御制数理精蕴 - 第 102 页/共 595 页

解同二十一则 　　二十四则 　　勾股形求对角之垂线 　　设勾六尺股八尺十尺求对角垂线法曰置勾股相乗【得四十八尺】以除之得四尺八寸即所求解曰勾股相乗必得丁丙直形与甲戊直形等何也丁丙直形倍大于甲乙丙勾股形甲戊直形 　　亦倍大于甲 　　乙丙勾股形 　　故等也以 　　除积得垂线 　　即以长除积 　　得濶也 　　二十五则 　　勾股形于上求自角至垂线之度 　　设勾三尺股四尺五尺求自角至垂线之度法曰 　　置勾自 　　乗【得九尺】以除 　　之得一 　　尺八寸 　　即乙角 　　至垂线之度与相减得三尺二寸即甲角至垂线之度 　　解曰甲乙上方形以对角戊丁线分之必成二直形而丁乙其一也丁乙直形与勾上方形等【本卷一则】以乙巳除之必得戊乙之度法以除者葢甲乙与乙巳等也○若欲先得甲戊则以除股羃 　　又法曰置为实以勾羃九尺乗之【得四十五尺】并勾股羃二十五尺除之亦得一尺八寸 　　解曰凡两形等髙形与形之比例若线与线【一卷四十五则】甲丁戊巳两形既等髙【图同前】则其比例必若甲戊与戊乙又甲丁与股羃等戊巳与勾羃等则股羃与勾羃之比例亦若甲戊与戊乙矣此借两羃之比例因全以求戊乙也○若欲先得甲戊则以股羃乗并两羃除之 　　又法曰并勾股【共七尺】以勾股较乗之【仍得七尺】以除之【得一尺四寸】与相减【余三尺六寸】折半亦得一尺八寸解曰此三角形求对角垂线法也【一卷三十一则】○若欲先得甲戊以一尺四寸与相并折半即得 　　二十六则 　　勾股求容方一法 　　设勾六尺股一十二尺求容以角切之方形法曰置勾股相乗【得七十二尺】以勾股相并【共一十八尺】除之得四 　　尺即容方之边 　　解曰甲乙丙勾股形 　　分甲丙于丁令丁 　　甲与丁丙之比例若 　　勾与股自丁作丁乙 　　线必分勾股形为甲丁乙乙丁丙两三角形一以勾为底一以股为底又两分形之比例亦若勾与股【防何原本云凡两形等髙者形与形之比例若底与底反之凡形与形之比例若底与底者两形之高必相等】令两分形各倍积求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊一得丁巳两线必相等何也两垂线即两形之正髙两形之髙既等故两垂线必等也两线既等而又为为勾及股之垂线复切于丁则己戊形必为勾股所容之方而丁戊丁巳即容方之边也然分求之如是合求之亦必如是若并两形之倍积为实并两底除之亦得容方之边与丁戊【或丁已】等夫两形之倍积即勾与股相乗之积也两分形之底即勾与股也故置勾股相乗并勾股除之即得容方之度也 　　二十七则 　　勾股求容方二法 　　设一十五尺对角垂线五尺求容以角切勾与股之方形法曰置垂线为实以乗之【得七十五尺】以垂线 　　并除之得三尺七 　　寸五分即容方之边 　　解曰甲乙丙勾股形 　　丙丁为对角垂线分 　　垂线于戊令丙戊与 　　戊丁之比例若丙丁与甲乙则戊丁即所求之方边防何原本云作庚戊己线与甲乙平行次作庚壬己辛两线各与丙丁平行己庚既与甲乙平行即甲丁与丁乙若己戊与戊庚也合之即甲乙与丁乙若己庚与戊庚也又丁乙与丙丁若戊庚与丙戊平之即甲乙与丙丁若己庚与丙戊也又丙丁与甲乙若丙戊与戊丁平之即甲乙与甲乙若己庚与戊丁也甲乙与甲乙同线必等即己庚与戊丁必等而己庚与辛壬又等戊丁与己辛庚壬亦等则辛庚形必勾股所容之方形而戊丁即方边之度法以乗垂线而并与垂线除之者借甲乙与丙丁之比例因丙丁以求戊丁也 　　二十八则 　　勾股求容圆 　　设勾二十七尺股三十六尺四十五尺求容圆法曰置勾股相乗【得九百七十二尺】为实并勾股【共一百零八尺】除之得九尺即容圆之半径倍之得一十八尺即全径解曰甲乙丙勾股形自三角各出一线平分各角相 　　遇于丁即分勾股形为甲丁 　　乙乙丁丙丙丁甲三三角形 　　一以全形之勾为底一以股 　　为底一以为底各角既平 　　分而复有一边同线则三形 　　必等髙令三形各倍积求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊一得丁已一得丁庚三垂线必等何也三垂线即三形之正髙三形既等髙故垂线必等也三线既等其相遇处必容圆之心【几何原本云凡圆内出三线至界而皆等者其防必是圆心】而三线皆半径也然分求之如是合求之亦必如是若并三形之倍积为实并三底除之亦得容圆之半径与丁戊【或丁已或丁庚】等夫三分形之倍积即勾与股相乗之积也三分形之底即勾股也故置勾股相乗并勾股除之得容圆之半径也 　　二十九则 　　勾股求外切圆 　　设勾股长二十八尺求外切圆周法曰置二十二乗七除得八十八尺即所求 　　解曰此圆径求周法也【二卷一则】今以之求勾股外切圆 　　形何也凡圆内以径为底任 　　作三角形皆成勾股如甲乙 　　丙形丙为方角甲乙丁形丁 　　为方角甲乙戊形戊为方角 　　反之以为径作圆必外切 　　勾股形之方角 　　三十则 　　容方之勾股以余勾余股求方边及全勾全股 　　设容方之余勾二尺余股八尺求方边及全勾股法曰置余勾余股相乗【得一十六尺】平方开之得四尺即方 　　边以四尺加余勾得六 　　尺即全勾以四尺加余 　　股得一十二尺即全股 　　解曰甲乙丙勾股形容 　　壬巳方形自甲作甲丁 　　线以丙丁线联之成乙 　　丁直形复于己庚壬庚 　　两线引之至戊至辛必分乙丁直形为四形其甲庚庚丙同依甲丙对角线为两角线形其乙庚庚丁为两余形两余形之容必相等防何原本云甲丙对角线必分乙丁全形为丁甲丙乙丙甲相等两勾股形亦分庚丙角线形为辛庚丙巳丙庚相等两勾股形亦分甲庚角线形为戊甲庚壬庚甲相等两勾股形试于乙丙甲形内减去己丙庚形于丁甲丙形内减去辛庚丙形乙丙甲丁甲丙两形既等减去之己丙庚辛庚丙两形复等则所余之甲乙庚巳甲丁庚辛两斜方形必相等再于甲乙庚己形内减去甲庚壬形于甲丁庚辛形内减去戊甲庚形两斜方既等减去之甲庚壬戊甲庚两形复等所余戊辛直形与壬巳方形安得不等夫甲乙丙勾股形之甲乙勾减去壬巳方形之壬乙边余甲壬即余勾丙乙股减去己乙边余丙巳即余股辛庚与余股等戊庚与余勾等则戊辛直形之容必即余勾余股相乗之积而戊辛直形又与壬巳方形等则壬巳方形之容亦必余勾余股相乗之积也故置余勾股相乗平方开之得容方边也 　　三十一则 　　容方之勾股以余股及方边求余勾 　　设容方之余股八尺方边四尺求余勾法曰置方边自乗【得　十六尺】以余股除之得二尺即所求 　　解曰壬己方形既等于戊辛直形【图同前】而直形以余股为长以余勾为濶故以余股除积得余勾 　　三十二则 　　容方之勾股以余勾及方边求余股 　　设容方之余勾二尺方边四尺求余股法曰置方边自乗【得一十六尺】以余勾除之得八尺即所求 　　解同前 　　三十三则 　　日晷测高 　　设物不知髙止得物景一十二尺立表八尺表景二尺四寸求物髙法曰置物景为实以表髙乗之【得九十六尺】以表景除之得四十尺即所求 　　解曰物髙与物景表高与表景各以日光联之必皆 　　成勾股形而 　　体势等凡两 　　形体势等者 　　其比例必等 　　物髙与物景 　　之比例必若表髙之与表影也又表影与物景之比例必若表髙之与物髙也今物景既五倍于表景因知物高亦必五倍于表髙矣法以表髙乗物景而以表景除之者借表景与物景之比例因表髙以求物髙也 　　三十四则 　　一表测髙 　　设物不知髙距物二十五尺立表十尺又退行五尺立窥表四尺自窥表望之物末与表末相齐成一直线求物髙法曰置表距髙物二十五尺为实以窥表减表【余六尺】乗之【得一百五十尺】以退行五尺除之得三十尺为表外之髙加表髙共四十尺即物髙 　　解曰癸丁为物髙壬子为表髙乙丑为窥表乙丁对 　　角线为视线戊壬为表距髙 　　物之二十五尺壬辛为窥表 　　减表所余之六尺乙辛为退 　　行之五尺也甲丙一形分为 　　四形其辛巳戊庚为两角线 　　形其甲壬壬丙为两余形两 　　余形之容必相等【本卷三十则】法