历算全书 - 第 121 页/共 206 页

用法曰以一色列于上以相当之一色列于中任以一色为主而分正负【此亦以二色为例三色以上皆以两相当者主其一以分正负皆与二色法同】 　　以两色相较之价列于下以正物为主而分同异或正物所多之价命之为正或正物所少之价命之为负【正物之所少即负物之所多】或正物负物之价两相若命之适足则空位列之亦以列上位者为乘法左右互乘遍乘中下以首位为主而变正负得数对减其上一色必数相若且又同名而减尽中一色与下价或同名或异名异名者并之同名者对减取其减并之数以为用一为法一为实以法除实得中一色每价以原列中物乗之得中物总价以与原列下价同名相减异名相并得数以原列上物除之得上一色每价【其上中亦可互求】 　　假如以研七枚换笔三矢研多价四百八十文若以笔九矢换研三枚笔多价一百八十文问笔研价各如干 　　畣曰笔每矢价五十文　研每枚价九十文 　　法各列位 　　上　　　　中　　　　下 　　先以左行研负三遍乗右行得数【首位异名须变一行以相从故研正变为负笔负变为正价正变为负皆于得数变之】 　　次以右行研正七遍乗左行得数【右行既变则左行不必再变故研负笔正价正皆仍旧】 　　于是以上研各负二十一同名相减尽　次以中笔两正同名相减余五十四为法　再以下价左正右负异名相并得二千七百为实　以法除实得五十文为笔价　以左行笔正九乘笔价得四百五十内减同名价一百八十余二百七十以左研负三除之得九十为研价或以右笔负三共价一百五十加异名价正四百八十共六百三十以右研七除之亦得研价九十 　　论曰左行原是九笔多于三研一百八十文乘后得数则是六十三笔多于二十一研共一千二百六十文也右行原是七研多于三笔四百八十文乘后得数则是九笔少于二十一研一千四百四十文也于是以两行得数较之上位研负二十一两行尽同研之数同则其价亦同惟中位笔数左行多五十四枝则是左行笔多价一千二百六十文者以多此五十四笔而右行笔少价一千四百四十文者以少此五十四笔也夫右行笔价原少于二十一研者一千四百四十文以左行多五十四笔而反多于二十一研者一千二百六十文是此五十四笔既补却右行之所少而仍多此数也故并右行之所多共此二千七百以为五十四笔之价知笔价知研价矣 　　若先求研价者以研列中为除法以笔列上为乗法如后图 　　问者或云笔三矢换研七枚少价四百八十文又有研三枚以换笔九矢少价一百八十文则其下价为两负【四百八十是笔少于研之价一百八十是研少于笔之价】 　　先以左行笔负九徧乗右行得数【首位异名宜变一行故其正负皆更之】 　　次以右行笔正三徧乗左得数【右变则左不变故正负皆仍之】于是以得数较其同异而为之减并　笔各负二十七同名减尽研正同名相减余五十四为法　价正负异名并得四千八百六十为实　实如法而一得九十为研价　以研价乗左正研三得二百七十异加价负一百八十共四百五十以左负笔九除之得五十为笔价或以右研七价六百三十与价四百八十同减余一百五十以笔三除之亦得笔价五十 　　论曰左行原是研三少于笔九者一百八十文乗后得数则是九研少于二十七笔者五百四十文也　右行原是三笔少于七研者四百八十文乗后得数则是六十三研多于二十七笔者四千三百二十文也夫两行笔皆二十七则其价同也而右行研价多于笔四千三百二十文左行研价反少于笔五百四十文是两行研价相差者共四千八百六十文也推求其説则只是两行中相差五十四研之故也故减去相同之笔用此相差之研以除此相差之研价而每研之价可知矣 　　若如难题所列以研为正笔为负问者当云以七研换三笔研多价四百八十以三研换九笔研少价一百八十文则价右正左负【难题系书名】 　　左右研正徧乗得数【首位本同名故其正负皆不变】研减尽笔余五十四为法价异并二千七百为实法除实得笔价以次得研价如前若以笔为正研为负则其价右负左正 　　依法先得研价如第一图 　　以前四图或以笔为正或以笔为负或以研为正或以研为负或以价为两正或以价为两负或以价为一正一负其所呼正负之名无一同者要其为同异加减之用则一也 　　试以一行中同异言之其左行之价必与笔同名何也左行之价乃笔多于研之数也故与笔同名而与研异名也　其右行之价必与研同名何也右行之价乃研多于笔之数也故与研同名而与笔异名也试以两行中同异言之其上位皆减尽其中位皆相减为法其下价皆相并为实其减也皆以同名其研也皆以异名　此下价异并例也 　　假如有大小余句不知数但云倍小余句以当三大余句则不及一丈五尺三寸若倍大余句则如七小余句 　　畣曰大余句六尺三寸　小余句一尺八寸 　　法以正负列位 　　先以左小余句负七徧乗右得数【首位异名宜变以相从故小句变负大句下负数皆变正】 　　次以右小余句正二徧乗左得数【右行既变则此行不变下适足无乗亦无正负】　乗讫乃较之　小余句各十四同减尽　大余句同减余一十七为法　下正数十丈零七尺一分无对不减就为实　以法除实得六尺三寸为大余句　乃置左行二大句该一丈二尺六寸以左行相当适足之七小句除之得一尺八寸为小余句【或用右行三大句该一丈八尺九寸以同名负一丈五尺三寸减之余三尺六寸以右行二小句除之亦得一尺八寸】合问 　　论曰以左小句徧乗右是各七之也为小句二大句三者七其相较之数亦七也　以右小句徧乗左是各二之也为小句七大句二者二其相当适足者亦二也但以首位必同名然后可减故以右小句正变而为负以从左名也小句变为负则所与相较之大句不得不变而正矣　于是小句同减尽大句同名减去四余右行正十七下较数无减仍余十丈○七尺一寸然则此所余者正是减余大句之数矣何也小句十四左右皆同若只如左行四大句则与小句相当适足矣而今右行独余此较数者非以右多十七大句之故乎 　　试以大句列于上则先得小句如后图 　　如法左乗右更其正负　右乗左仍其正负　大句同减尽　小句同减余正一十七在左行为法　下较数负三丈○六寸在右行无对不减就用为实以法除实得一尺八寸为小句　就以左行小句七该一丈二尺六寸以左相当适足之大句二除之得六尺三寸为大句【或于右行正一丈五尺三寸加异名小句负二该三尺六寸共一丈八尺九寸以右大句三除之亦得六尺三寸】 　　论曰左行原是小句七以当大句二适足今以右大句乗而各三之则是小句二十一以当大句六而亦适足也　右行原是大句三以当小句二而大句多一丈五尺三寸今以左大句乗而各二之则是大句六以当小句四而多三丈○六寸也　以两行之得数较之大句既减尽惟左行之小句余一十七则是左行得数所以相当适足者以多此十七小句之故而右行小句得数小于大句三丈○六寸者以少此十七小句之故也然则此三丈○六寸者正是十七小句之数也【依此论可见左行之所多即右行之所少故左行名正者用于右行即为负而隔行之异名即为同名】 　　此下较无减例也 　　假如有大小方积不知数但云一大方积以当二小方积多数八十九若以三大方积当七小方积仍多二百五十一 　　畣曰大方积一百二十一　小方积一十六 　　法以正负列位 　　上　　　　　　中　　　下 　　先以右大积一徧乗左行皆如原数　次以左大积三徧乗右行得数【首位同名故两行正负皆不变】　大积同减尽小积同减余一为法较数同减余一十六为实　法除实仍得一十六为小积　以右行小积负二该三十二加异名正八十九共一百二十一为大积【或以左行小积负七该一百一十二加异名正二百五十一共三百六十三以左大积三除之亦得一百二十一为大积】 　　论曰左行原是大积三多于七小积者二百五十一乗后得数亦同　右行原是大积一多于二小积者八十九乗后得数则是大积三多于六小积者二百六十七也　于是以两行对勘其大积既减尽惟小积左行余负一其下较数则右行余正十六夫此十六数者与大积同名是右行大积之数也右行少一小积而大积之盈数多十六左行多一小积而大积之盈数少十六然则此十六数者正是此一小积之数矣若以小方积为正则其下较数为两负【皆小积所少之数也故皆为负】 　　上　　　　　中　　　　下 　　依法徧乗对减余大积一为法　余负一百二十一为实　法除实不动就以一百二十一为大积　右大积一该一百二十一同名减负八十九余三十二以小积二除之得一十六为小积 　　此是右行多一大方积故多一同名之数一百二十一同在一行易知不须重论 　　以上二图正负所呼迥异然所同者两行之较数皆与大方积同名何也皆大方积多于小方积之数故与大方积同名而与小方积异名也 　　此下较同减例也 　　总论曰凡较数方程原列较数是本行中正与负之较也其乗后得数同减异加而得者则是两行中正与正之较或负与负之较也故本行中以异名相较而两行对减或加是以两行之同名相较 　　假如原列较数与正物同名是正多于负之较也若列较与负同名是负多于正之较也故曰本行中异名相较也 　　假如乗后得数而两行之较数皆与正物同名则两较亦自同名乃以之对减而余在一行则知此一行正物必多于对行之正物而其所多之数即如此所余之较数矣 　　假如两行较数皆与负物同名则两较亦自同名以之对减而余在一行则知此一行负物必多于对行之负物而其所多之数正是此所余之较数矣此同名相减之理也 　　假如右行较数与正同名而左行较数却与负同名则一是正多于负之数而一是负多于正之数也夫正与负原相待负多于正之数即正少于负之数也于是用异名相加法以左行负多于正之数变为正少于负之数以相并则知右行之正数必多于左行之正物而其所多几何正是此两较之并数矣此异名相加之理也 　　合同减异并而观之总是两行中同名相较也 　　又论曰较数方程以两相较而为用虽有三色四色乃至多色其相较也必两此正负所由立也立正负以别同异犹彼我也夫彼我者岂有一定之称哉以此为正则以彼为负若以彼为正则此反为负矣正负之相呼犹彼我之相视也故曰无定虽然无定者正负有定者同异其无定者在未立正负之先其有定者在既立正负之后既以一为主则同乎此者皆同名异乎此者皆异名矣是故无定而实有定也 　　今试以所列方程最下位观之其言正负者必上物之较数也不言正负者必上物之和数也较数有盈有朒有适足和则否 　　假如下价盈则为正正与正同名试于正物价之中减去下同名正价之盈则所余之价必与负物之价相当矣　正与负异名试又取上负物之价以加下异名正价则又必与正物之价相当矣 　　假如下价朒则为负【正物之朒负物之盈也】负与负同名试于负物价之中减去下同名负价则所余之价必与正物之价相当矣　负与正异名试又取上正物之何以加下异名负价又必与负物之价相当矣 　　假如下价适足空位无盈朒则其上正负物价必自相当 　　又论曰正负之术分别同异全在有交变之法以通其穷要其为用惟在使两行之首位同名而已何也方程以互乗递减立法每乗一次即减去一色然惟和数则一乗之后即可对减若较数则有同数而不同名之时若不减首位即不成方程若径以异名而减势必以同名而并法不画一而于后条和较交变之时益混淆而难用故以法变之使首位之同数者无不同名而仍为同名利减焉首位既以同名减则凡减者皆同名凡并者皆异名而其法画一矣故首位既变则行内之正负皆变何也从首位也行内之正负既皆从首位而变由是而原与首位同名者皆与隔行之首位同名也原与首位异名者即与隔行之首位异名也如此则隔行之同减异并亦清矣正负犹阴阳也牝牡也各行中各有正负犹两仪之生四象也乗而交变犹刚柔相推而生变化也隔行之正本行以为负隔行之负本行以为正真阴真阳互居其宅也同名相减者阴阳之偏不得其配也异名相并者阴阳得类雌雄相食也是皆有自然之理焉可以思古人立法之原矣 　　【以上亦以二色者举例三色以上乃至多色正负之用尤显详具诸卷中兹不赘列然其理着矣】和较相襍方程例 　　方程之用以御隠襍妙在襍与变知其襍则襍而不用矣知其变则变而不失其常矣诸书所论胥未及此故求之甚详去之愈逺也 　　用法曰凡方程和较襍者和较从和法列之不立正负较数从较法列之明立正负　其偏乗得数后在 　　较数行中者仍其正负之名在和较行中者皆变从乗法之名【和数原无正负则无可变但乗后得数取其与较数之首位同名而已首位既同名下不得不同名矣】 　　凡两较者下价或有减有并而中物只同减若一和一较者下价亦有减有并而中物皆异并此以两色言之三色以上随数通变皆以同异名御之 　　假如有大小句不知数但云三其大句倍其小句共三丈三尺若倍大句则如六小句问若干 　　畣曰大句九尺　小句三尺 　　法以一和一变列位【适足者以相较而得名即同较义】 　　右行和数也不立正负　左行较数也明立正负右乗左而三之和乗较也故其正负皆如故 　　左乗右而二之较乗和也故得数皆为正从乗法之名也　如法遍乗讫以两行对勘　大句同名相减尽　小句异名相并得二十二为法　正数六丈六尺无减就为实　法除实得三尺为小句　以左行小句六共一丈八尺为实以大句二为法除之得九尺为大句【或于右行共三丈三尺内同减小句二共六尺余二丈七尺以大句三除之亦得九尺】 　　论曰右行大句三小句二共三丈三尺乗后得数则是六大句四小句共六丈六尺也　左行大句二小句六其数相当乗后得数则是六大句十八小句亦相当适足也　于以对减而两大句同减尽则其数同也而右行正数犹有六丈六尺左则无有其故何也右行正数中有小句四而左则无且不惟无之而已其相对之负数反有十八小句焉是左行正数又自除却十八小句之数也右行正数多四小句左行正数又自除却十八小句则是右行正数之多于左行正数者二十二小句也故并此二十二小句为右行所多之正物其六丈六尺则右行之正数也以正物除正数而小句可知知小句知大句矣 　　又细攷之六大句合四小句共六丈六尺则以与六大句相当之十八小句合四小句亦必六丈六尺也此亦西儒比例之理而以同异名尽之可见古人用法之简快试更列之以小句居上则先得大句亦同 　　上　　　　　　中　　　　　下 　　先以右小句二徧乗左行得数【和乗较也故仍其正负】 　　次以左小句六徧乗右行得数【较乗和也故皆命为负与乗法同名】两小句同减尽　两大句异并二十二为法　负数十九丈八尺无减就为实法除实得大句九尺　以右行大句三该二丈七尺减共三丈三尺余六尺以小二句除之得小句三尺 　　论曰小句互乗之后则其数同也小句数同则负数亦同而右行之负数独有十九丈八尺左则无有者以右之负数中有大句十八而左则无不惟无也其所对之正数中反有大句四是左行负数中又原少四大句也右负数多十八大句左负数少四大句是右之负数多于左之负数者共二十二大句也然则右之负数独有此十九丈八尺者正是此二十二大句之数也 　　此和数与适足偕也 　　假如有江湖两色船载物不知数但云江船五以较湖船一则江多二千八百石江船三湖船五则共载二千八百石问船力若干　畣曰江船六百石　湖船二百石 　　法以一和一较列位 　　如法左右徧乗得数 　　江船同减尽　湖船异并二十八为法　载物同减余五千六百石为实　法除实得二百石为湖船数以湖船数加右行异名正二千八百共三千石以 　　右江船五除之得江船数六百石【或以湖船五共一千石同减左行二千八百石余一千八百石以左江船三除之亦得六百石】 　　论曰徧乗后江船数同则其载数亦同今以两正数相减而左多五千六百者以左正数中有湖船二十五而右则无不惟无也其所对之负数中反有湖船三是右行正数中又自少三湖船也左多二十五右少三是左正数多于右数者共二十八湖船也然则左之正数独多五千六百者正此二十八湖船之数也此和数偕一正也负亦同 　　和变交变方程例 　　凡方程三色以上以减余重列则有和变较较变和者不可不察也　若非和较之襍则二色方程之中物有减无并矣若非和较之变则三色四色方程和数者有减无倂矣夫和数较数非自我命之名也其下价之为和为较不可诬也