数学九章 - 第 13 页/共 29 页
凡十一变至此得大圆积次求小圆径
一十一变得小圆积次求环田通径当求环田通径盖环田之外周三十步与小圆田外周同则不遇与前七变诸圗一理兹不复繁乃求实径
凡九变得环田内周次求环积
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>
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<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>
开三乗方凡二十变至此得环田积数
求实径但以虚径减通径余一步一十九分步之九为环田实径
均分梯田
问户业田一段若梯之状南广小三十四步北广大五十二步正长一百五十步合系兄弟三人均分其田邉道各欲出入其地形难分经官乞分南甲乙北内欲知其田共积各人合得田数及各段正长大小广防何
答曰田共积二十六畆二百一十步
甲得八畆三角五十步 小广三十四步系元南广 大广四十步五万八千七百九分步之五万二千二百八十四大约百分步之八十九 正长五十七步二千四十五分步之 百五十三大约一百分步之四十一分乙得八畆三角五十步 小广同甲大广大广四十六步八万四千八百二十六亿
八千九百五十七万二千六百五十一分步之六万五千八百七十四亿五千四百八十二万五千二百八十三计大率约百分步之七十七分半强 正长四十九步四亿一千二百四十万六千二百九分步之二千二十七万六千三百一十九大约百分步之四分九厘
丙得八畆三角五十步 小广同乙大广大广五十二步系元北广 正长四十三步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四千四百八十八亿八千六百二万九千四十六大约百分步之五十三分强
术曰以少广及从法求之并两广乗长得数以分田人数约之为通率半之为各积以长乗各积为共实以长乗南广为甲从方二广差半之为共隅开连枝平方得甲截长以甲长除通率得数减小广余为甲广即为乙小广以元长乗乙小广为乙从方置共隅共实开连枝平方得乙截长以乙长除通率得数减乙小广余为乙大广即为丙小广倂甲乙长减元长余为丙长以元大广为丙大广各有分者通之
草曰置小广三十四并大广五十二得八十六乗长一百五十得一万二千九百为实以兄弟三人约之得四千三百为通率半之得二十一百五十为各积以 法二百四十步约之得八畆不尽二百三十步以角法六十步约之得三角五十步是三人各得八畆三角五十步以元长一百五十步乗各积二千一百五十得三十二万二千五百为共实以长一百五乗小广三十四得五千一百为甲从方以小广大广余一十八乃半之得九为共隅开连枝平方【开方革更不繁具】得五十七步不尽三约为二千四十五分步之八百五十三为甲截长乃以分母二千四十五通全步内子共得一十一万七千四百一十八为法又以分母乗通率四千三百得八百七十九万三千五百为实以法除之得七十四步不尽一十万四千五百六十八与法求等得二俱约之为五万八千七百九分步之五万二千二百八十四乃以小广三十四步于所得全步七十四步内减之余四十步五万八千七百九分步之五万二千二百八十四为甲大广即为乙小广今次求乙长乃以分母五万八千七百九通乙小广四十步得二百三十四万八千三百六十内子五万二千二百八十四得二百四十万六百四十四又元长一百五十乗之得三亿六千九万六千六百为乙从方又以分母五万八千七百九通共实三十二万二千五百得一百八十九亿三千三百六十五万二千五百为乙实又以分母通共隅九得五十二万八千三百八十一为乙从隅开连枝平方【更不立草】得四十九步不尽二千二十七万六千三百十九隅并方共得四亿一千二百四十万六千三百九为母与不尽求等单一不可约乃定为四十九步四亿一千二百四十万六千三百九分步之二千二十七万六千三百一十九为乙截长以乙长母通全步内子得二百二亿二千八百一十八万五千四百六十为法以乙长七千七百三十三亿四千七百一十二万八千七百为实以法除之得八十七步不尽一百三十四亿九千四百九十九万三千六百八十与法求等得一百四十俱约之为八十七步一亿四千四百四十八万七千三十九分步之九千六百三十九万二千八百一十二为得数乃以乙小广母五万八千七百九乗得数子九千六百三十九万二千八百一十二得五万六千五百九十一亿二千五百五十九万九千七百八为泛却以得数母一亿四千四百四十八万七千三十九分乗乙小广子五万二千二百八十四得七万五千五百四十三亿六千三十四万七千七十六为寄数于上乃以小广母五万八千七百九乗得数母一亿四千四百四十八万七千三十九得八万四千八百二十六亿八千九百五十七万二千六百五十一以寄减泛今不及减乃破全步一为分并泛得八十六步十四万一千四百一十八亿一千五百一十七万二千三百五十九减去小广四十步及分余四十六步八万四千八百二十六亿八千九百五十七万二千六百五十一分步之六万五千八百七十四亿五千四百八十二万五千二百八十三为乙大广亦丙小广求丙长置甲长五十七步二千四十五分步之八百五十六乙长四十九步四亿一千二百四十万六千三百九分步之二千二十七万六千三百一十九以甲乙分母互乗子甲乙分母相乗得甲正长五十七步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之三千五百三十亿一千九百八十万五百四亿乙正长四十九步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四百一十四亿六千五百七万二千三百五十五并甲乙长及分共长一百六步三千九百四十四亿八千四百八十七万二千八百五十九分用减元长一百五十步先破一步通分母作八千四百三十三亿七千九十万一千九百五减去甲乙长长余四十三步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四千四百八十八亿八千六百二万九千四十六为丙正长
按此术以立天元一法明之法立天元一为甲正长南北广差折半得九以乗天元得九元以共正长除之得一百五十分天元之九为甲之半广差与小广相加得三十四步多一百五十分元之九再以天元乗之得三十四元多一百五十分平方之九即与每人分田二千一百五十步等两数各以分母一百五十乗之得三十二万二千五百步与九平方多五千一百元等步数为实元数为从方平方数为隅得甲正长求乙丙长广同此但多一带分故其数较繁
数学九章卷三下
钦定四库全书
数学九章卷四上 宋 秦九韶 撰测望
按测望之法见于晋刘徽海岛算经原名重差其书一卷九题法简数宻此卷本其法而扩充之于古人之意实多所发明然其中譌舛之处较他卷尤甚今悉为正之至术有未合者更设法以附其后焉