御制数理精蕴 - 第 111 页/共 595 页
奇零列位法
术曰奇零者不尽数也加减乗除皆有奇零惟除为多耳以法命之曰几分之几除数为母列上零数为子列下
式有实四十六法七用数六除四十二尚余实四命之
曰七之四七列上四列下
通曰以母分子故以法为母子随母分故以实
为子
奇零别多寡法
术曰母同子异别在子子同母异别在母俱异者别在子母也
母同式奇零有二一曰七之三一曰七之四辨其孰多孰寡今母数等矣但据子数别之子多者为多子少者为少耳
子同式若子数相等母数不等者其母数小子数反大母数大子数反小如二分十之一得五三分十之一止得三三耳当以母数少
者为多
子母俱异式子数母数俱不等以彼此子母互乗得数各注其下较之其较有三一曰差逺一曰稍差一曰相同法皆一也
竒零约法
术曰约多者为少其法有三一用折半一用通数一用纽数纽数不得则不可复约矣只就见数较多寡用彼此互乘之法
折半式十六之八约之为少折母数十六为八折子数八为四
约为八之四再折半又约为四之
二
通数式四十八之三十六欲约之视子母两数有何数相乗而得其数即通数也今以六为通数
以六乘八得四十八母可约为八以六乘六得三十六子可约为六
纽数式以小减大减尽而止以最后减尽数为纽数以除子母二数得约数也四十八内减三十二余十六又于三十二内减十六两次减尽是十六为
纽数矣以十六除四十八得三约母为三以十六除三十二得二约子为二
通曰纽即通也但通可见而纽不见耳今以十六为通数以三乗之得四十八以二乗之得三十二亦合
奇零并母子法
术曰凡两子母数先并母较之使两母数等以两母相乘得共母数次以两母互乘两子得各子数或三四母子不同并较多寡者亦以各母次第叠乗并一共母为实乃以各母数为各法除之即以各子数乗各所除数得各子数也
两母子相并式甲三之二乙四之三欲并一共母以两母乘得十二为共母数以甲子二乘乙母四得八为甲并子以乙子三乘甲母
三得九为乙并子
四母子相并式甲二之一乙三之二丙四之三丁五之一欲并一共母以甲母二乘乙母三得六又以六乘丙母四得二十四又以二十四乗丁母五得一百二十为共母以甲母二除共母得六十以甲子一乗之得六十为甲并子以乙母三除共母得四十以乙子二
乗之得八十为乙并子以丙母四除共母得三十以丙子三乗之得九十为丙并子以丁母五除共母得二十四以丁子一乗之得二十四为丁并子
倂母子用纽数式若母数相乗过有纽数可用即用纽数如甲母乗乙母得六嗣当与丙母四相乗有二为纽数可用【二与三乗得六二与二乗得四】则约甲乙相乗之六为三约丙母四为二乃复以甲乙相乗之六乗丙母所约之二得十二以丙母四乘甲乙所约之三得十二是甲乙丙母俱得十二数而止也至丁母无纽数即以十二
乘丁母五得六十则前式共母之一百二十今约为六十矣如法逐位母除子乗所得并子俱减前式之半
奇零累析约法
术曰奇零有析之又析者或三四析欲知其总用母乗母子乗子法三四位者母子俱湏叠乗也
二位析求总式七之四又五分四之三列自左向右七之四在左五之三在右两母乗得三十五两子乗得十二是总得三十五之一十二
也
四位析求总式二之一又六分一之一又四分一之三又三分三之二列自左向右算仍自右向左以丁母三乗丙母四得十二又以十二乗乙母六得七十二又以七十二乗甲母二得一百四十四为总母以丁
子二乗丙子三得六以六乗乙子一得六以六乗甲子一得六为总子是总为一百四十四之六也
化法
术曰凡整数后带奇零欲将整数尽依母数化之以母数乘整数以乗得数入子数却以母数除之有零无零两化俱合
化整为零式有整六又零五分一之三列六于左列五之三于右以母五乗整六得三十并子数三为三十三是化为五之三十三也
零数归整无零式七之五十六欲归为整以母数除子
数用八除尽知是八为整数也
零数归整有零式九之四十七欲归为整以母除子用五除于子四十七内除五九四十五尚余二知是整五又零九之二也
奇零加法
术曰两零数以至多零数及整与零数欲并为一者同母则一母可代众母异母则湏叠乗为共母也子不拘同异皆并为一遇有纽数者用纽数求其共母两位者子母互乘以求并子位多者母除子乘以求并子同母之子惟并而已异母之子湏求并子而并也其整与零并先并整次并零合为一曰积
同母式曰七之五曰七之六欲并为一同母七即用为
共母两子并得十一为共子积为
七之一十一归得一零七之四
异母式两母不同乘得十二为共母甲子乘乙母得八
为甲并子乙子乘甲母得九为
乙并子再以两并子并得十七
积为一十二之一十七
异母位多式以甲母七乘乙母十三得九十一再乘丙
母十一得一千零一为共母依
法各母除各子乘得各并子又
并得共子积为一千零一之二
千六百九十二
一整一零并式零曰五之三整曰八倂为一仍以整为整零为零即为八又零五之三也
二整一零并式零曰三之二整曰四曰八并为一先倂两整得一十二零数止一位无倂积为一十二又零三之二也
整与同母二零倂式零曰七之二曰七之六整曰八曰四先倂两整得十二次并两子得八同母七即为共母积为一十二又零七之八也
整与异母二零并式零曰三之二曰四之三整曰八整数无并两母乘得十二为共母左右母子互乘右子得八左子得九为倂子再并得十七积为八又零十二之十七也
试加差法
通曰加用减试用加试皆有同母异母之分
试同母式以右子五减积子十一余六合左子数以左子六减积子十一余五合右子数合则无差
试异母式先试母以右母三除共母十二得四合左母
数以左母四除共母十二得三
合右母数无差次试子以右并
子八减积子十七余九合左并子数以左并子九减积子十七余八合右并子数又以左母四除右并子八得二合右子数以右母三除左并子九得三合左子数无差
竒零减法
术曰先审多寡多为原数少为减数同母止就子数相减异母先求共母又母除子乘求各子乃以相减也通曰多中减少即右内减左也但并母子数有时似少中减多者而化整之后仍是多中减少也
同母式曰十七之八曰十七之五相减此当于十七之
八内减十七之五也同母止于右子
八内减左子五余三得十七之三
异母式曰九之八曰三之二相减先以两母乘得二十
七为共母乃母除子乘得各
子审多寡然后相减余二十
七之六
整数内减零数式整一十内减零一十一之六先于整内抽出一数依零母数化为一十一作化子整止存九是化为一十一之一十一也于化内减十一之六余十
一之五是减余为九零十一之
五
整内减整及零式两整先减十内减四余六乃于六中
抽一依零母化五为子是化为
五之五也于化内减五之三余
五之二其余整六既抽一止存五是减余为五零五之二
整及零内减整及零式整数多者为原数先以两整相
减十内减六余四此乃
异母以两母乘得八为
共母乃子母互乘为子以右子一乘左母四得四为右并子以左子三乘右母二得六为左并子当于八之四内减八之六然四少六多不能减湏于既减之余整四内抽出一数以共母化为八又并右并子四为十二化为八之十二于此内减去八之六余八之六整数止存三是减余为三零八之六
整及零内减零式整数不动乃并母子以两母乘得三百六十三为共母母子互乘右得十一为并子左得一百三十二为并子当于右内减左而右并子少乃于整九内抽出一数依共母化为三百六十三并入右并子十一为三百七十四乃于此内减右并母子余三百六
十三之二百四十二整
九止存八是减余为八
零三百六十三之二百
四十二【可约为八零三之二】
通曰乘除内用加减加减内亦用乘除故四法通而一法通也
试减差法
试同母式以减余子三并入左子五为八合右子即以减余子三于右子八内
减之余五亦合左子无差
试异母式以减余二十七之六与左三之二相加合右九之八此两母乘得八十一为共母以减余子乘左母得十八乘右母得五十