历算全书 - 第 172 页/共 206 页

对山之斜髙如甲戊乙于对 　　山之斜坡测之如丙丁先量 　　得丙丁之距于丙安仪噐得 　　丙角二【一乙丙丁二戊丙丁】于丁安仪 　　噐得丁角四【一乙丁丙二乙丁戊三戊丁丙四乙丁甲】成各三角形 　　先用乙丙丁形【有丙角丁角及丁丙邉】测乙丁邉　次用戊丙丁形【有丙丁二角及丁丙邉】测丁戊邉　三用乙丁戊形【有乙丁戊丁二邉及丁角】测乙角及乙戊邉　四用乙丁甲形【有乙角丁角及乙丁邉】测乙甲邉乙甲内减乙戊得戊甲邉【乙戊甲为垂线之髙法同】 　　三角测斜坡第三术 　　测对坡之斜髙及其岩洞 　　从丙从丁测对面之斜坡戊甲及乙戊 　　一乙丙丁形【有丙丁两测之距丙角丁角】可求乙丁邉　二戊丙丁形 　　【有丙丁邉丁角丙角】可求丁戊丙戊二 　　邉　三乙丁戊形【有乙丁邉戊丁邉丁 　　角】可求乙戊邉为所测对山 　　上斜入之岩　四丙丁甲形【有丁角丙角丙丁邉】可求丙甲邉五甲丙戊形【有丙戊邉丙甲邉丙角】可求戊甲邉为所测对坡斜髙 　　或戊为髙处基址乙为房檐亦同 　　三角测深第一术 　　测井之深及濶 　　甲乙为井口之濶于甲作垂线至丁【或用砖石投之以识其处】从乙 　　测之得乙角成甲乙丁句股 　　形即以甲乙井口为句得甲 　　丁股为井之深　既得乙丙 　　深【即甲丁】即可用乙己戊形得 　　己戊为底濶法以半径当井 　　深【乙丙】以两乙角【一戊乙丙二己乙丙】之 　　切线并当井底之濶【己戊】若不知井口则立表于井口 　　如庚甲求庚甲二角成庚甲 　　丁形测之 　　三角测深第二术 　　登两山测谷深 　　先于二山取甲乙之平而得其距 　　数为横线即可用三角形求丙丁 　　垂线为谷之深与测髙同理【亦可用以】 　　【测髙也】法为甲乙两角之余切线并比半径若甲乙与丙丁论曰深与髙同理测深之法即测髙之法也存此数则以发其例有不尽者于测髙诸术详之可也 　　附隔水量田法 　　甲乙丙丁田在水中不可 　　得量于岸上戊庚两处用 　　仪噐测之得诸三角形算 　　得其邉【一甲乙二乙丙三丙丁四丁甲】次 　　求乙丁对角线分为两三 　　角形【一甲乙丁二丙乙丁】末用和较法求得分形之两垂线【一甲癸二壬丙】并两垂线而半之以乗乙丁即得田积 　　或用三较连乗法求三角形积并之亦同 　　凡有平面形在峭壁悬崖之上及屋上承尘可以仰观者并可以此法测之 　　解测量全义一卷十二题加减法 　　甲寅象限弧　甲乙半径全数 　　为首率 　　丙寅弧之正丙辛为一率 　　丁寅弧之正丁庚为三率 　　戊己为四率 　　二三相乗为实首率为法法除实得四此本法也今以加减得之则不用乗除 　　丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧其余辰卯【即子癸】丙寅内减丁寅为丑寅【即丙丁】存弧其余癸丑以子癸减癸丑余子丑平分之于壬为壬子或壬丑即 　　四率【其壬子壬丑皆与戊己等】　此因总弧 　　不及象限故以两余相减 　　甲寅象限弧甲乙半径全数 　　为首率 　　丙寅弧之正丙辛为二率 　　丁寅弧之正丁庚为三率 　　戊己为四率 　　以上皆与前同 　　丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧【此总弧大于象限】其余卯辰【即子癸】　丙寅内减丁寅【即丙丑】余丑寅为存弧其余丑癸 　　以子癸加丑癸为子丑半之于壬分为壬子及壬丑二线皆与戊己同即为四率如所求 　　此因总弧过象限故以两余相加 　　今订本书之譌 　　甲寅皆象限弧　甲乙半径 　　一○○○○○为首率 　　丙辛○五九九九五为二率 　　丁庚○二五○一○为三率 　　以三率法取之得○一五○ 　　○四为四率 　　今用加减法 　　以丙辛线为正查其弧得丙寅三十六度五十二分亦以丁庚线为正查其弧得丁寅十四度二十九分以丙寅弧与丁寅弧相加得总弧辰寅五十一度二十一分其余○六二四五六如辰卯【即子癸】 　　又以丙寅弧与丁寅弧相减得存弧丑寅二十二度二十三分其余○九二四六六如丑癸 　　因总弧小于象限当以两余相减其较○三○○一○如子丑【于丑癸内减子癸得之】乃平分子丑于壬其数○一五○○五为壬丑或壬子皆与戊己同即为四率　此所得与三率所推但有微差而不相逺 　　按此以加减代乗除依其法宜如此今刻本相减相并讹为并而相减又于相并之弧讹为五十度二十分相减之存弧讹为二十二度二十四分故其正皆讹而所得之四率只一四三一与三率所推不合矣 　　又按以加减代乗除之法不过以明图法之妙其中又有此用耳若以入算终不如乗除之便何也设问毎多整数而正之数皆有畸零不能恰合一也先用设数求弧度必用中比例始得相合则于弧度亦有畸零二也弧度既有畸零则其查余又必用中比例三也两余有用加之时有用减之时易至于讹四也及其所得四率以较三率法之所得终有尾数之差五也盖论数学则宜造其防而施之于用则贵其简易若可以简易者而故引之繁重又何贵乎故曰不如乗除之便也观设例之时便有讹错如此则其不便于用亦可见矣又按此加减法即测量全义第七卷所言加减也其以总存两余相加减而半之者即初得数也然彼以两正相乗得之此以加减得之而省一乗矣实弧三角中大法而彼但举例而隠其图姑示其端于此而又不直言其即弧度之初得数此皆译书者秘惜之故耳向后二图发明所以然之故 　　甲寅象限弧　乙丙半径为首率 　　丙寅弧之正丙辛为次率 　　丙丑弧之正丑戊为三率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】得戊巳为四率【丑壬及壬子并同】 　　论曰戊巳辰【或丑壬戊亦同】句股形与 　　丙辛乙句股形相似故其比例 　　等法为乙丙与丙辛若丑戊与 　　丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】 　　又论曰凡两十字垂线相交作 　　句股则其形俱相似如辰丑线即丙丑及丙辰之正与丙乙半径相交于戊防一十字也辰午线【辰寅弧之正也】丑癸线【丑寅弧之余】相交于子防一十字也此两十字相交而成诸句股形则俱相似矣故戊壬庚与丑壬戊相似而戊壬庚原与丙辛乙相似则丑壬戊与丙辛乙不得不为相似之形矣