御制数理精蕴 - 第 104 页/共 595 页

【臣】等谨案数度衍二十四卷 　　国朝方中通撰中通字位伯桐城人明检讨以智之子也以智博极羣书兼通算数中通承其家学着为是书有数原律衍几何约珠算笔算筹算尺算诸法复条列古九章名目引 　　御制数理精蕴法推阐其义其几何约篇本前明徐光启译本其珠算仿程大位算法统宗笔算筹算尺算采同文算指及新法算书惟数原律衍未明所自大抵裒缉诸家之长而增减润色勒为一编者也其尺算之术梅文鼎谓其三尺交加取数故只能用平分一线其比例规解之本法惜仅见其弟中履但称中通得旧法于豫章而不知其法何如并未获与中通深论又称见嘉兴陈荩谟尺算用法一卷亦只平分一线岂中通所据之法与荩谟同出一源欤盖不可考矣乾隆四十六年十月恭校上 　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅 　　总　校　官【臣】陆费墀 　　钦定四库全书 　　数度衍卷首上 　　桐城方中通　撰 　　数原 　　勾股原图説 　　一　　股较即勾股较 　　二　　勾较 　　三　　勾 　　四　　股 　　五　　 　　六　　股较与和 　　七　　勾较与和即勾股和 　　八　　勾和 　　九　　股和 　　通曰九数出于勾股勾股出于河图故河图为数之原周髀曰勾广三股修四径隅五天数二十有五之开 　　方也河图之数五十有五中五不用用其五十合勾自之股自之自之之数也勾三阳数也居左和而为八故八与三同位股四隂数也居右和而为九故九与四同位五勾股所求之数也居中勾较得二居上股较得一居下勾较与和为七故七与二同位股较与和为六故六与一同位居中倍为十而倍之之数不可用故洛书不用十也勾股左右両较上下四和四围岂偶然哉勾不尽于三而始于三股不尽于四而始于四不尽于五而始于五较不尽于一二而始于一二和不尽于六七八九而始于六七八九此勾股之原也 　　加减乘除原图 　　加减乘除原説 　　通曰不用十而用九河图变为洛书加减乘除之数皆从洛生而九数之用备焉加者并也一隂一阳相并而生阳为用故一并六为七七并二为九九并四为十三去十不用所生为三三并八为十一去十不用所生为一数始于阳阳故统隂此加之原也减者去也隂中去阳则六去一为五八去三为五阳中去隂则九去四为五七去二为五边去中存此减之原也乘者积也除者分也一无积分相对而为乘除者仍为九焉二与八对 　　二其八八其二所积皆十六截东南三四九之数合矣二分十六得八八分十六得二此二与八之互见也三与七对三其七七其三所积皆二十一不用三下之八七下之六而一二四五九之数合矣三分二十一得七七分二十一得三此三与七之互见也四与六对四其六六其四所积皆二十四三八亦积二十四不用三八而一二五七九之数合矣四分二十四得六六分二十四得四此四与六之互见也五宜与十对而洛书无十故以中五乘四隅所积之数必止于十而无余五乘二为一十是为两方之数【四正四隅两方相对皆十】五乘四为二十是为四方之数【四正合为二十四隅亦合为二十两正两隅亦合为二十】五乘八为四十是为八方之数【四正四隅合为四十】五除十得二五除二十得四五除三十得六五除四十得八二除十四除二十六除三十八除四十皆五此即五与十之互见也洛书无十而十藏于中矣足后反无余不足然后足此乘除之原也 　　九章皆勾股説 　　通曰九数曰方田御田畴界域曰粟布御交质变易曰差分御贵贱禀税曰少广御积幂方圆曰商功御功程积寔曰均输御逺近劳费曰盈朒御隐襍互见曰方程御错糅正负曰勾股御髙深广逺周礼保氏注也周髀周之算经也陈子曰髀者股也正晷者勾也以勾为首以髀为股又曰髀者表也然周髀独明勾股不及九章何哉偃矩以望髙覆矩以测深卧矩以知逺勾股之自为用也环矩以为圆合矩以为方方数为典以方出圆勾股之所生也数有可见者有而不得见者有互见者有旁见者其变无穷藏于圎方少广圎方所出也方田商功皆少广所出一方一圎其间不齐始出差分而均输对差分之数盈朒者借差求均又差分均输所出而以方程济其穷度也量也衡也原于黄钟粟布出焉黄钟出于方圎者也三分益一圎周变为方周四分用三圎积变自方积故勾股之容圎方不同方田少广生焉折半以平粟布均输生焉盈朒方程生于诸和商功差分生于诸较勾股岂非九数之原乎设为九章者便用耳田畴界域或见于勾股少广方田统之矣交质变易或见于差分均输粟布统之矣故九章以用而分不以数而分也秦西立十八法盈朒曰叠借互征方程曰杂和较乘分少广为九而开方诸法有其七其二曰逓加倍加勾股有其畧差分仍为差分粟布商功见于三率均输见于重准测名异理同究无同异也加减乘除出于洛亦成于勾股和者勾股之相并也较者勾股之相较也并以成加较以成减勾股自之而为积则乘成积开方而为则除成有河即有洛有勾股即有加减乘除何往非图书引触哉 　　四算说 　　通曰古法用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握即少广圎以六包也后世有珠算而古法亡矣泰西之笔算筹算皆出九九尺算即比例规出三角筹尺虽不备加减其用甚便葢乘莫善于筹除莫善于笔加减莫善于珠比例莫善于尺用加为减用加减为乘除借此知彼无往而非比例也好学深思可以通而几矣 　　九九图説 　　此九九全图即相乘 　　相除图也【相乗者一一得一一 　　二得二之类相除者九除八十一得九八 　　除六十四得八之类】 　　此自乘图也【一一得一 　　二二得四三三得九之类】 　　此各并图也 　　【三与六并九四与八并十 　　二之类】 　　此隔一位并图也【四与十二并十六五与十五并二十之类】隔二位并【五与二十并二十五六与二十四并三十之类其隔中又 　　并者五之左十二十之右十五亦并二十五也余仿此】隔三位并隔四位并　隔五位并 　　隔六位并【无不合隔中挨次而并亦无不合】 　　此相减生阳图也【四去 　　一而生三六十四去一而生六十三九去 　　四而生五四十九去四而生四十五之类 　　右而左者自少而多即据见数减之左而 　　右者自多而少当除十而减其余也除皆 　　阴数始除八十次除六十次除四十次除 　　二十】 　　此相减生隂图也【六去 　　二而生四五十六去二而生五十四十二 　　去六而生六四十二去六而生三十六之 　　类自左而右者亦除十余皆阳数始除七 　　十次除五十次除三十】 　　【并首尾之一九为十并一与十六为十七并一与二十五为二以九乘之得九十折以十六乘之得二百十六以二十五乘之半得四十五为实以七十二折半得一百得六百五十折半得三为法除之得十五三十六为实以四为三百二十五为实以 　　故纵横皆十五也　法除之得纵横皆三五为法除之得纵横此用少广章顺加求十四　　　　　　皆六十五积法得实】