御制数理精蕴 - 第 118 页/共 595 页

从方者九回三十六得三百二十四为较股矩以并积九百七十二得一千二百九十六为股羃 　　有积勾股和求勾股法 　　式有积九百七十二勾股和为丙乙乙甲六十三问勾股各几何曰勾二十七股三十六四十五术积四因得三千八百八十八 　　和自乗得三千九百六十九相减余八十一开平方得九为勾股较加和得七十二半之得股勾股较减和余五十四半之得勾勾股求得二术积二因得一千九百四十四和自乗得三千九百六十九相减余二千零二十五开平方得 　　有积求勾股法 　　式有积四百八十六为甲丙四十五问勾股各几何曰勾二十七股三十六术积四因得一千九百四十四自乗得二千零二十 　　五相减余八十一开平方得九为勾股较又以积倍之得九百七十二以较九为从方开之得勾勾求得股通曰以较为减从方开之亦得股 　　有率【勾股之三】 　　勾与股率勾和率求股法 　　式勾十股率三勾和率七问股各几何曰股一十零五一十四五术以勾和率自乗得四十九为勾和准以股率自乗得九并勾和准得五十八折半得二十九为准二率相乗得二十一为股准以准二十九减勾和准四十九余二十为勾准以准二十九乗勾一十得二百九十以勾准二十除之得一十四五为以股准二十一乗勾一十得二百一十以勾准二十除之得一十零五为股 　　通曰此迟速相较也速巳七迟止三为率速者于乙至丙又于丙至申迟者于 　　乙至甲同在乙起同至甲防也【按此图应在又式后】 　　又式甲善走乙次之甲行七乙行三今乙东行甲南行十步斜向东行防乙问各行几何曰甲南行斜行共二十四步半乙东行十步半术甲南行勾也斜行也又东行股也甲行七勾和率也乙行三股率也 　　容方与勾股率求勾股法 　　式容方径一千五百股率三勾和率五问勾股各几何曰勾二千三百股四千三百一十二五四千八百八十七五术以勾和率自乗得二十五为勾和准股率自乗得九并勾和准得三十四半之得十七为准二率相乗得十五为股准以准十七减勾和准二十五余八为勾准以勾准乗容方径得一万二千以股准十五除之得余勾八百加容方径得二千三百为勾以准十七乗勾二千三百得三万九千一百以勾准八除之得四千八百八十七五为以股准十五乗勾二千三百得三万四千五百以勾准八除之得四千三百一十二五为股 　　通曰此亦迟速相较也速五迟三速 　　于乙过丙至甲迟于乙至甲同在乙 　　起同至甲防乙戊乙巳皆容方径方 　　也乙过戊至丙勾也戊丙余勾也乙过丙至甲勾和也乙过巳至甲股也己甲余股也丁乙直角方形容方也丁庚直角方形即又式邑也【按此图应在又式后】 　　又式邑方十里每里三百步甲乙二人同立邑中乙东行率三甲南行率五乃斜磨邑东南角与乙防问各行几何曰甲南行二千三百步【邑中一千五百步南门外八百步】斜行四千八百八十七步半乙东行四千三百十二步半【邑中一千五百步东门外二千八百十二步半】术南行勾也南门外余勾也斜行也东行股也东门外余股也邑中至门皆容方径也甲行五勾和率也乙行三股率也 　　容方【勾股之四】 　　勾股容方法 　　式勾二十七股三十六问丁戊容方径几何曰丁戊容方径一十五四二八术勾股相乗得九百七十二为实勾股相并得六十三为 　　法除实得一十五四二八为容方径即丁至戊也戊乙乙己己丁皆等 　　论曰甲乙股乙丙勾相乗为实即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙相并为法即成甲戊线除实得戊巳边 　　十五四二八即成甲戊己庚直角 　　形等甲乙丙丁形而己庚边截乙 　　丙勾于癸截甲丙于壬成乙辛 　　壬癸满勾股之直角方形何者甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙分之即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙更之即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也而辛乙与壬癸等乙癸与辛壬等则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙而乙辛壬癸为满勾股之直角方形 　　通曰勾股稍近者容方大勾股悬逺者容方小 　　又简论曰如前图以甲乙戊为法而除甲丙实既得甲庚戊己各与方形边等今以等甲乙戊之丙乙戊为法而除甲丙实得庚丙戊己亦各与方形边等则辛乙癸壬 　　为直角方形 　　容圆【勾股之五】 　　勾股容圆法 　　式甲乙股六百乙丙勾三百二十问丁乙容圆径几何曰丁乙容圆径二百四十术勾股相乗得一万九千二百倍之得三万八千四 　　百为实别以勾股求得六百八十以并勾股和九百二十得一千六百为法除实得二百四十为容圆径即乙至丁也子丑寅夘皆与乙丁等 　　通曰容圆径即和较也勾股和求减和余亦容圆径也 　　论曰甲乙 　　股乙丙勾 　　相乗即甲 　　乙丙丁直 　　角形倍之 　　为实即丙 　　丁戊巳直角形求得甲丙并勾股得一千六百于甲乙线引长之截乙庚与勾等庚辛与等得甲辛为和和线以为法除实得辛壬边二百四十即成甲辛壬癸直角形与丙丁戊己形等而壬癸边截乙丙勾于子次从子作子丑寅乙直角方形即此形之各边皆为容圆径何者谓于甲乙丙三边直角形内作一圜其甲丙截子丑寅乙直角方形之卯辰线与乙子子丑丑寅寅乙诸边皆为切圜线也又何以显此五边之切圜线试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三边形交加其上其午丙与乙丙等未午与甲乙等未丙与甲丙等即两形必等次依丙午未直角作午申酉戌直角方形与乙子丑寅直角方形等次于戍酉线引之至亥又成甲戌亥直角三边形以甲为同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戍为容圆径次于亥戍寅丑两线引之遇于干又成干寅亥直角三边形以亥为同角交加于甲乙丙形之上亦以乙子丑寅为容圆径次作丙兑线遇诸形之交加线于离于兑次作甲震线遇诸形之交加线于防于震次作亥辰线遇诸形之交加线于坎于辰次作未干线遇诸形之交加线于艮于卯而四线俱相遇于坤夫午丙与乙丙两线等而减相等之午戌乙子即戌丙与子丙必等丙离同线丙戍离丙子离又等为直角戍离丙子离丙又俱小于直角即丙离戌丙离子两三角形必等而两形之各边各角俱等则丙兑线必分甲丙未角为两平分矣又子离与戍离两边既等子离震戌离卯两交角又等夘戌离震子离又等为直角即卯离戍离震子之各边各角俱等而两形亦等又子离与离戍两边既等离卯与离震两边又等即子卯与戍震两边亦等子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等而各减相等之子卯戍震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉两角又各为离夘戌离震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等为直角即卯丑辰震酉坎之各边各角俱等而两形亦等依显午防辰与坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等防寅兑与兑艮申之各边各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百零二则减丑卯之夘子必一百五十也卯子股一百五十丙子勾八十以求卯丙则一百七十也次减丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戍卯既等为直角丑卯辰戍夘离两交角又等丑卯与戌夘复等即两形必等而其各边各角俱等依显子离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离离戌皆四十八也则酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙与戌酉等子丙与酉亥复等则乙丙与戌亥必等而甲为同角甲乙丙甲戌亥又等为直角则甲乙丙甲戌亥之各边各角俱等而两形亦等甲亥与甲丙既等各减相等之丙戌乙亥又减相等之乙寅戌午即甲寅与甲午必等夫甲防午甲防寅两形之甲寅甲午既等甲防同线甲午防甲寅防又等为直角即两形必等而各边各角俱等是甲震线必分丙甲亥角为两平分也甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙角为两平分又以甲震线分丙甲乙角为两平分而相遇于坤则以坤为心甲乙为界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五边而为甲乙丙直角三边形之内切圜即乙丑直角方形之各边为容圆径展转论之则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分皆遇于坤而坤心圜为各形之内切圜即两直角方形边为各勾股形内之容圆径通曰容方容圆勾股测算之枢机也先衍其防于此详后二卷 　　数度衍卷六 　　钦定四库全书 　　数度衍卷七 　　桐城　方中通　撰 　　测量【勾股之六】 　　容方与余勾求余股法 　　式容方径为丁乙一百五十余勾为丁丙三十问甲戊余股防何曰七百五十术以容方径自乗得二万二千五百为实以余勾为法除实 　　得七百五十为余股 　　容方与余股求余勾法 　　式容方径一百五十余股七百五十问余勾防何曰三十术容方径自乗得二万二千五百为实以余股为法除实得三十为余勾 　　又式邑方二百步四面居中开门东门外十五步有木问出南门防步见木曰六百六十六步六分步之一术半邑方为容方东门外为余勾南门外为余股 　　测髙式欲测甲乙之髙去乙二十五尺立表于丙为丁丙髙一丈却后五尺立戊戊己髙四尺使目在己视表末丁与甲为一直线问甲乙髙防何曰四十尺术以丁丙表髙十尺减戊巳目髙四尺余丁辛六尺以乗庚辛二十五尺【与乙丙等】 　　得一百五十尺为实以丙戊五尺为法除实得甲壬三十尺加表髙十尺得四十尺为甲乙之髙 　　通曰丁辛容长方径也丁壬庚辛容长方形也辛巳【与丙戊等】余勾也甲壬余股也容方则径自乗容长方则横径直径相乗也 　　测深式甲乙丙丁井欲测其深井径甲乙五尺立戊甲表于井口髙五尺従戊视丙截甲乙径于己甲已四寸 　　问井深防何曰五丈七尺五寸术以 　　井径五尺减甲巳四寸余己乙四尺 　　六寸以乗戊甲五尺得二千三百寸为实以甲已四寸为法除实得甲丁深五丈七尺五寸 　　通曰己乙容长方径也戊辛余勾也乙丙余股也测逺式欲测甲乙之逺立乙丙巳丁四表成直角方形 　　丁乙与甲为直线每表相去一丈 　　乃于己表之右戊上视丙表与甲 　　为直线戊巳三寸问逺几何曰三十三丈三分丈之一术乙丙自乗得一万寸为实以戊巳三寸为法除实得甲乙逺三十三丈三分丈之一 　　通曰乙丙容方径也戊已余勾也甲乙余股也 　　又式欲测甲乙之逺立丙乙表髙十尺目従戊过丙视甲作直线目去表末为戊巳三寸人离表为己丙十尺问逺几何曰三十三丈三分丈之一术以人离表一百寸乗表髙一百寸得一万寸为实以目去表三寸为法除实得逺此与右法同但彼用四 　　表此用一表为防耳丙乙容方径也戊巳余勾也甲乙余股也 　　余勾余股求容方法 　　式丙丁余勾三十甲戊余股七百五十问丁乙容方径几何曰一百五十术余勾余股相乗得二万二千五百为容方积开平方得一百五 　　十为丁乙径 　　又式邑不知大小四中开门北门外三十步有木出西门七百五十步见木问邑方防何曰三百步术通曰北门外为余勾西门外为余股半邑方为容方径也 　　两余勾与股求容方法 　　式丙丁余勾二十戊乙余勾十四甲乙股一千七百七十五问丁戊容方径几何曰二百五十术以丙丁余勾乗股得三万五千五百倍之得七万一千为实并二余勾得三十四为从方开之横 　　得二百八十四为乙丙勾直得二百五十为丁戊容方径 　　又式邑方不知大小边东开门北门外二十步有木出南门十四步折而西行一千七百七十五步斜见木问邑方几何曰二百五十步术通曰北门外二十步一余勾也南门外十四步一余勾也西行股也邑方容方径也 　　小勾股与大勾求大股法 　　式丙丁小股一百丁戊小勾二十五乙丙大勾三百一十二五问甲乙大股防何曰一千二百五十术以大勾为实以小勾为法除实得大 　　股 　　通曰小股一百此法极便如二百三百者先以小股乗大勾为实用异乗同除法也【见九章外法】 　　测高式塔不知髙量其影従塔心至影末长三丈一尺二寸五分别立一表髙一丈影长二尺五寸问塔髙防何曰十二丈五尺术通曰塔影大勾也表小股也表影小勾也塔大股 　　又式八尺之表以测日影表去日下六万里表影长六尺问日髙几何曰八万里术通曰六万里大勾也以里法三百六十步步法五尺通之得一亿八百万尺表八尺小股也表影六尺小勾也日髙八万里大股也用异乗同除法【即三累法】以小股乗大勾为实以小勾为法除之或以大勾为实以小股除小勾得每尺影七寸五分为法除实皆得日髙也 　　又式欲测甲乙之髙以平镜依地平线置丙人依地平线立丁目在戊见甲在镜中心丙处丙至乙十尺丙至丁二尺目髙四尺问甲乙髙几何曰二丈术通曰乙丙大勾也丙丁小 　　勾也戊丁小股也 　　测广式日逺人十万里不知日径以径寸长八尺竹筒对日于竹筒视之空正掩日问曰径几何曰一千二百五十里术通曰日逺人大勾也径寸小勾也筒长八尺小股也 　　测逺式欲测甲乙之逺立一丙两表从丙斜退至丁目望丁丙甲成一直线乃作丙丁戊直角以此测之术通 　　曰丁角与乙角等直角也 　　乙丙线与丁戊线相遇于