御制数理精蕴 - 第 117 页/共 595 页
减甲辛形之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而得勾股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上两直角方形并等即甲戊羃内有一甲乙股羃一乙丙勾羃也己丙两羃内有两甲乙羃两乙丙羃也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形其丑寅与夘辰两形两股羃也丙壬与癸子两形两勾羃也而丑寅夘辰之间则重一等甲辛之夘寅形减之即丑辰直角方形与己辛丙磬折形等矣乙丙为勾丙丑与甲乙等故乙丑边即勾股和也若于乙丙勾加甲丁较即与甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲乙股为乙丙勾
通曰第二术较羃为甲辛直角方形
半之为甲戊直角形与甲庚直角形
等羃为甲壬直角方形减较羃半
甲庚形得癸庚丙磬折形半之得癸
午未磬折形与辰子丙磬折形等而子未直角方形与甲午直角方形等也癸午未磬折形开方得丑寅直角方形与辰子丙磬折形开方得卯乙直角方形等也即得丑乙线与巳乙线等而丑丙线与甲巳线等即半较线也乙丑线内减等半较之丑丙线得乙丙勾己乙线外加半较甲巳线得甲乙股何者甲壬直角方形内函一丑寅直角方形一夘乙直角方形又一甲戊直角形故于甲壬直角方形内减等甲戊之甲庚直角形即得夘乙丑寅两直角方形也
勾与股和求股法
式乙丙勾二十七丙甲甲乙股和八十一问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乗得七百二十九
股和八十一除之得九为股较较加和八十一得九十半之得四十五为较减和八十一余七十二半之得三十六为股二术勾自乗与和自乗六千五百六十一相减余五千八百三十二为实倍和得一百六十二为法除之得三十六为股三术勾和各自乗相并得七千二百九十为实倍和为法除之得四十五为通曰第二术减余第三术并后若俱折半为实即以和为法可也不必倍和矣又勾自乗倍得一千四百五十八与和自乗相减余五千一百零三为实以和八十一除之得六十三为勾股和减勾余股以股减八十一余
第一术形论同勾与股较求股第一术
通曰第二术以股和作庚乙一直线自之为乙丁直角方形次用股度相减取辛甲两点从辛从甲作辛壬甲癸两平行线依此法作戊子丑巳两平行线即丁乙一形内截成丑壬甲子庚寅辰卯股羃四戊午未巳甲寅辰壬较股矩内直角形四寅辰较羃一也
今欲于丁乙全形中减一乙丙勾之羃则于庚辰羃内存庚寅股羃而减丑寅甲磬折形即勾羃矣何者庚辰羃内当函一股羃一勾羃也又戊午与午癸等即辛癸形亦勾羃也以辛癸形代丑寅甲磬折形于丁乙全形内减之余庚壬甲夘两形并又半得甲夘形为实【倍法不如折实】以等股和之乙夘线为法除之得甲乙股通曰第三术勾羃和羃并者即丁乙形外加一甲壬形也
又式竹髙一丈折梢柱地去根三尺问折处髙几何曰四尺又二十分尺之十一术竹高为股和去根三尺为勾折处为股
股与勾和求勾法
式甲乙股三十六乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乗得一千二百九
十六和七十二除之得十八为勾较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得九十半之得四十五为
通曰勾与股和求股之第二术第三术此亦可用第一术形论同股与勾较求勾第一术第二术形论同勾与股和求股第二术
与勾股和求勾股法
式甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三问甲乙股几何乙丙勾几何曰甲乙股三十六乙丙勾二十七术自乗得二千零二十五倍
之得四千零五十与和自乗得三千九百六十九相减余八十一为实平方开得九为勾股较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得七十二半之得三十六为股
通曰和各自乗相减又减自乗余开方得较亦合论曰以勾股和作甲丁一直线自之为甲巳直角方形此形内函甲辛癸巳两股羃乙寅庚壬两勾羃而甲辛癸巳之间重一癸辛直
角方形夫甲丙之羃既与勾股两羃并等以减甲巳形内之甲辛乙寅两形即所存戊辛寅磬折形少于羃者为癸辛形矣乙辛股也乙丑勾也则丑辛较也
勾较与股较求勾股法
式甲乙勾较十八戊丙股较九问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术勾较十
八与股较九相乗得一百六十二倍之得三百二十四为实开平方得十八为和较加勾较十八得三十六为股和较加股较九得二十七为勾用勾股求法得四十五为或以勾较十八并勾得或以股较九并股得
论曰股较甲丁九自之得八十一为己庚直角方形勾较乙戊十八自之得三百二十四为辛壬直角方
形两羃并得四百零五以九减十
八余九即勾股较自之得八十一
为干兑直角方形元设两较互乗
为癸戊子丑两直角形并得三百
二十四以减四百零五亦得八十
一何以知之癸戊子丑三百二十
四为实开方得十八之寅夘直角方形边则和较也凡直角三边形之羃必与勾股两羃并等甲乙丙既直角形则甲乙乙丙两羃并必与甲丙羃等今于甲乙股加甲辰丙乙勾加乙午甲丙加丙未勾未申股各作一直线以此三和线作一三边形即甲申上之
甲酉直角方形必不等于丙午上
之丙戌直角方形乙辰上之乙亥
直角方形并而此不相等之较必
勾股较羃之八十一也何者若于
甲酉丙戌乙亥三直角方形各以
元设勾股勾股分之即甲酉形
内有羃一股羃一勾羃一股矩内形二勾矩内形二勾股矩内形二而乙亥形内有羃一股羃一股矩内形二丙戌形内有羃一勾羃一勾矩内形二次以甲酉内诸形与乙亥丙戍内诸形相当相抵则甲酉内存勾股矩内形二丙戍或乙亥内存羃一次以此两存形相当相抵则一羃之大于两勾股矩内形必勾股较羃之
八十一也何者一羃内函一勾羃一股羃今试如上图任作一甲乙羃其乙丙为勾羃则丁丙戊磬折形必与股羃等乙巳为股羃则丁巳戊磬折形必与勾羃等次以乙庚辛壬两勾股矩内形辏一角依角旁两边纵横交加于羃之上即得勾股之较羃丙巳而乙丙上重一勾羃次以所重之勾羃补其等勾羃之丁己戊磬折形则甲乙羃之大于乙庚辛壬两勾股矩内形必丙巳勾股较羃矣故知第二图乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必勾股较羃之八十一也则乙亥丙戍两形并其大于甲酉形亦勾股较羃之八十一也今于第一图辛壬较羃内减勾股较羃八十一之干兊直角方形其所存干离震兑两余方形及离震己庚两直角方形并必与癸戊子丑两形并等次以癸戊子丑两形开方为寅夘形则减寅夘之甲酉形与减辛壬之丙戌形减巳庚之乙亥形并必等而减寅夘之甲酉形内元有羃如甲寅者四有偕寅卯形边矩内形如寅未者四减辛壬之丙戍形内元有勾羃如丙辛者四有勾偕勾较矩内形如辛坎者四减巳庚之乙亥形内元有股羃如己辰者四有股偕股较矩内形如甲己者四今以四羃当四勾羃四股羃则甲己辛坎两形并必与寅未形等甲丙与未申等也丙申勾股和也则两间等寅卯形边之丙未不得不为和较矣既得丙未十八为和较即以元设丙较相加可得勾股各数也何者未申也未艮勾较也艮申勾也丙申勾股和也于丙申勾股和减艮申勾则丙未加未艮之丙艮股也丙甲也丙坤股较也坤甲股也未甲勾股和也于未甲勾股和减坤甲股则未丙加丙坤之未坤勾也次以未艮加艮申或丙坤加坤甲则也又式户不知髙广竿不知长短横之不出四尺纵之不出二尺斜之适岀问髙广斜各几何曰髙八尺广六尺斜一丈术横不出四尺为勾较纵不出二尺为股较
股和与勾和求勾股法
式乙甲甲丙股和八十一乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾甲乙股甲丙各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙四十五术股和八十一与勾和七十二相乗得五千
八百三十二倍之得一万一千六百六十四为实开平方边得一百零八为和和减勾和余三十六为股和和减股和余二十七为勾用勾股求法得四十五为
论曰两和相乗为乙巳
直角形倍之为丁戊直
角形以为实平方开之
得己庚直角方形与丁
戊等即其边为和和
者何也丁戊全形内有羃二股矩内形勾矩内形勾股矩内形各二与己庚全形内诸形比各等独丁戊形内余一羃己庚形内余一勾羃一股羃并二较一亦等即己庚方形之各边皆和和
勾与较和求股法【较和者与勾股较和也】
式勾二十七与勾股较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾和并得八十一为股和除实得九为股较加股和得九十半之得四十五为股较减股和得七十二半之得三十六为股
勾与股较和求股法【股较和者股与勾较和也】
式勾二十七股与勾较和五十四问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较和法葢与勾股较和为五十四股与勾较和亦五十四也
股与较和求勾法【较和者与勾股较和也】
式股三十六与勾股较和五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减和余十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较余五十四半之得勾
股与勾较和求勾法【勾较和者勾与股较和也】
式股三十六勾与股较和三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乗得一千二百九十六为实股与和并得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和余五十四半之得勾
与勾较和求勾股法【勾较和者勾与股较和也】
式四十五勾与股较和三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实与和并得八十一与实相减余三千九百六十九开平方得六十三为勾股和又以和并八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和余五十四半之得勾【按此法当取勾股较今用和并盖数偶合非法也】
与股较和求勾股法【股较和者股与勾较和也】
式四十五股与勾较和五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗倍之得四千零五十为实与和相减余九又自乗得八十一与实相减余三千九百六十九下同与勾较和求勾股法勾与和和求股法【和和者与勾股和和也】
式勾二十七与勾股和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减和余八十一为股和除实得九为股较减股和余七十二半之得股股较加股和得九十半之得
勾与股和和求股法【股和和者股与勾和和也】
式勾二十七股与勾和和一百零八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和和法葢和皆一百零八也
股与和和求勾法【和和者与勾股和和也】
式股三十六与勾股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减和得七十二为勾和除实得十八为勾较减勾和余五十四半之得勾勾较加勾和得九十半之得
股与勾和和求勾法【勾和和者勾股和和也】与
式股三十六勾与股和和一百零八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和和法葢和数相同也
与勾和和求勾股法【勾和和者勾与股和和也】
式四十五勾与股和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实减和余六十三为勾股和又自乗得三千九百六十九与实相减余八十一开平方得九为勾股较减勾股和余五十四半之得勾勾股较加勾股和得七十二半之得股
与股和和求勾股法【股和和者股与勾和和也】
式四十五股与勾和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和和法盖和数相同也
勾与和较求股法【和较者与勾股和较也】
式勾二十七与勾股和较十八问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减较余九为股较除实得八十一为股和加股较得九十半之得股和减股较余七十二半之得股又式勾股田一段内容圆池一口径六步只云勾八步问股各几何曰股十五步十七步术容圆径即和较勾与股和较求股法【股和较者股与勾和较也】
式勾二十七股与勾和较三十六问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与和较法葢以勾减与勾股和较十八余九以勾减股与勾和较三十六余亦九也股与和较求勾法【和较者与勾股和较也】
式股三十六与勾股和较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减较余十八为勾较除实得七十二为勾和加勾较得九十半之得勾和减勾较余五十四半之得勾股与勾和较求勾法【勾和较者勾与股和较也】
式股三十六勾与股和较五十四问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰同股与和较法葢以股减与勾股和较十八余十八以股减勾与股和较五十四余亦十八也与勾和较求勾股法【勾和较者勾与股和较也】
式四十五勾与股和较五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实减较余九为勾股较又自乗得八十一与实相减余三千九百六十九开平方得六十三为勾股和加勾股较得七十二半之得股勾股和减勾股较余五十四半之得勾与股和较求勾股法【股和较者股与勾和较也】
式四十五股与勾和较三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾和较法葢以减勾与股和较五十四余九以减股与勾较三十六余亦九也勾与较较求股法【较较者与勾股较较也】
式勾二十七与勾股较较三十六问股各几何曰股三十六四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减较较余九为股较除实得八十一为股和减股较余七十二半之得股股和加股较得九十半之得
勾与股较较求股法【股较较者股与勾较较也】
式勾二十七股与勾较较十八问股各几何曰股三十六四十五术通曰同勾与较较法葢以勾减较较三十六余九以勾减股较较十八余亦九也
股与较较求勾法【较较者与勾股较较也】
式股三十六与勾股较较三十六问勾各几何曰勾二十七四十五术股自乗得一千二百九十六为实股并较较得七十二为勾和除实得十八为勾较加勾和得九十半之得勾较减勾和余五十四半之得勾股与勾较较求勾法【勾较较者勾与股较较也】
式股三十六勾与股较较十八问勾各几何曰勾二十七四十五术通曰股自乗得一千二百九十六为实股减勾较较余十八为勾较除实得七十二为勾和下同股与较较法
与勾较较求勾股法【勾较较者勾与股较较也】
式四十五勾与股较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实并勾较较得六十三为勾股和又自乗得三千九百六十九与实相减余八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和余五十四半之得勾与股较较求勾股法【股较较者股与勾较较也】
式四十五股与勾较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同与勾较较法葢较数相同也通曰和较变穷而勾股之用无穷形同法异形异法同非精义不能入神也
有积【勾股之二】
有积勾股较求勾股法
式有积九百七十二勾股较为甲戊九问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术较自乗得八十一积四因得三千八百八十八相并得三千九百六十九开平方得六十三为
勾股和加较九得七十二半之得股勾股和减较九余五十四半之得勾求得二术积较为从方开之得勾较为减从方开之得股【俱详少广】又以积二因得一千九百四十四加较自乘八十一得二千零二十五开方得
通曰子较羃也丑 通曰子较羃也
寅卯辰四因积也 丑寅并与卯等
各边皆勾股和 二因积也合之
为羃
通曰较为从方者九回二十七得二
百四十三为较勾矩以减积九百七
十二余七百二十九为勾羃较为减