御制数理精蕴 - 第 113 页/共 595 页

加式有四钱五分又三钱四分又三两五钱问共若干曰四两二钱九分术每图用棋子一枚先呼四钱五分将钱图棋子置四上分图棋子置五上又呼三钱四分将钱图四上棋子移置七上【四加三】分图五上棋子移置九上【五加四】又呼三两五钱将两图棋子置三上却以钱图七上棋子加五成一十二移置本图二上而两图三上棋子加一成四移置四上乃视各图棋子所在为总数也 　　减式先将总数棋子照图安置逐呼逐减即得 　　通曰又有一笔锦之法似笔算而叠改不同又有一掌金之法五指每指九位分三行自下而上曰一二三又自上而下曰四五六又自下而上曰七八九临算暗记殊觉可笑即铺地锦乘尚似筹而除则不可用矣惟洛书算为便并列图数而求之虽乘除亦可得也 　　数度衍巻三 　　钦定四库全书 　　数度衍卷四 　　桐城　方中通　撰 　　筹算 　　九筹 　　通曰珠算笔算皆有数而后乘筹算无数而先乘也故乘以筹为防数尽九九除亦因乘故随时施用所遇数更而先乘之数亦变多寡前后相合自成至若零筹无又无用之用也 　　开方筹 　　通曰筹有二曰平方自乘之还原也故用自乘之数曰 　　立方自乘再乘之还原也故用自乘再乘之数 　　乘法 　　术曰有实有法先将实数查筹从左向右齐列其两筹每格平行线斜方形合成一位并为一数矣次以筹之格为法数如法数是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之再用笔算加法得所求数 　　一位法式有五十九人每人八两问共若干曰四百七 　　十二两　以五十九人为实八 　　两为法先依实数查第五筹第 　　九筹五左九右并列次依法八查第八格内横数曰二曰七○曰四去○不用自左向右横视之得四百七十二两也得数尾与法尾数同故知为两 　　二位法式有五十四人每人六十四两问共若干曰三千四百五十六两　以五十四人为实六十四两为法 　　依实查五四两筹齐列先依法 　　尾四查第四格曰六曰一○曰 　　二自右向左横列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三进一位横列之用笔算加法得三千四百五十六两也多位法者视此每查格一回进一位列数 　　通曰九格内凡遇右尾有○者必湏列之以存位其○在数中者説详后式 　　筹内斜方有○无数式有五十四人每人二十八两问 　　共若干曰一千五 　　百一十二两　以 　　五十四人为实查筹并列二十八两为法先查八格曰二曰三○曰四横列之次查二格 　　曰八曰○曰一进一位列之加得合问 　　通曰斜方之中有数有○则去○不用若无数有○则湏存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也筹内斜方倂数进十式有八十七人每人六两问共若 　　干曰五百二十二两 　　以八十七人为实查筹 　　并列六两为法查六格曰二曰四八曰四其曰四 　　八者并为十二本位存二以十进位作一其曰四者并所进之一为五当自右向左列曰二二五矣 　　用零筹式有六百零八人每人三十四两问共若干曰 　　二万零六百七十 　　二两　以六百零 　　八人为实查六筹 　　零筹八筹并列三十四两为法先查四格曰二曰三○曰四曰二横列之次查三格曰四 　　曰二○曰八曰一进一位列之加得合问 　　通曰实数整几十者列一零筹于右整几百者列二零筹于右以定位也 　　除法 　　术曰有实有法有商别列实数以法数依号查筹从左向右齐列于诸筹九格内查横行数之等于实数或畧少于实数者在第几格即是初商数如在第一格即一为初商也次以查得之数减其实数已尽则止一商如未尽则有再商即再查横行内数之等于存实或畧少于存实者在第几格即是再商数又以查得之数减其存实如前又未尽则更有三商倘初商已除实虽未尽而次位无实则商有○位即作○以当次商再以存实于格内查之若至余实数少于法数是为不尽法当命分之 　　一位商式有三百二十五两六十五人分之问各若干曰五两术别列三百二十五两为实以六十五人为法 　　查六五两筹左右齐列 　　查九格内何格数与实 　　相等一格至四格皆少五格内自左向右曰三二 　　五适等即五为商数矣 　　二位商式有三千三百二十五两九十五人分之问各 　　若干曰三十五两术 　　列三千三百二十五 　　两为实九十五人为法列筹二筹横数止三位湏截实左三位曰三三二作三 　　百三十二于格内查之至三格自左向右曰二八五【中位一七并八】作二百八十五畧少于实数四格则多矣用三爲初商相减余四十七再以余实四七及截外之五作四百七十五查至五格四七【二五并七】五适等用五爲次商 　　商当有○式有三十二万三千八百七十六两五百三十八人分之问各若干曰六百零二两术列实查筹三筹横数止四位截实左四位曰三二三八作三千一一百三十八查一至六格自左向右曰三二二八作 　　三千二百二十八畧 　　少于实数七格则多 　　矣用六爲初商相减 　　余一十以余实一○及截七六作 　　一千零七十六此乃次位无实也 　　次商当作○竟不除实余实仍是一千零 　　七十六查至二格一○七六等用二爲三商 　　通曰次位三位俱无实者卽一连两商皆当作○也实不尽式有三千三百三十六两九十五人分之问各 　　若干曰三十五两 　　余实一十一两 　　列实查筹二筹横数止三位截实左 　　三位曰三三三查至三格自左向右 　　曰二八五畧少于实数用三为初商相减余四八以余实四八及截外六作四八六查至五格四七五畧少于余实用五为次商相减尚余一十一为不尽数也 　　开平方法 　　术曰有积数【即实数】有商数商有方法有亷法隅法置积数从末位下作防向左隔一位作一防有一防知有一商也视平方筹内自乘之数与实相等或畧少者取以除实但自左一防为始防前无位则自乘止于零数防前有位则自乘应有十数而此乘数在筹内第几格即用其格数为初商也有二防者以初商倍之乃以倍数查筹列于平方筹之左再视诸筹横行内数与存实相等者用以除实而此数在几格即用为次商也实不尽者以法命之或实右加○再开之详少广章 　　通曰开方有实无法故用方廉隅以代之初商积与次商隅积皆自乘数也次商亷积之数处初商与隅积之问也 　　第一求初商之根为方法乙为 　　方积也不尽求二防之商倍初商