历算全书 - 第 12 页/共 206 页

或先有丙甲距度而求乙丙黄道则以前率更之为丙角余与半径若丙甲切线与乙丙切线 　　论曰求丙角之法一一皆同乙角更之而用丙角求余边亦如其用乙角也所异者乙角定为春分角则其度不变丙角为过极经圏交黄道之角随度而移【交角近大距则甚大类十字角近春分只六十六度半弱中间交角度度不同他亦然皆逐度变丙角】有时大于乙角有时小于乙角【乙角不及半象限则丙角大乙角过半象限则丙角有时小】故必求而得之又论曰丙交角既随度移而甲角常为正角何也凡球上大圏相交成十字者必过其极今过极经圏乃赤道之经线惟二至时则此圏能过黄赤两极其余则但过赤道极而不能过黄道极故其交黄道也常为斜角【即丙角】交赤道则常为正角【即甲角】 　　又论曰丙角与乙角共此三边【一乙丙黄道一乙甲赤道一丙甲距度】其所用比例者亦共此三边之八线【三边各有正亦各有切线】而所成句股形遂分两种可互观也 　　乙角所成诸句股皆以戊丁夘为例 　　内角所成诸句股皆以亥辰夘为例 　　并如后图 　　如图丙角第一层句股兊乙心形即乙角之壬丙辛也在乙角两正交于丙在丙角两正交于乙皆与股之比例而同不同股【乙角丙角并以乙丙黄道正为而乙角所用之股为丙甲正丙角所用则乙甲正皆正也而同股别】 　　丙角第二层句股女甲亢形即乙角之子甲丑也乙角丙角并以一正一切线交于甲为句与股之比例而所用相反【乙角于乙甲用正于丙甲用切线丙角则于乙甲用切线于丙甲用正皆乙甲丙甲两弧之正切线而所用逈别】 　　丙角第三层句股艮丙氐形即乙角之酉乙未也在乙角以两切线聨于乙在丙角以两切线交于丙皆与句之比例而同不同句【乙丙两角并以乙丙切线为而乙角以乙甲切线为句丙角以丙甲切线为句皆切线也而同句别】 　　球面弧三角形弧角同比例解 　　第一题 　　正弧三角形以一角对一边则各角正与对边之正皆为同理之比例 　　如图乙甲丙弧三角形【甲为正角】　法为半径与乙角之正若乙丙之正与丙甲之正更之则乙角之正角与对边丙甲之正若半径与乙丙之正也又丙角之正与其对边乙甲之正亦若半径与乙丙之正也合之则乙角之正与其对边丙甲之正亦若丙角之正与其对边乙甲之正 　　论曰乙丙两角与其对边之正既并以半径与乙丙为比例则其比例亦自相等而两角与两对边其正皆为同比例 　　又论曰甲为正角其度九十而乙丙者甲正角所对之边也半径者即九十度之正也以半径比乙丙之正即是以甲角之正比对边之正故以三角对三边皆为同比例 　　第二题 　　凡四率比例二宗内有二率三率之数相同则两理之首末二率为互视之同比例【即斜弧比例之所以然故先论之】 　　假如有甲乙丙丁四率甲【四】与乙【八】若丙【六】与丁【十二】皆加倍之比例也 　　又有戊乙丙辛四率戊【二】与乙【八】若丙【六】与辛【二十四】皆四倍之比例也 　　此两比例原不同理特以两理之第二第三同为乙【八】丙【六】故两理之第一第四能互用为同理之比例【先理之第一甲四与次理之第四辛二十四若次理之第一戊二与先理之四丁十二皆六倍之比例也】 　　论曰凡二率三率相乘为实首率为法得四率今两理所用之实皆乙【八】丙【六】相乘【四十八】之实惟甲【四】为法则得十二若戊【二】为法则得二十四矣法大者得数小法小者得数大而所用之实本同故互用之即为同理之比例也 　　试以先理之四率更为首率其理亦同【丁与辛若戊与甲皆加倍比例】若反之令两四率并为首率亦同【甲与戊若辛与丁皆折半比例】并如后图 　　第三题 　　斜弧三角形以各角对各边其正皆为同比例 　　乙丙丁斜弧三角形任从乙角作乙甲垂弧至对边分元形为两正角形甲为正角 　　依前正角形论各对边之正与所对角之正比例皆等 　　乙甲丁形丁角正与乙角正若半径【即甲角正】与丁乙正是一理也 　　乙甲丙形丙角正与乙甲正若半径与乙丙正是又一理也 　　两理之第二同为乙甲第三同为半径则两理之首末二率为互视之同比例故丁角之正与乙丙之正若丙角之正与丁乙之正也 　　又如法从丁角作丁戊垂弧至对边分两形而戊为正角则乙角正与丁丙正亦若丙角正与乙丁正　又从丙作垂弧分两形而壬为正角则乙角与丁丙亦若丁角与乙丙 　　一　丁角正　　　丙角正 　　乙丙丁斜弧三角形丁为钝角　法从乙角作乙甲垂弧于形外亦引丙丁弧防于甲成乙甲丁虚形亦凑成乙甲丙虚实合形甲为正角