新法算书 - 第 169 页/共 181 页

加五○以初数除之 　　钦定四库全书 　　新法算书卷九十四　　　明　徐光启等　撰测量全义卷八　解正球上大圏相交之度分 　　正球之大圏有三种一为赤道二为斜截赤道之圏【如黄道等】三为直截赤道之圏【直截赤道者截赤道为直角其极如正球之地平圏各处午圏时圏等】三者相交相距是生多种三角形 　　如己甲庚为赤道丁丙寅为黄道相交于丙为斜角戊为己庚赤道圏之一极【极者球面上大圏之心凡分球宜用球体之心体之心不可得而以大圏之心当之故不名心】 　　【名极亦即轴之两端也】从戊极作戊甲乙辛圏辛为赤道之又一极戊甲辛弧截赤道于甲为直角亦截黄道于乙成甲乙丙直角曲线形也此形之乙至丙为黄道之经度丙至甲为赤道之经度乙 　　甲为乙防距赤道之度【即赤道之纬度】丙为赤黄二道之交角乙为过两极圏与黄道之交角甲为过极圏与赤道之交角【即直角】一形有三角三边凡六种先有三可求其余 　　一题凡有两道极相距之度分【交角之度分同】及一道之经度分求其余 　　如丙角为二十三度三十一分三十○秒丙乙为黄道经三十度【如大梁等一宫】求其纬度 　　乙甲【过极圏之一弧】此为直角形有丙角及直角之对边丙乙求其余三 　　一求黄道若干度之赤道纬度【即乙甲边】法【见本篇七卷直角形防法第七设】为全数与丙角之正【三九九一六】若乙丙弧之正【五○○○○】与乙甲弧之正【一九九五七】查得一十一度三十○分四十秒即黄道经三十度之赤道纬度 　　二求正球同升之度甲丙【若甲乙边为正球之地平弧即丙甲丙乙两弧必同出入名正球同升之弧也又若甲乙为子午圏即丙甲丙乙为同过子午圏之两防名虽不同其理无二详见左方】法为全数与丙角之余【九一】 　　【六九○○】若乙丙之正切线【五七七三五】与甲丙边之正切线【五二九三○】查得二十七度五十三分四十三秒 　　三求乙角【即黄道与子午等过极圏之交角】法为全数与乙丙之割线若丙角之余切线与乙角之切线【若知黄白二道交角之度及太隂之本行经度可知其去离南北之度而定食限之度见月离厯及】 　　【本表】 　　用上三法可作两道各度分相距之纬度表又可作每度之同直升表又可作每度与过极圏之交角表三者其用甚大为推歩日食根本又因第一求可定月及五星距黄道之度 　　附同升解 　　黄赤二道交于春秋二分必相截爲两平分若别大圏截两道其交角从本圏之体势直斜不一 　　其一大圏过两道之两极必与两道相交为直角则从两道之交至大圏之交其两道之必等此大圏为极至交圏也因过赤黄两道之极与两道为直角则从春分迄夏至两道之必等为九十度也 　　其二大圏独过一道之两极【如过北极则赤道极也】此大圏与所过极之本圏必相交为直角若与所不过之道则否从春分至过极圏之交所截黄赤两道之必不等【盖两道与过极圏交而作角必有钝有锐为异类故也】而此两道之两【从春分起数】名正球同升或同降之度【正球内升降之度必等盖地平为过极之一圏也欹球则否】亦名同过子午圏之度【盖子午圏亦过赤道之极】 　　如过极圏截黄道大梁初度【去离春分三十经度】截赤道二十八度弱或正球黄道大梁初度与赤道二十八度弱同升同降或同过子午圏反之亦谓正球赤道二十八度弱与黄道三十度同升同降同过子午圏其理皆同若春分迄夏至于黄道第一象限顺数之秋分遡夏至则否用所得赤道升度以减象限所存数又加一象限九十度得黄道某防之正升度 　　如鹑尾初度距秋分三十度从秋分算得赤道同升之度二十八以减夏秋九十度得六十二以加春夏一象限得一百五十二为鹑尾初从春分起与赤道同升之度 　　若秋分迄冬至用所得赤道升度与春秋二象限一百八十度并得黄道从春分至某防之正升度 　　如大火初距秋分三十度从秋分算得升度二十八以加春秋一百八十度得二百○八度爲大火初从春分起与赤道同升之度 　　若从春分遡冬至则用所得赤道升度以减象限得数与春分迄春分三象限二百七十度并得黄道从春分至某防之正升度 　　如娵訾初距春分三十度从春分算得升度二十八以减春夏九十度得六十二以加春分迄春分二百七十二度得三百三十二度为娵訾初从春分起与赤道同升之度 　　其三大圏不过两道之极如欹球地平大圏截黄赤二道皆爲斜角因赤道髙下作角必不等其三角形之腰亦不等则从春分计某地两道同升之两数名欹球同升之度 　　如顺天府赤道约高五十度设大梁初度从地平上升因本法推赤道上之同升度一十八【从春分起数】则大梁初度及赤道一十八度爲某欹球同升之两防 　　若欲定其斜入则倒球取之用彼球之卯当此球之酉用彼球之升爲此球之降则某防为彼球之斜同升即此球之斜同入 　　如顺天府北极出地约四十度有夏至同升之度欲求其同降则用南极出地五十度之彼球以彼球之冬至为此球之夏至则彼球冬至之同升度即此方夏至之同降度 　　巳上言正球有正升度欹球有斜升度此两数相减之较名两升之差 　　如大梁初度之正同升二十八度顺天府大梁初度之斜同升一十八度其较十度即顺天府大梁初度之升差 　　已上所説用浑球解之则易明 　　二题有黄道经纬度求两道交角之度 　　如上有直角之对边乙丙及其旁边甲乙而求丙角求乙角求赤道之甲丙俱用 　　本书七卷十设因设数难定不须详别 　　三题设两道交角之度及黄道某防之纬度而求其防之黄道经度 　　如丙为交角丁甲其对边之纬求丙甲赤道之【见七卷三设】爲全与丙角之余切线 　　若甲丁之切线与甲丙边之正【此即赤道经度凡经纬二数恒相连】求丙丁黄道之为全与丙角之余割线若甲丁边之正与丙丁边之正【丙丁为黄道经即两圏上之两防丁甲恒相对同升于地平同过于子午等圏】求丁交角为全与甲丁边之割线若丙角之正与丁角之正【三角形各形有十设】 　　【各设三求今约取其必用者解之】 　　四题有丙交角【丙恒为交角】及甲丙赤道之求丁角【黄道与过极圏之交角】求丁丙【黄道同升之】求甲丁【黄道上某防之纬度法见七卷第二设】 　　解欹球上大圏相交之度分 　　正球上大圏有三种欹球则有四种地平圏一也天顶圏二也地平左右之次舍侣圏三也日出入之时圏四也与正球之三而七矣七圏者相交相距其理甚繁其用甚大 　　一题有赤道与地平交角之度【子午圏过天顶亦过赤道极则交角之度与极出地平上之余度必等】又有黄道某防之纬若某防或升或降在地平求黄道与地平交角之度 　　如图癸丙甲为地平壬寅戊为赤道丁 　　丙庚为黄道己为二道之交丙爲黄道 　　地平之交从赤道极乙防过丙至赤道 　　上寅防作乙丙寅即丙寅定黄道 　　丙防之纬度丙乙其余也即甲丙乙直角形之丙角为过极圏与地平之交角又丁丙乙爲黄道与过极圏之交角两角并得丁丙甲角　用前正球一题第三求得乙丙丁角【彼云乙角】次甲丙乙形甲乙爲极出地之髙若干度乙丙爲寅丙纬之余度用第九设第二求得之【此问日食算中所必用故详解之仍须作立成表】 　　如有大梁初度【即黄道经三十度为乙丙边】又有两道之交角【丙角二十三度三十一分半】而求过极圏【甲乙】与 　　黄道之交角【乙】法爲全数与乙丙之割线【一一五四三○】若丙角之余切线【二二九七○○】与乙角之切线【二六五一四二】查得六十九度二十分有竒 　　次求甲丙乙角【即前本图上形】爲全数与乙丙边之余割线【大梁初度之纬十一度三十一分其数五○○八六九】若甲乙边之正【如顺天府北极出地三十九度五十分其正六四○五六】与乙角 　　之正【五四三六七】查得三十二度五十六分 　　先得六十九度二十分有竒次得三十二度五十六分并得一百○二度一十六分有竒即本图甲丙丁角之度 　　若巳交角【即黄赤交】与丙【即黄道地平之交】同防即黄道极必在子午圏内或巳爲春交在东则以黄赤距度减赤道高即黄道地平交角之度或巳爲秋交亦在东即以距度加赤道髙或巳为春交在西亦加爲秋交在西亦减【用浑球明之】 　　二题有黄道某防之纬度及北极出地之度求本防出入地平之濶度【濶度者地平之经度各防出入于卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二分出入于正卯正酉若在黄道北六宫出入皆在正卯酉之北若在黄道南六宫出入皆在正卯酉之南】如图丁庚戊爲子午圏丁丙戊为地平庚乙己为赤道交地平于乙辛丙壬为赤道南距等圏交地平于丙从天顶子【地平圏之极】 　　作子甲乙为地平第一经圏乙防即正卯酉此圏分则出入南北之中界也次从赤道极癸作癸丙过极经圏而成甲乙丙直角形形之甲丙边为某防距等圏之纬度甲乙丙角【庚戊也】为赤道出地之度【北极出地之余】甲为直角【从赤道极癸出线而截赤道于甲故也】乙丙爲黄道某防之濶度求法用三设之第三求为全数与乙角之余割线若甲丙边之 　　正与丙乙边之正 　　假如顺天府赤道高五十度五分乙角也 　　其余割线【一三○二二三】甲丙边冬至之纬度也为二十三度三十一分半其正【三九九○二】算得乙丙边之正【五一九六一】查得三十一度一十九分　因乙防为正卯酉癸爲北极则丙在正卯酉之南若夏至理亦同此但丙在正卯酉之北甲乙丙形在地平下而乙角【丁己也】爲赤道入地之度如上图 　　三题有北极出地度及黄道之某防求昼夜长短【即各欹球黄赤道同升之防】 　　解曰凡测时以赤道为主何者日十二时九十六刻终古常然不以冬夏为永短赤道亦半出地上半入地下卯正至午正午正至酉正恒各满一象限不与黄道偕盈缩二相配合则赤道过一宫而爲一时过三度四分度之三而爲一刻故赤道为各种日晷之宗法测时候之公本原也其在欹球独春秋分日赤道一象限恒在午圏地平圏之内两道过子午圏及出入地平常是同防则从午至酉赤道过子午圏而西者为九十度得二十四刻也过此以徃日躔积渐南北昼夜亦积渐永短赤道在午正左 　　右之第九十度亦积渐出地上或入地下则定昼夜分者当求赤道与日躔过极圈交防之度其法从北极过日体作过极圏之一为癸丙甲或癸甲丙定甲赤道之防其赤黄两道之两防庚辛同过子午等圏转浑令辛防到地平如丙即庚防必至甲若太阳在北六宫庚防必过地平如癸丙甲在南六宫庚防必不到地平如癸甲丙此或过或不及之差名两升之差【一是正球过子午圏一是欹球过子午圏】亦谓之昼夜长短之根今欲测辛防从午至入地平之刻分必先定庚甲【庚甲大圏之度与辛丙小圏之度同在癸甲癸庚两过极圏内必等若得庚甲自得辛丙辛丙小圏无法必用庚甲测之】而庚乙必九十度须知甲乙然后或加或减可得甲庚即半昼分倍之得昼夜以加减四十八刻得半夜分 　　如上图甲乙丙形有乙角为赤道与地平之交角有甲丙为某防之距度求甲乙则 　　全数与甲丙边之切线若乙角之余切线与甲乙边之正 　　如甲丙爲冬至之距纬二十三度有竒其切线四三五三○乙角赤道之高五十度有竒其余切线八三四一五算得三六五一一为甲乙边之正查得二十一度二十五分以减九十度得六十八度三十五分算时刻得一十八刻四分【每刻十五分】二十抄【每分六十秒】为顺天府之冬至半昼分倍之得三十六刻○　八分四十○秒为昼长以减九十六刻得五十九刻○六分二十○秒爲夜长　因上法可作诸方半昼分立成表【见别卷】 　　四题有赤道之高及太阳出入之濶度可得黄道本防之纬度亦自有其经度 　　即用上图有乙角爲赤道之高丙乙爲大阳出入之濶求黄道之纬度甲丙亦求欹 　　球同升之差甲乙【见七卷第四设】 　　若有赤道之高及丙角亦可求其余【见七卷第一设】 　　若置半昼分及赤道之高可得黄道本防之纬度及太阳出入之濶度【若半昼分为时刻则以本法易为度分以加减九十度所得数为甲乙边】 　　五题有黄道某防及北极出地之度求欹球同升之度如上图求得黄道某防之正升甲及两升之差甲乙以此两数或相加【在北六宫内】或相减得某地面黄赤两道同升【从春分起算】之两 　　如顺天府析木初度正升为二百三十七度四十八分○七秒其斜升之差为一十八度两数相加得二百五十五度四十八分○七秒则黄道爲二百四十度【从春分起算】赤道弧为二百二十五度四十八分○七秒为本地面两弧同斜升之度 　　若求其同降之度则用黄道上对防求其斜升加一百八十度　如析木之对为实沈求实沈之斜升得三十九度四十九分加一百八十得二百一十九度四十九分即析木偕赤道同降之度 　　升降三类【正球同升一斜球同升二正斜升之差三】其用甚大如定昼夜长短及太阳与某星相距之度及夜以星定时刻之属皆所必须故须详讲之熟习之【另卷有本表及其用免算】 　　六题有极出地之度及赤道之升度【从所近交起算】求黄道同升之经度 　　如图己癸为地平午丙辛为赤道戊丁庚为黄道交地平于乙两道之交成丁丙乙斜角形丁为两道之交角丁丙边为赤道上升度【从所近交起算】丁丙乙为赤道高丁丙癸之余角求黄 　　道弧丁乙其法从丙角作丙甲垂弧分元形为二其甲丙丁形有丁角有丁丙边用直角第四设求丁丙甲角丙甲边丁甲边次于丁丙乙角内减丁丙甲角余甲丙乙角即甲丙乙 　　形有丙角及丙甲边用直角第二设求甲乙以并丁甲得丁乙弧 　　上法为是丁乙黄道在北六宫若在南六宫即丁乙丙 　　斜角形有丁丙边有丁丙两角 　　从乙角作乙甲垂弧分元形为 　　二先于甲乙丁形求甲乙甲丁 　　次甲乙丙形有丙角甲乙边求甲丙以并甲丁得丁丙边 　　七题有极出地之度分多于两道相距之余度分求此地周歳中太阳恒见恒隐之日数 　　解曰正球之赤道及其距等圏皆与地平为直角故昼夜恒等其在欹球极高六十六度半弱【两道距二十三度半强之余度】以下者太阳日日有出入周嵗中日日有昼夜依上第三题求其昼夜分若极高六十六度半弱以上即周嵗中太阳有时恒见不隐每日周遭地平之上有时恒隐不见每日周遭地平之下以法求得其见之日数然此所得者实隠见也又因清蒙之气入恒迟出恒早此为视隠见説见厯指一卷 　　其法以赤道之髙【极出地之余度】当太阳之纬度因纬度求其经度【从春分或秋分起数】取经度之余度【即太阳去离夏至或冬至】倍之约一度为一日得本地太阳恒见恒隠之日数