御制数理精蕴 - 第 122 页/共 595 页

外半股容圆式天月大差四百○八天西边股四百八十求圆径术股减余乗边股得三万四千五百六十为实大差为従作减 　　从开平方法除得半径 　　截半勾容圆式川地下平一百三十六北地底勾二百求圆径术倍勾相减余一百二十八减底勾余七十二又乗底勾得一万四 　　千四百平方开之得半径又术倍平减底勾余七十二乗底勾亦同 　　截半股容圆式天日上髙二百五十五天西边股四百八十求圆径术倍髙减边股余三十乗边股得半径幂平方开得半径又术 　　股减余自之得上髙股幂髙自之得幂二幂相减开其余为上髙勾即半径 　　小半勾容圆式山川軎三十四北地底勾二百求圆径术底勾内减二軎余一百三十二乗底勾得二万六千四百又以軎幂二 　　千一百五十六乗得三千○五十一万八千四百为三乗方实倍底勾乗軎幂得四十六万二千四百为从方勾相减差自之得二万七千五百五十六为従一亷勾相减差倍之得三百三十二为从二亷作带从方亷以二亷减从开三乗方法除之得軎股三十以軎股求勾以軎勾股求径【即前股外容半圆也】 　　小半股容圆式日月明一百五十三天西边股四百八十求圆径术边股内减二明余一百七十四乗边股得八万三千五百二十 　　又以明幂二万三千四百○九乗得一十九亿五千五百一十一万九千六百八十为三乗方实明幂乗边股又倍之得二千二百四十七万二千六百四十为従方股减余自之得十万○六千九百二十九为从一亷股减余倍之得六百五十四为从二亷作带方亷以二亷减从开三乗方法除之得明勾七十二以明勾求股以明勾股求径【即前勾外容半圆也】 　　又小半勾容圆式日山下髙二百五十五北地底勾二百求圆径术底勾自之为幂乗髙得一千○二十万为立实底勾幂为从方髙为従亷作带从方亷 　　开立方法除得半径 　　又小半股容圆式月川上平一百三十六天西边股四百八十求圆径术边股自之为幂乗平得三千一百三十三万四千四百为 　　立实边股幂为从方平为从亷作带従方亷开立方法除得半径 　　通曰右式与上髙同此式与下平同 　　又小半勾容圆式日月明一百五十三北地底勾二百求圆径术半底勾乗明得一万五千三百为平实勾相并半之得一百七十六为从方半为隅算作带従负隅开平方法除之得 　　明勾七十二以明勾求股以明勾股求径【即前勾外容半圆也】又小半股容圆式山川軎三十四天西边股四百八十求圆径术半軎乗边股得八千一百六十为实股并半之得二百五十七 　　为从方半为隅法作带従负隅开平方法除之得軎股乗边股得半径幂 　　半小勾容圆式月地黄长二百七十二坤月大差勾一百九十二求圆径术倍大差勾与黄长相减余一百一十二为差自之得一万二千五百四十四与黄长幂相减余六万一千四 　　百四十为实四差得四百四十八为从八为益隅作以带从减隅开平方法除得半径 　　半小股容圆式天山黄广五百一十山艮小差股一百五十求圆径术倍小差股与黄广相减得差二百一十自之得四万四千一百与黄广幂相减余二十一万六千为实四差得八 　　百四十为从八为隅作以隅减从开平方法除得半径小截勾容圆式月川上平一百三十六南月明勾七十二求圆径术勾相减差自之得四千○九十六与上平幂相减余一万四 　　千四百即半径幂半径即平股也 　　小截股容圆式日山下髙二百五十五山东軎股三十求圆径术股减余自之得五万○六百二十五为髙股幂又与髙幂相减余一万四千四百即半径幂半径即髙勾也 　　又小截勾容圆式月山太虚一百○二南月明勾七十二求圆径术勾减余倍之乗明勾得四千三百二十为实又倍实得八千六百四十与太虚幂相减余一千七百六十四平方开 　　之得四十二为太虚勾股较以较为从开其实得四十八为太虚勾加较为股并为和和即径 　　又小截股容圆式月山太虚一百○二山东軎股三十求圆径术股相减余乗軎股又四之得八千六百四十与太虚幂相并得 　　一万九千○四十四为实平方开之得一百三十八为太虚勾股和加太虚即径二百四十 　　数度衍卷八 　　钦定四库全书 　　数度衍卷九 　　桐城　方中通　撰 　　方圆【少】广【之一】 　　诸率 　　通曰求积者用径一围三度天者用径七周二十二然径一则围三有余径七则周二十二不足今测以径十七周五十二其率较细大约四形之率惟方率 　　无差他皆无凖方斜七而强角面七而弱圆率从难推求惟举成数而已 　　通曰方形剖周为四面面与中径等四面即四径也圆以三为率径求周以径乘率周求径以率除周方以四为率径求周以径乘率周求径以率除周通曰此勾股也勾股皆五各自乘并之为五十开方则七有零七自之惟四十九较五十之开方则少一数矣今 　　方斜以五七为率方求斜以斜七乘方面以方五除之斜求方以方五乘内斜以斜七除之 　　通曰此亦勾股也中径为股半 　　面为勾各自乘并为四十八二五 　　开方则七不足矣今三角以六七 　　为率面求径以径六乘面以面七 　　除之径求面以面七乘径以径六 　　除之 　　方内容圆圆内容方率説 　　通曰数始于一圆径一则周三方径一则周四两周相乘得十二故方圆相容之率皆十二也丁乙矢七己丁矢必五卯丑隅七午卯隅必五子丑方周七寅卯方周必五甲乙圆周七丙丁圆周必五甲乙方圆径七丙丁方圆径必五七五并为十二故曰皆十二也推而求之万 　　重皆然此方圆之分率也径同则圆周圆积皆不及方周同则方径方积皆不及圆积同则圆周不及方周方径不及圆径何也径同以一言之圆径一周三方径一周四圆周不及方周四分之一矣又以三言之圆径三积七方径三积九圆积不及方积九分之二矣周同以十二言之方周十二积九圆周十二积十二方积不及圆积十二分之三矣又方周十二径三圆周十二径四方径不及圆径四分之一矣积同以一百六十九言之圆积一百六十九则周四十五方积一百六十九则周五十二圆周不及方周五十二分之七矣又方积一百六十九则径十三圆积一百六十九则径十五方径不及圆径十五分之二矣此方圆之合率也至其容之大小悉较容兹不具论 　　通曰石斋先生之天方图九方九圆外方积一万六千三百八十四如率推之庇羃尽得余别録焉 　　方内容圆法 　　方面求圆积庇积式方面十四问圆积庇积各几何曰圆积一百四十七庇积四十九术以方面十四自乘得方积一百九十六以七五乘之得一万四千七百降二位为圆积一百四十七以二五乘方积得四千九百降二位为庇积四 　　十九【法有二位故降二位】又术以方面折半为七又折半为三五自乘得十二二五为一庇积以四乘之得四十九以减方积得圆积【七五乘二五乘説见后】 　　圆内容方法 　　圆径求方积羃积式圆径十四问方积羃积各几何曰方积一百羃积四十七术以圆径十四乘方斜面率五得七十以方斜率七除之得一十为内方面自乘得方积一百用圆径求圆积【详后】得一百四十七以减方积余四十七为羃积 　　立方内容立圆法 　　立方面求立圆积立庇积式立方面十六问立圆积立庇积各几何曰立圆积二千三百○四立庇积一千七百九十二术通曰以立方面十六 　　自乘得二百五十六再乘十六得四千○九十六为立方积以十六除之得二百五十六以九乘之得二千三百○四为立圆积二积相减余一千七百九十二为立庇积【九乘十六除説见后】 　　立圆内容立方法 　　立圆径求立方积立羃积式立圆径十七问立方积立 　　羃积各几何曰立方积一千七百 　　七十一五六一立羃积九百九十 　　一九九九术通曰以立圆径十七 　　用径求积法【详后】得二千七百六十三五六零为立圆积以圆径为立方斜乘方斜面率五得八十五以方斜率七除之得一十二一零自乘得一百四十六四一再乘一十二一得一千七百七十一五六一为立方积二积相减余九百九十一九九九为立羃积 　　通曰凡方内容圆圆内容方必彼此相切方可立算 　　平方求积法【即开平方之还原也】 　　径求积式径三十二为积几何曰积一千○二十四术以径三十二自乘得一千○二十四为积 　　周求积式周一百二十八为积几何曰积一千○二十四术以周一百二十八用四除之得三十二为径自乘得积 　　平圆求积法【即开平圆之还原也】 　　径求积式径六为积几何曰积二十七术径六自乘得三十六以三乘之得一百○八以四除之得二十七为积又术径六自乘得三十六以七五乘之得二千七百降二位得二十七亦合【三乘四除説见后】 　　周求积式周十八为积几何曰积二十七术周十八自乘得三百二十四以十二除之得二十七为积【十二除説见后】周径求积式径六周十八为积几何曰积二十七术径六与周十八相乘得一百○八以四除之得二十七为积 　　通曰此与三乘四除同径一周三故也 　　半周求积式半周九为积几何曰积二十七术九自乘得八十一以三除之得二十七【三除説见后】 　　半径求积式半径三为积几何曰积二十七术三自乘得九以三乘之得二十七【三乘説见后】 　　半周半径求积式半周九半径三为积几何曰积二十七术九与三相乘得二十七 　　通曰方径自乘得方形以此方形积均分作四股圆形内得三股四庇共得一股故用七五乘 　　者四分十之三也用二五乘者四分十之一也 　　通曰径用三乘得长方形即周径相乘也此内容圆形者三而三圆形之庇积 　　又成一圆形之积以此一圆并三圆而为四故三乘者用四除也 　　通曰周自乘得大方形此内有方形九而容圆形者亦九三圆形之庇积成一圆形之积则九圆形之庇积必成三圆形之积矣以此三圆并九圆而为十二故用十二除也 　　通曰半周自乘得全周自乘四分之一故用三除盖三除者十二除四分之一 　　也半径自乘与庇积等三其庇积而成圆积故用三乘也 　　立方求积法【即开立方之还原也】 　　径求积式径三十二为积几何曰积三万二千七百六十八术径三十二自乘得一千○二十四又乘三十二得三万二千七百六十八为积 　　立圆求积法【即开立圆之还原也】 　　径求积式径四十八为积几何曰积六万二千二百○八术径四十八自乘得二千三百○四再乘四十八得十一万○五百九十二以九乘之得九十九万五千三百二十八以十六除之得六万二千二百○八为积周求积式周一百四十四为积几何曰积六万二千二百○八术周一百四十四自乘得二万○七百三十六再乘一百四十四得二百九十八万五千九百八十四以四十八除之得六万二千二百○八为积