御制数理精蕴 - 第 110 页/共 595 页

三乘八曰三八二十四以三乘 　　○曰三○如○以三乘六曰三 　　六一十八以三乘四曰三四一十二如法又进位纪之此三之徧乘也用加法合问 　　原数尾有○式有六百人每人六两问共若干曰三千六百两术以六乘尾○曰六○如○次以六乘次○曰六○如○次以六乘六曰六六三十六此乘○以存位也推至总首为 　　千 　　乘数尾有○式有四十五人每人六十两问共若干曰二千七百两术乘数尾有○虽不必乘然一○为十二○为百不可不列位列后从六乘起可耳以六乘五曰五六三十以六乘四曰四六二十四推至总首为千 　　原数乘数尾俱有○式有六百人每人三百四十两问 　　共若干曰二十万零四千两术列定 　　先以四徧乘次以三徧乘得总数尾 　　三○便于定位 　　通曰加减乘除皆可易横 　　为直而乘用直觉便故附 　　于此至于诸○立法不得 　　不存熟则不用矣 　　试乘差法 　　术曰九减七减如前但左右列数多一互乘得数又减之余列上总数减余列下上下相比也不用散数九减式试第二式除○九外并原数四六八为一十八 　　九减无余列○于乂左并乘数 　　三二五为一十九减余一列乂 　　右以左右一与○乘曰一○如○无数列○于乂上并总数一四七六为一十八九减无余列○于乂下上下相比无 　　差 　　七减式试第四式原数如法减之余三列乂左乘数如法减之余四列乂右以左右三四乘得一十二七减余 　　五列上总数如法减之余五列 　　下上下相比无差 　　通曰九减用见数可去○九不用七减用实积数必存○九之位与数以便逐 　　位减至右末而止也 　　除法 　　术曰有实有法有用数实即原数列上法即除数列下用即所求分数也上下齐左从左起算下首少于上首者齐列下首多于上首者退位列之于右界格以法除实视法首于实内有防回即用防除之而纪其防除之数于格外为用数也原实变后即为余实存上次法乘用数除实尽法位而止又将法数退一位列下【一徧用数一徧退位与初列退位不同】再视法首于余实内有防回当用防除而又纪其防除之数于第一次用数之右次法又乘第二次用数除实也以法尾退至实尾齐右而止格外所纪为分数有余实亦当存之再除实尾数即用尾数推而知用数之首也 　　通曰以下除上凡除亦有二位左除十右除零右即本位本位上左有实者将左右两实作为防十防也左有实而右无实者作防十也左无实而右有实者为零数也若遇实数可以除此一徧而不足以除下徧者则知用数中当有零矣详后式 　　定列位 　　通曰其法有五不退者二退位者三与珠算无除説同盖不退者有可除之数也退者无可除之数也 　　诸式 　　退位式有三百四十二两九人分之问各若干曰三十 　　八两术法首九多于实首三当退位列法实首三四作三十四【退位故作防十防也】视三十四内有三回九当以三为用数纪格右以九乘三得二十七于三十四内除之抹去三变四为七次以法九退列余实七二作七十二内有八回九当以八为次用数纪首用数三右于余实内除八九七十二实尽俱抹去格右所纪三八即所求分数法 　　尾齐实尾两数则知用数尾八为两也 　　不退位及减用数式有八百五十五两四十五人分之问各若干曰一十九两术法首四少于实首八不退位实八即作八视八内有二回四当以二为用数但二四除实首八而次法二五除一十则无实可除遇此则减用数一止以一为用数一四除四一五除五次以法退列余实四○作四十视有九回四当以九为 　　次用数四九除三十六五九除四十五实尽合问用数中当有○式有七万六千零四十八两八人分之问各若干曰九千五百零六两术退位列法首用数该九八九除七十二又退位列法次用数该五五八除四十又退位列法八适至实之四下左无余实四不足除遇此则纪○以当一徧用数又退位列法次用数该六六八除四十八实尽合问 　　通曰前式格外用数用横列今易为直盖横 　　直俱可用也 　　实尾有○式有三百两六人分之问各若干曰五十两退位列法首用数五五六除三十纪五于格 　　右实数尽矣尚有余○乃退位列法次用数无数而纪○故知所得为五十两也 　　通曰视实尽后法尾去实尾尚空防位毎空一位加一○于用数之右亦合 　　实不尽式有六百五十三两五十八人分之问各若干曰一十一两【余实一十五两未分】又各二钱五分【余实五钱未分】术不退位列首用数该一　一五除五一八除八退位列法次用数该一一五除五一八除八法尾已齐实尾当暂止以察用尾为何数既知为两数余 　　实再除 　　术右式余实一十五两法当退位列用数该二二五除一十二八除一十六退位列法次用数该五五五除二十五五八除四十此用数首根前式用数尾下当是钱数也尚余实俟再除 　　通曰初列实时先于实右加○每加一○作降实尾一数【两降钱钱降分】即以○末为实尾较便 　　试除差法 　　术曰亦用九减七减其除毕无余实者将除数减余列左用数减余列右左右相乘减余列上原数减余列下相比其未尽实者于左右乘后并入余实减余列上原数减余列下比之若除实至半者亦以除数减余列左用数减余列右相乘又取本位【法尾止处】以前余实减余以并左右乘数再减余列上以抺过原数减余列下相比也 　　除无余九减式试第一式除数九九减无余左列○并 　　用数三八为一十一九减余二 　　右列二乘无数列○于乂上并 　　原数三四二为九九减无余列○于乂 　　上并原数三四二为九九减无余列○于乂下上下相比无差 　　除有余九减式试第五式并除数五八为一十三九减 　　余四左列四并用数一一 　　为二不足九减右即列二 　　乘得八又并余实一五为一十四 　　九减余五列上并原数六五三为一十四九减余五列下上下相比无差 　　除无余七减式试第一式除数九作九七减余二列左用数三八作三十八七减余三列右乘得六不足七减 　　即列六于上原数三四作三十 　　四七减余六次作六十二七减 　　余六列下上下相比无差 　　除有余七减式试第五式除数五八作五十八七减余二列左用数一一作一十一七减余四列右乘得八又 　　以余实一五作一十五七 　　减余一以此用一并左右 　　所乘八为九七减余二列上原数 　　六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列下上下相比无差 　　半除试差式除数六五用数一三原数八六六三余实二一三　用九减并除数六五为一十一九减余二列左又并用数一三为四不足九减右即列四乘得八乃并法尾止处以前之余实二一为三不足九减即以此 　　三并左右所乘八为一十一 　　九减余二列上并原数抺去 　　三位之八六六为二十九减 　　余二列下上下相比无差 　　用七减除数六五作六十五七减余二列左用数一三作一十三七减余六列 　　右乘得一十二乃以法尾止处以前之余实二一作二十一七减无余与左右所乘数相并仍是一十二七减余五列上原数抺去之八六作八十六七减余二次作二十六七减余五列下上下相比无差 　　通曰试差之法独用九七何也盖十者数之穷也数穷则变十复为一故数始于一终于九九阳数也下九之阳数为七故七与九同用自七九而外或有合者于率不通不可立法所以加减试差用实积则无不可用见数则七与五不可也乘除试差用实积则亦无不可用见数则自九而外皆不可也若夫论除之余六与三之余同九是用九而六三可无用矣四与二之余同八是用八而四二之余可无用矣且八或可以试加减而或不可以试乘除亦不可用然则试差之法舍七与九又何所取用哉 　　命分法 　　术曰命分者一大防何已分防何命余者为防何分之防何也又曰所余之小防何再分防何命此得者为防何分之防何也 　　通曰第一术即防何原本之命比例法也第二术恰尽则可否则终不能尽也 　　式法数为母余数为子如实数八万七千二百四十八法数三百七十四法尾已齐实尾用数已得二三三尚有余实一○六当命为三百七十四分之一百零六也又式得数为子得数前位为母得数一位为十二位为百三位为千也如右式余实一○六先于六右加一○依法再除之得二又加一○再除之得八又加一○再除之得三凡三位乃千也当命为千分之二百八十三也 　　数度衍巻二 <子部,天文算法类,算书之属,数度衍> 　　钦定四库全书 　　数度术卷三 　　桐城　方中通　撰 　　笔算下