历算全书 - 第 124 页/共 206 页

数　六乗丙数得二十四以相当适足之四乙除之得六为乙数　以原列右行乙丙各一共十以相当适足之甲二除之得五为甲数 　　论曰甲为乙丙二之一则是二甲当一乙一丙也皆二因之也　乙为甲丙三之二则是三乙当二甲二丙也皆三因之也　丙为甲乙四之三而不足四又四之一则是四丙以当三甲三乙而不足十七也皆四因之也【甲乙丙各有两分母若化整为零当以分母相乗为原数母互乗子为所用之分殊多事矣】二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一 　　三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二 　　四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正四又四之一得正十七【以一丙与甲乙四之三较不足四又四之一若以四丙与四个甲乙四之三较亦不足四个四又四个四之一是为十七】 　　问有数九百六十以四人差等分之乙与甲如二与八丙与乙如三与七丁与丙如四与六各几何 　　畣曰甲六百七十二　乙一百六十八　丙七十二丁四十八 　　法以共数命为和相当数命为较依和较襍法列之乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可当二甲也丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可当三乙也丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可当四丙也【推此知二八三七四六各种差分皆可以方程御之】 　　首次两行如法互乗减并讫重列之取出第三行与之为耦 　　如法减并讫又重列之【两次减余皆和数可见立负之非】 　　又取末行与之为耦而列之 　　如法乗　丙减尽　丁并得四百八十为法　正二万三千○四十无减就为实　法除实得四十八为丁数　六因丁数得二百八十八以相当之四丙除之得七十二为丙数　七因丙数得五百○四以相当之三乙除之得一百六十八为乙数　八因乙数得一千三百四十四以相当之二甲除之得六百七十二为甲数 　　试以甲并乙共八百四十以八因之得甲数若二因亦得乙数是乙数甲二八差分也　试以丙并乙共二百四十以七因之得乙数若三因亦得丙数是丙与乙三七差分也　并丙丁共一百二十以六因之得丙数若四因亦得丁数是丁与丙四六差分也 　　又试以八除甲数得八十四以二除乙数亦得八十四若以八十四除甲数必得八以八十四除乙数必得二也　又试以七除乙数以三除丙数皆得二十四若以二十四除乙数必得七除丙数必得三也　以六除丙数以四除丁数皆得十二若以十二除丙数必得六除丁数必得四也 　　问有数七百四十一以四人分之乙于甲为三之二丙于乙为五之三丁于丙为七之五各防何 　　畣曰甲三百一十五　乙二百一十　丙一百二十六　丁九十 　　法曰乙得甲三之二是三乙当二甲也丙得乙五之三是五丙当三乙也丁得丙七之五是七丁当五丙也故皆命以适足而列之 　　先以孟仲两行如法互乗减并讫列其余数取出叔行相对 　　如法减并又列其余与季行相较 　　如法减并　丁二百四十七为法　正二万二千二百三十为实　法除实得九十为丁数 　　七因丁数五除之得一百二十六为丙数　五因丙数三除之得二百一十为乙数　三因乙数二除之得三百一十五为甲数 　　问有数七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如甲五之二丁如甲七之二各几何 　　因前问中有疉数故作此问以互明之 　　乙三当甲二而丙五又当乙三是丙五亦当甲二也丙五当甲二而丁七又当丙五是丁七亦当甲二也【又丁七亦当乙三今云两者以甲为主也】 　　在西法谓之连比例 　　上　　　　　　中　　　　下 　　首行互乗次行如故　次行乗首行皆二之甲减尽乙异并得五【正】丙二【正】丁二【正】正一千四百八十 　　二皆无减【皆仍为和同名在一行故也】 　　次行乗三行因两首位同不用乗竟以对减　甲减尽乙三【次行负也】丙五【三行负也】皆无减命为正负适足【同名在两行故为较数】三行末行首位亦同亦径减　甲减尽　乙空　丙五【三行负也】丁七【末行负也】皆亦无减命为正负适足【亦同名在两行】乃以减余重列之如三色有空之法 　　如法减并得二百四十七为法二万二千二百三十为实　法除实得丁数以次求得甲乙丙数皆如前问之数 　　问有米三百八十五石五斗二升令二等人户以四六差分出之甲上等二十六户乙下等四十户下户出率则如上户六之四 　　畣曰上户各七百三斗二升　二十六户共一百九十石○三斗二升　下户各四石八斗八升　四十户共一百九十五石二斗 　　法以和较列位 　　如法互乗得四　甲同减尽　乙异并三百一十六户为法　米一千五百四十二石○八升无减就为实　法除实得四石八斗八升为下等戸则例　以下等六户乗其则例得二十九石二斗八升以相当之上等四户除之得七石三斗二升为上等户则例 　　问有米三百一十七石给与四色人户甲二十户乙三十户丙四十户丁五十户丁每户如丙户七之三丙每户如乙户六之四乙毎户如甲户八之二各几何畣曰甲每户八石四斗　二十户共一百六十八石乙每户二石一斗　三十户共六十三石丙每户一石四斗　四十户共五十六石丁每户六斗　　　五十户共三十石 　　法列位 　　首行甲二十户十倍于次行甲正二但以首行甲退一位作二则齐同矣甲退十为单其下各位皆退十为单即如互遍乗而可以对减矣 　　乃以减并之余重与第三行列之 　　又以减并之余重与第四行列之 　　依法求得六百三十四为法　三百八十石○四斗为实　法除实得六斗为丁户则例　七因丁则得四石二斗丙三除之得一石四斗为丙则　六因丙则四除之得二石一斗为乙则　四因乙则得八石四斗为甲则 　　【此条有省算法说见后卷】 　　此上数条皆变零从整法也 　　有两数相较而为十之八十之七者即非二八三七差分也有二例见末卷 　　璎珞方程例 　　璎珞者言其聨缀而垂象璎珞也谓之疉脚 　　凡算方程皆以多色逓减至一法一实以先知一色之数然此所先求之一色却原带有不同之数则法一而实非一故以一总法而除多实非疉脚之法不可也【亦有以下为法上为实者则实一而法有多名在合问者之所求而定之详刋误条】 　　今有大江南北两处粮艘载米不同因氷程逺近给耗米亦不等但云南船三只北船两只共运米一千九百七十石外给耗米共六百六十八石又南船一只北船四只共运米一千九百九十石外给耗米五百五十六石问各船正耗米数以便稽核 　　畣曰北船每只正运米四百石　给耗米一百石共正耗米五百石　每正米一石耗米二斗五升南船每只正运米三百九十石　给耗米一百五十六石　共正耗米五百四十六石 　　每正米一石给耗米四斗 　　法各列位 　　先以左行南船一遍乗右行各得原数 　　次以右行南船三遍乗左行得数　南船三与右减尽　北船十二减去右二余十只为总法 　　正运米五千九百七十石减去右一千九百七十石余四千石为运米实 　　耗米一千六百六十八石减去六百六十八石余一千石为耗米实 　　以总法除正运米实得四百石为北船每只运数以总法除耗米实得一百石为北船每只耗米数【总计正耗得北船毎只米五百石】 　　任于左行总运米一千九百九十石内减北船四只该运米一千六百石余三百九十石为南船一只运数【一故不除　或于右行运一千九百七十石内减北船二只运八百石余一千一百七十石以南船三只除之亦得三百九十石】 　　于左行总耗米五百五十六名内减北船四只该耗四百石余一百五十六石为南船一只运数【或于右行耗六百六十八石内减北船二只耗二百石余四百六十八石以南船三只除之亦得一百五十六石】总计正耗得南船每只米五百四十六石 　　以北船四百石除其耗米一百石得每石给耗米二斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六石得每石给耗四斗 　　此问每船米数故以船为法米为实 　　若问每米一万石该用几船则以减余船十只用异乗同除以一万乗得十万为总船实　以运米减余四千石为法　法除实得二十五为每运米一万石用北船之数　于是任以右行北船二只亦用异乗同除以一万石乗之二十五船除之得八百石以减共米一千九百七十石余一千一百七十石又用为法以右行原列南船三乗一万石得三万石为实法除实得二十五只又三十九分之二十五为每米一万石用南船之数 　　若问耗米给过五千石该得几船者则亦用异乘同除以五千石乘减余十只为北船实　以减余耗米一千石为法除实得五十只为每耗米五千石给北船之数　任以右行北船二只五千石乘之五十只除之得二百石以减共耗六百六十八石余四百六十八石又用为法以原列南船三乘五千石为实法除实得三十二只又三十九分之二为每耗米五千石给南船之数 　　假如有南运艘二只以比北三只则南船运米不及北四百二十石其南船带耗米反多于北一十二石若以南船三当北船五则南船运米不及北八百三十石其耗米亦不及北三十二石问各几何 　　法以正负列位 　　上　　中　　　下