角切八等边面则此三者皆方斜之比例也 　　又如圆灯以其五等边面切十二等面又能以其三角面切二十等面则此三者皆理分中末之比例也若反用之而令立方在方灯之内则立方之尖所切者必三角面若八等面在方灯之内则其尖所切又必方面也若令十二等面在圆灯内则所切者必三角面而二十等面居圆灯内所切者又必五等边面也故曰其情相通 　　诸体相容 　　凡立圆立方皆可以容诸体 　　凡立圆内容立方立方内又可容立圆两者不杂他体可以相生而不穷 　　凡立圆内容立方此立方内又可容四等面四等面又可容立圆三者以序进亦可以不穷 　　凡立圆内容立方又容四等面四等面在立方内以其尖切立圆与立方尖所切必同防 　　凡立圆容四等面在立圆所容立方内必以其楞为立方面之斜依此斜线衡转成圆柱形必为立圆之所容而此柱形又能含立方 　　外圆者柱之底若面内方者 　　立方之底若面直而斜者四 　　等面之边 　　凡四等面体在立圆内任以一尖为顶以所对之面为防旋而作圆锥此锥体必为立圆之所容而不能为立方之容 　　此两体虽非正相容体然皆有法之体 　　凡立方内可容八等面八等面又可容立方而相与为不穷 　　凡立方有六等面八尖八等面有八等面六尖故二者相容则所容体之尖皆切于为所容大体之面之中央而等 　　凡立方内容立圆此立圆内仍容八等面其八等面尖切立圆之防即可为切立方之防 　　八等面内容立圆此立圆内仍容立方则立方尖切立圆之防亦即可为其切八等面之防 　　凡立圆可为诸等面体所容其在诸体内必以圆面一防切诸体之各面此一防皆在其各等面之中心而等而徧 　　凡八等面内容立圆仍容立方　立方内仍容四等面而四等面以其角切立方角即可同立方角切立圆以切八等面叠串四体皆一防相切必在八等面各面之中心 　　立方设一百内容二十等面边六十一【八○三三九八】内又容立圆也十三【四一七二】 　　简法取内容立圆径幂三之一开方得内容小立方再以小立方为理分中末之全分而求其大分得内容十二等面边 　　凡十二等面二十等面皆能为立圆之所容皆以其尖切浑圆凡十二等面二十等面皆能容立圆皆以各面之中心一防正与浑圆相切 　　凡十二等面与二十等面可以互相容皆以内体之尖切外体之各面中心一防 　　凡十二等面内容浑圆浑圆内又容二十等面与无浑圆者同径二十等面内容浑圆浑圆内又容十二等面亦与无浑圆同径何也浑圆在各体内皆以其体切于外体各面之中心防而此防即各内体切浑圆之防故也以上皆可以迭串相生而不穷 　　凡十二等面内容浑圆浑圆内又容十二等面亦可以相生不穷 　　二十等面与浑圆递相容亦同 　　凡立方内容十二等面皆以十二等面之边正切于立方各面之正中凡六皆遥相对如十字 　　假如上下两面所切十二等 　　面之边横则前后两面所切 　　之边必纵而左右两面所切 　　之边又横若引其边为周线 　　则六处相交皆成十字 　　立方内容二十等面边亦同 　　凡各体相容皆以内之尖切 　　外之面惟立方内容四等面 　　则以角而切角立方内容十 　　二等面二十等面则以边而 　　切面 　　厯算全书卷五十七 <子部,天文算法类,推步之属,历算全书> 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷五十八 　　宣城梅文鼎撰 　　防何补编卷四 　　方灯 　　凡灯形内可容立方立方在灯体内必以其尖角各切于八三角面之心 　　如图 　　灯体者立方去其八角也平 　　分立方面之边为防而联为 　　斜线则各正方面内成斜线 　　正方依此斜线斜剖而去其 　　角则成灯体矣此体有正方 　　面六三角面八而边线等故 　　亦为有法之体 　　凡灯体内可容八等面八等面在灯体内又以其尖角各切于六方面之心 　　凡灯体内可容立圆此立圆内仍可容八等面此八等面在立圆内可以各角切立圆之防同防于灯体之六方面而成一防 　　凡灯体容立圆其内仍可容诸体然惟八等面在立圆内仍能切灯体余不能也按圆灯在立圆内亦能切灯体与八等面同 　　凡诸体相容皆有一定比例以其外可知其内 　　灯体之边设一百其幂一万○倍之二万开方得一百四十一【四二一三】为灯之高及其腰广【边如方面高广如斜故倍幂求之】以高一百四十一【四二一三】乘方斜之面幂二万得二百八十二万八千四百二十六为方斜之立方积 　　立方积五因六除得二百三十五万七千○二十一为灯积 　　灯积为立方六之五 　　以灯积减立积余四十七万一千四百○五为内容八等面积此八等面在立积内亦在灯积内皆同腰广同高　其积之比例为立积六之一为灯积五之一此相容比例 　　八等面与灯积不惟同高广亦且同边故五之一亦即为八等面与灯积同边之比例也 　　灯形内容立方其边为灯体高广三之二　设灯体边一百其高广一百四十一【四二一三】则内容立方边九十四【二八○八】立方积八十三万八千○五十一 　　灯高广自乘之幂二万如左图甲乙方去其左右各六之一余三之二如丙丁矩又去其两端六之一余三之 　　二如戊正方丙丁矩一万三千 　　三百三十三【三三】戊正方八千 　　八百八十八【八八】为内容正方 　　之一面幂其根九十四【二八○八】以根乘面得八十三万八千 　　○五十一 　　凡等边平三角之心依边剖 　　之皆近大边三之一灯内容 　　立方之八角皆切于平三角