历算全书 - 第 20 页/共 206 页

一　亥已余　　即亥戊正 　　二　亥甲余　　即亥丙正 　　三　已丁余　　即戊丁正 　　四　甲丁余　　即庚丁正 　　论曰此理在前论中盖以同用戊角故比例同也又论曰乙庚丙戊如赤道已丁亥戊如黄道皆象弧戊角如秋分其弧己乙如夏至距纬【此两黄经并在夏至后秋分前其理易见】或先有者是丁钝角甲丁丁亥二边则先求丁巳线【亦用前图】一　丁已余　　即戊丁正 　　二　甲丁余　　即丁庚正 　　三　亥已余　　即亥戊正 　　四　亥甲余　　即亥丙正 　　又论曰假如星在甲求其黄赤经纬则亥丁如两极之距亥角若为黄经则丁角为赤经而亥甲黄纬丁甲赤纬也若丁角为黄经则亥角为赤经而丁甲黄纬亥甲赤纬也【弧三角之理随处可施故举此以发其例】 　　弧三角举要卷五 　　八线相当法引 　　弧三角有以相当立法者何也以四率皆八线也弧三角四率何以皆八线而不用他线【八线但论度他线则有丈尺】浑体故也【弧三角皆在浑员之面】浑体异平而御浑者必以平是故八线之数生于平员而八线之用专于浑员也曷言乎专为浑员曰平三角之角之边皆直线也同在一平面而可以相为比例故虽用八线而四率中必兼他线焉【以八线例他线则用角可以求边以他线例八线则用边可以求角皆兼用两种线】弧三角之角之边皆弧度曲线也不同在平面故非八线不能为比例而四率中无他线焉既皆以八线相比例则同宗半径【有角之八线有边之八线各角各边俱非平面而可以相求者同一半径也】相当互视之法所由以立也错举似纷实则有条不紊故爲论列使有伦次云 　　八线相当法详衍 　　总曰相当分之则有二曰相当曰互视互视又分为二曰本弧曰两弧 　　但曰相当者皆本弧也又分为二曰三率连比例者以全数为中率也其目有三曰四率断比例者中有全数也其目有六凡相当之目九 　　互视者亦相当也皆爲断比例而不用全数若以四率之一与四相乗二与三相乗则皆与全数之自乗等也本弧之互视其目有三两弧之互视其目有九凡互 　　视之目十二 　　总名之皆曰相当其目共二十一内三率连比例三更之则六四率断比例十有八更之反之错而综之则百四十有四共百有五十 　　相当共九 　　一曰正与全数若全数与余割 　　二曰余与全数若全数与正割 　　三曰正切与全数若全数与余切 　　以上三法皆本弧皆三率连比例而以全数为中率 　　四曰正与余若全数与余切 　　五曰余与正若全数与正切 　　六曰正割与正切若全数与正 　　七曰余割与余切若全数与余 　　八曰正割与余割若全数与余切 　　九曰余割与正割若全数与正切 　　以上六法亦皆本法而皆四率断比例四率之内有一率为全数 　　互视共十二 　　一曰正与正切若余切与余割 　　二曰余与余切若正切与正割 　　三曰正与余若正割与余割 　　以上三法亦皆本弧皆四率断比例而不用全数然以四率之一与四二与三相乗则其两矩内形皆各与全数自乗之方形等 　　四曰此弧之正与他弧正若他弧之余割与此弧余割五曰此弧之正与他弧余若他弧之正割与此弧余割六曰此弧之正与他弧正切若他弧之余切与此弧余割七曰此弧之余与他弧余若他弧之正割与此弧正割八曰此弧之余与他弧正若他弧之余割与此弧正割九曰此弧之余与他弧余切若他弧之正切与此弧正割十曰此弧之正切与他弧正切若他弧之余切与此弧余切十一曰此弧之正切与他弧正若他弧之余割与此弧余切十二曰此弧之正切与他弧余若他弧之正割与此弧余切以上九法皆两弧相当率也其爲四率断比例而不用全数则同若以四率之一与四二与三相乗其矩内形亦各与全数自乗之方形等 　　相当法错综之理 　　此三率连比例也首率与中率之比例若中率与末率故以首率末率相乗即与中率自乗之积等 　　假如三十度之正【○五○○○○】与全数【一○○○○○】之比例若全数【一○○○○○】与三十度之余割【二○○○○○】其比例皆为加例也更之则余割【二○○○○○】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与正【○五○○○○】其比例为折半也 　　又如三十度之余【○八六六○三】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与三十度之正割【一一五四七○】更之则正割【一一五四七○】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与余【○八六六○三】也 　　又如三十度之正切【○五七七三五】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与三十度之余切【一七三二○五】更之则余切【一七三二○五】与全数【一○○○○○】若全数【一○○○○○】与正切【○五七七三五】也 　　用法 　　凡三率连比例有当用首率与中率者改为中率与末率假如有四率其一三十度正其二全数改用全数为一率三十度余割为二率其比例同 　　凡四率之前后两率矩内形与中两率矩形等故一与四二与三可互居也 <子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷八> 　　右四率断比例也一率与二率之比例若三率与四率假如三十度之正【○五○○○○】与其余【○八六六○三】若全数【一○○○○○】与其余切【一七三二○五】更之则余切【一七三二○五】与全数【一○○○○○】若余【○八六六○三】与正【○五○○○○】也【第四法】又如三十度之正割【一一五四七○】与其正切【○五七七三○】若全数【一○○○○○】与其正【○五○○○○】更之则全数【一○○○○○】与正割【一一五四七○】若正【○五○○○○】与正切【○五七七三五】也【第六法】又如三十度之余割【二○○○○○】与其正割【一一五四七○】若全数【一○○○○○】与其正切【○五七七三五】更之则正切【○五七七三五】与正割【一一五四七○】若全数【一○○○○○】与余割【二○○○○○】也【第九法余仿此】用法 　　凡四率断比例当用前两率者可以后两率代之假如有四率其一正其二余改用全数为一率余切为二率其比例同互视 　　此本弧中互相视之率也其第一与第四相乗矩第二与第三相乗矩皆与全数自乗方等故其边为互相视之边而相与爲比例皆等 　　假如三十度之正【○五○○○○】与其余割【二○○○○○】相乗【一○○○○○○○○○○】其余【○八六六○三】与其正割【一一五四七○】相乗【一○○○○○○○○弱】皆与全数自乗之方等故以正为一率余为二率正割为三率余割为四率则正【○五○○○○】与余【○八六六○三】若正割【一一五四七○】与余割【二○○○○○】也【第三法】又如三十度之正切【○五七七三五】与其余切【一七三二○五】相乗【一○○○○○○○○弱】亦与全数之方等故以正为一率余切为二率正切为三率余割为四率则正【○五○○○○】与正切【○五七七三五】若余切【一七三二○五】与余割【二○○○○○】也【第一法】或以余为一率余切爲二率正切为三率正割为四率则余【○八六六○三】与余切【一七三二○五】若正切【○五七七三五】与正割【一一五四七○】也【第二法】 　　用法 　　此亦四法断比例故当用前两率者可以后两率代之假如有四率当以正与正切为一率二率者改用余切为一率余割为二率以乗除之其比例亦同余仿此本弧诸线相当约法 　　其一为与股之比例　　反之则如股与全　正割　余切　余割　全　　余　正切　正正　正切　余　全　余割　余切　正割　全其二为与句之比例　　　反之则如句与全　　余割　正切　正割　全　　正　余切　余余　余切　正　全　正割　正切　余割　全其三为句与股之比例　　　反之则如股与句全　　余　余割　余切　全　　正割　正　正切正切　正　正割　全　　余切　余割　余　全右括本弧七十八法