皇朝经世文三编 - 第 18 页/共 67 页
答曰二百四 十步
立天元一为半径倍 之即大弦和较甲行之路等于底句乙共行之路等于底弦明股和底句内 减天元得甲[元]为 大股弦较二底弦明股和内减二底句得 为二明三事和即二大句弦较以 乘大股弦较得 寄左另以大弦和较自之得元 为同数与左相消得二 开 方得半径倍之即全径
* 算式略
二明股弦较等 于虚弦和较试作图解
陈寿田
* 图略
如图甲乙丙明句股 卯丙午虚句股试自图心己至切点作己戊线癸午与午戊等丙乙与丙戊 等则丙午虚弦与丙乙午癸和等加卯丙午卯虚句股和得卯乙卯癸和为 虚和和与乙丑等试取丁点令甲丁等于明弦则乙丁为明股弦较夫甲 己与甲午等甲丁甲丙同为明弦以甲己减甲丁得丁己以甲午减甲丙得 丙午为虚弦依显丁己亦为虚弦复取己子令与丁己等则子丑亦为明股 弦较与乙丁必等丁子必为二虚弦以乙丑虚和和减之得乙丁子丑二 之虚弦和较亦即二明股弦较故二明股弦较等于虚弦和较也
虚句弦较等 于句股较试作图解
英铎
* 图略
如图子丑虚句丁戊 弦以子丑与丑戊句相加得子戊为平句以丁戊与地丁股相加得 地戊亦为平句试于子戊平句内减去丁戊弦余必等于地丁弦再于 地丁股内减 [ 丑 戊]句 余即为句股较也
大股内减边弦 等于平句股较试作图解
陈寿田
* 图略
如图戊为圆心甲乙 为大股作丁戊线与丑戊正交戊丁丙平句股甲丁壬为边句股甲丁为边 弦丙丁为平句丙戊平股与丙乙等则丁乙即平句股较以甲乙减甲丁得 丁乙即平较故大股减边弦等于平句股较也
大股内减平句 股较等于边股平句和试作图解
懿善
* 图略
如图甲乙丙大句股 甲己丁边句股丁戊丙平句股甲乙大股甲己边股丁戊平股己乙等取己 庚如丙戊为平句己乙平股内减己庚平句即庚乙平句股较故甲乙大股 内减庚乙平句股较等于甲己边股加己庚平句
句股和内减 虚股弦较等于弦试作图解
承霖
* 图略
如图庚壬丙为半径 为股之平句股其弦则庚己虚弦己丙弦和其股则庚戊虚股戊壬股 和其股弦较必为虚股弦较股弦较和而丁辛乙辛同为半径则平股弦 较又等句依句股例和较小较相加为句则[虚]虚 股弦较必等弦和较句股和减弦和较 即虚小较故等 于弦
明股句相乘 等于虚句股积试言其理
王宗福
* 图略
如图甲子己大句股 外之丙天丁为虚句股今自圆心作甲己之垂线心地则丙地等丙辰 明句地丁等丁 戊 股天辰内减 天丙虚句余为半虚较和天戊内减天丁虚股余为半虚较较 缘天辰天戊均为半虚和和故 按较较乘较和等于二直 积则明句之半虚较和乘股之半虚较较必等于虚句股积惟明句乘 股原等于句乘明股故明股句相乘等于虚句股积
高股乘平句等 于明股弦和乘句弦和试作图解
胡玉麟
* 图略
如图甲乙丙大句股 乙丁容圆方自心至切点作戊己线正交甲丙则辛己戊为高句股戊己庚 为平句股 以半径为勾半径为股故 己癸等癸寅己子等子丑 则辛己高股为明句弦和己庚平句即为股弦和故明句弦和 高股与句弦 和比若明股弦和与股弦和 平句比
大差句乘小差 句等于虚句乘大股亦等于边股乘倍股试作图解
胡玉麟
* 图略
如图甲乙丙大句股 乙丁容圆方戊辰丙底句股癸午丙平句股子寅大差句己丑小差股自圆 心至切点作甲丙正交线辛壬则戊壬辛为高句股辛壬癸为平句股 以半径为句半径为股故 壬癸等丙午壬丙即等 丙辰则戊丙底弦减壬丙底句余戊壬等甲庚庚乙原等戊辰则甲乙大股 即为底弦较和又壬己等己未子壬即等子卯作己申线与丙乙平行作子 酉线与丁丑平行则戊申等戊壬申辰即为底弦和较等申辰之己丑亦为 弦和较子酉癸亦为平句股辛未等丁未则未癸为平股弦较未酉即为 平弦和较等未酉之丁子亦为其弦和较夫寅丁全径原为二平股内减丁 子平弦和较则子寅大差句即平弦较和也故平弦较和 大差句与底弦 较和 大股比若平弦 和较 虚句与底弦和 较 小差股比
又壬子等子卯寅亥 等寅卯甲壬即等甲亥则壬癸即为边股弦较壬癸原等癸酉则酉亥即为 边弦和较等酉亥之子寅亦为其弦和较又壬己原等己未丑辰原等丑未 二壬丙即小差三事和内各减己丙小差弦 [ 余 ]二己 壬股即为小差弦和较故边弦和较 大差句与小差 弦和较 [ 二股 ]比若边股与 小差股比
弦和较乘弦和 和等于二直积试作图明其理
汪远焜
* 图略
如图甲乙丙句股形 以弦句为半径各作圆引长乙丙股至己及丁末作甲己甲戊二直线则成 甲丙己甲丙戊大小二同式句股形丁戊小句股较 本形弦和较与 甲丙 [ 小 股] 本形句 之比若丙壬 丙己内减去等丙戊之己壬即得 大小二句股较和 本形二股与甲 丙丙己大小二股和 本形弦和和之 比故弦和较乘弦和和等于二直积
中垂线乘弦等 于圆径乘半和试作图明其理
贵荣
* 图略
如图甲乙丙句股形 甲壬句弦较癸丙股弦较壬癸为弦和较方 即圆径方依乙丁 中垂线平行作甲午丙己二线次依甲丙平行作戊己线联之则戊丙为中 垂线乘弦移甲乙戊于丙庚辛移丙乙己于甲庚辛戊丙中垂线乘弦必等 于辛乙句股直积除甲癸矩不动外移子癸股弦较乘弦和较于癸丑将 辛寅股弦较乘句弦较改为甲卯弦和较半方则卯丑圆径乘半和 辰丑弦和较即圆径 亦等于辛乙句股直积卯 丑与戊丙既各等句股直积则二矩宜无不等所以中垂线乘弦等于容圆 径乘半和
三事和乘边线 较等于圆径乘边线和试作图明其理
王锺祥
* 图略
如图甲乙丙句股形 乙丁中垂线乙己戊己均为方边自己作乙丁丁丙之垂线己庚己辛成乙 庚己戊辛己二句股形与本句股形同式均以方边为弦则二形必等夫庚 己等己辛亦等庚丁则乙庚己三事和即等于边线和而边线较即等其 弦和较故大三事和与小弦和较 即边线较相乘 等于小三事和 即边线和与大 弦和较 即圆径相未也
句乘弦较较等 于三事和乘股弦较试作图明其理
贵荣
* 图略
如图甲乙丙句股形 以弦为半径作丙戊己丁圆次从丙角作丙丁及丙戊二线成丁乙丙及丙 乙戊大小二同式句股形何则试引长丙乙作丙己线丙己正交丁戊各至 圆界戊己弧等于戊丙弧丁己弧等于丁丙弧小形丙角所当戊己弧与 大形丁角所当戊丙弧等小形戊角所当丁丙弧与大形丙角所当丁己弧 等余二乙角又俱直角所以同式大句 本形句与大句 股和 本形三事和之 比若小句 本形股弦较与 小句股和 本形弦较较之比
句弦和乘弦和 较等于弦较较乘股试作图明其理
贵荣
* 图略
如图甲乙丙句股形 丁乙为弦和较丁戊为其方戊丙为股弦较戊己为其倍乙己为弦较较甲 丁为句弦较甲己矩为弦较较乘股幂除甲戊矩不动外试将庚辛二股弦 较乘句弦较矩改为戊壬弦和较方次移辛己二股弦较乘弦和较矩补 于壬癸成 一甲癸幂其长即句弦和其阔即弦和较 与原积甲己幂必等
倍股乘股弦较 等于弦和较乘弦较较试作图明其理