历算全书 - 第 15 页/共 206 页

法于丙锐角作垂弧至戊【在甲钝角外】补成正角　乙丙戊形有戊正角乙角乙丙边可求诸数【丙戊乙戊二边乙丙戊角】　次甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊边可求原设丙甲边甲乙边【求到戊甲虚边以减乙戊得原设乙甲】丙角【求到丙虚角以减乙丙戊角得原设丙角】 　　右两角一边而边对钝角为形外垂弧之第七支 　　第三垂弧又法　用次形【内分九支】 　　设乙甲丙形有乙丙二角有乙丙边在两角间而两角并钝求余二边及甲角 　　法引丙甲至己引乙甲至戊各满半周作戊己边与乙丙等而己与戊并乙丙之外角成甲戊己次形依法作垂弧于次形之内【如己丁】分为两形【一己丁戊一己丁甲】可求乙甲边【以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求到甲丁合之成甲戊以减半周即得乙甲】丙甲边【以己丁甲分形求到己甲以减半周即得丙甲】甲角【以己丁甲分形求到甲交角】 　　右二角一边边在角间而用次形为垂弧又法之第一支 　　论曰旧説弧三角形以大边为底底旁两角同类垂弧在形内异类垂弧在形外由今考之殆不尽然盖形内垂弧分底弧为两成两正角形所用者锐角也【底旁原有两锐角分两正角形则各有两锐角】形外垂弧补成正角形所用者亦锐角也【底旁原有一锐角补成正角形则虚实两形各有两锐角】故惟三锐角形作垂弧于形内一钝两锐则垂弧或在形内或在形外若两钝一鋭则形内形外俱不可以作垂弧【垂弧虽有内外而其用算时并为一正角两锐角之比例若形有两钝角则虽作垂弧只能成一正一钝一锐之形无比例可求则垂弧为徒设矣】故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得谓之形内然则同类之説止可施于两锐【若两钝虽亦同类而不可于形内作垂弧】异类之説止可施于一钝两锐【若两钝一锐而底弧之旁一钝一锐虽亦异类然不可于形外作垂弧】非通法矣【两钝角不用次形垂弧之法己穷况三钝角乎】 　　又论曰以垂弧之法征之则大边为底之说理亦未尽盖钝角所对边必大既有形外立垂线垂弧之法则钝角有时在下而所对之边在上矣不知何术能常令大边为防乎此尤易见 　　设乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两角俱钝求乙角及余边 　　如法引甲乙丙乙俱满半周防于己成丙甲己次形作己丁垂弧于次形内分次形为两可求乙角【依法求到分形两己角合之为次形己角与乙对角等】甲丙边【求到分形甲丁及丁丙并之即甲丙】乙丙边【求到次形己丙以减半周得之】 　　右二角一边边与角对而用次形为垂弧又法之第二支此三角俱钝也或乙为鋭角亦同 　　设乙甲丙形有乙丙乙甲两边有乙角在两边之中 　　法用甲乙戊次形【有乙甲边有乙戊边为乙丙减半周之余有乙外角】作甲丁垂弧分为两形可求丙甲边及余两角【以乙甲丁分形求到丁乙及甲分角人以甲戊丁形求到甲戊以减半周为丙甲又得甲分角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙对角】右二边一角角在二边之中而用次形为垂弧又法之第三支 　　或丙为钝角则于次形戊角作垂弧法同上条 　　设乙甲丙形有丙角有甲丙边与角连有乙甲边与角对 　　法用甲己戊次形【甲己为甲乙减半周之余甲戊为甲丙减半周之余戊角为丙之外角】作垂弧【甲丁】于内分为两形可求丙乙边及余两角【以甲丁戊分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲交角也又得己角即乙外角也】 　　右二边一角角与边对而用次形为垂弧又法之第四支若甲为钝角亦同 　　论曰先得丙钝角宜作垂弧于外而乙亦钝角不可作垂弧故用次形 　　设乙甲丙形有三边内有【乙甲丙甲】二边相同而皆为过弧求三角 　　法引相同之二边各满半周作弧线聨之成戊甲己次形如法作甲丁垂弧分次形为两【其形相等】可求相同之二角【任以甲丁戊分形求到戊角以减半周得乙角亦即丙角】及甲角【求到甲半角倍之成甲角】右三边求角内有相同两大边为垂弧又法之第五支　若甲为鋭角亦同 　　以上垂弧并作于次形之内 　　设乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间 　　法引乙丙乙甲满半周防于戊成甲戊丙次形自甲作垂弧与丙戊引长弧防于丁补成正角可求乙甲边乙丙边乙角【先求丙甲丁形诸数次求甲戊丁得甲戊以减半周为甲乙又以丁戊减先得丁丙得丙戊以减半周为乙丙又求得戊虚角减半周为戊角即乙对角】 　　右两钝角一边边在角间而于次形外作垂弧为又法之第六支 　　或自丙角作垂弧亦同 　　设乙甲丙形有乙甲二钝角有甲丙边与角对 　　法引设边成丙戊甲次形【有甲外角有戊钝角为乙对角有丙甲边】如上法作丙丁垂弧引次形边防于丁可求乙丙边【先求甲丁丙形诸数次丙丁戊虚形求到丙戊以减半周为乙丙】乙甲边【先求到丁甲以虚线丁戊减之得戊甲即得乙甲】丙角【先求到甲丙丁角内减丙虚角得丙外角即得元设丙角】 　　右二角一边边与角对垂弧在次形外为又法之第七支 　　设乙甲丙形有丙钝角有角旁之两边【丙乙丙甲】