数学九章 - 第 15 页/共 29 页

草曰以一为从隅以五因 　　北三里得一十五里为从 　　七亷以北三里自乗得九 　　里为正率以八因率得七 　　十二为从五亷以西行见 　　里自乗得八十一为负率以正率九减负率余七十二位负差以四因之得二百八十八以乗北三里得八百六十四系负差所乗者为益三亷倍负率八十一得一百六十二乗五防七十二得一万一千六百六十四为益上亷以北三里乗上亷得三万四千九百九十二为实置实亷隅玲珑空隅位方亷以约实众法不可超进乃于实上定商三里其隅与商相生得三为从下亷又与商相生入从七亷共得二十四为星亷又与商相生得七十二为从六亷又与商相生入五　内共得二百八十八又与商相生得八百六十四为从四亷又与商相生得二千五百九十二为正三亷内消益三亷八百六十四讫余一千七百二十八为从三亷又与商相生得五千一百八十四为从二亷又与商相生得一万五千五百八十二为从上亷内消益上亷一万一千六百六十四讫余三千八百八十八为正上亷又与商相生得一万一千六百六十四为从方乃命上商三里除实适尽得三里以自乗之得九里为城圆径之里数又以故法圆率三因之得二十七为城周 　　以上求率图以后开方图实与益皆负画黑商与从皆正画朱 　　按商实负字旁书已明今皆用黒 <子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上> 　　按凡勾股难题用立天元一法取之多至三乗方而至元李冶测圆海镜一百七十问仅一题取至五乗方犹自以为烦此题非甚难者乃取至九乗方盖未得其要也细校术草中亷隅积实之数与立天元一法自然相生者廻殊且凡立天元一法开方后未有不得所求之数者今得数自乗始为所之数尤于古人立法之意不合爰另立取法并歩算之式于后 　　法立天元一为圆城径加三里得三里多一元为大股自之得九里多六元多一平方为大股幂九里为大勾自得之八十一里为大勾幂相并得九十里多六元多一年方为大幂又以大股为小勾和三里为小勾较和较相乗得九里多三元为小股幂二分天元之一为小勾加小勾三里得三里多二分元之一为小自得之九里多三元多四分平方之一为小幂乃以小幂与大股幂相乗得八十一里多八十一元多二十九平方又四分平方之一多四立方又二分之一多四分三乗方之一寄之又以大幂与小股幂相乗得八百一十里多三百二十四元二十七平方三立方与寄数等両邉各减八十一里三百二十四元二十七平方三立方得四分三乗方之一多一立方二平方又四分平方之一少二百四十三元与七百二十九里等各以四乗之得一三乗方多六立方九平方九百七十二元与二千九百一十六里等乃以里数为实以元数为益方平方数为从上亷立方数为从下亷三乗方数为隅开帯纵三乘方得九里为城径开方式附后 　　法列寔及方亷隅数约商九 　　里乃以隅生商得九入下亷 　　得一十五又以下亷生商得 　　一百三十五入上亷得一百 　　四十四又以商生上亷得一 　　千二百九十六以消益方得二百二十四为从方以商生从方得二千九百一十六减实恰尽为开得三乘方为九里即城径也 　　数学九章卷四上 <子部,天文算法类,算书之属,数学九章> 　　钦定四库全书 　　数学九章卷四下　　　宋　秦九韶　撰 　　测望 　　望敌圆营 　　问敌临河为圎营不知大小自河南岸至其地七里于其地立两表相去二步其西表与敌营南北相直人退西表一十二步遥望东表适与敌营圆邉参合圆法用密率里法三百六十欲知其营周及径各防何答曰营周六里一百二步七分步之六　径二里按答数有误营周系六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八径系一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九 　　术曰以勾股夕桀求之置表间自乗为勾幂以退表自乗为股幂并二幂为幂置里通步自之乗勾幂为率自乗为泛实【按此数当即为实开从方今不开平方乃以　此数自乗并以此数升他数开从三乗方不合】半幂乗率为泛从上亷【按半幂即半自乗又倍之之数】以勾幂减股幂余四约之【按此即半勾半股各自乗相减之数】自乗为泛益隅【三泛可约之为定】开连枝三乗玲珑方得营径以密率二千二乗七除为周 　　草曰置表间二步自乗得四为 　　勾幂以退表一十二步自乗得 　　一百四十四为股幂以勾股二 　　幂并之得一百四十八为幂 　　置七里以里法三百六十步 　　通之得二千五百二十步自乗 　　得六百三十五万四百乗勾幂四得二千五百四十万一千六百为率以率自乗得六百四十五万二千四百一十二亿八千一百五十六万为之实乃半幂得七十四乗率二千五百四十万一千六百得一十八亿七千九百七十一万八千四百为泛从上亷以勾幂四减股幂一百四十四余一百四十以四约之得三十五以自乗得一千二百二十五为泛益隅置三泛求等得一千二百二十五【按即泛益隅】俱以约之得五千二百六十七亿二千七百五十七万七千六百为定实一百五十三万四千四百六十四为从上亷一为定益隅开玲珑三乗方乃以亷隅超二度约啇置七百上亷为一百五十三亿四千四百六十四益隅为一亿乃以上啇生隅得七亿为益下亷又以上啇生益亷减从亷余一百四亿四千四百六十四万为从上亷又以上啇生从亷得七百三十一亿一千二百四十八万为从方乃命上啇除实实余一百四十九亿四千二十一万七千六百又以上啇生益隅入下亷得一十四亿为益下亷又以上啇生益亷得益上亷减从亷余六亿四千四百六十四万为上亷又以上啇生上亷入方得七百七十六亿二千四百九十六万为方又以上啇生益隅入下亷得二十一亿又以上啇生下亷为益上亷减从亷余一百四十亿五千五百三十六万为益上亷又以上啇生益隅入下亷得二十八亿诸法皆退方一退为七十七亿六千二百四十九万六千益上亷再退为一亿四千五十五万三千六百益下亷三退为二百八十万益隅四退为一万乃于上啇之次续啇置二十步以续啇生隅入下亷为二百八十二万又以续啇生下亷入上亷为一亿四千六百一十九万三千六百又以续啇生上亷减从方余七十四亿七千一十万八十八百乃命续啇除实适尽所得七百二十步以里法约之得二万为营径次以密率二十二乗七百二十得一万五千八百四十为实以七除之得二千二百六十二步七分步之六以里法约之得六里一百二步七分步之六为营周 <子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下> <子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下> <子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下> <子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下> <子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下> 　　按此题用平方可矣术中所谓率者即平方实也乃复加自乗开三乗方徒为繁冗耳且乗从亷用半自乗之倍数乗隅数应用半股自乗之数今用勾股幂较四分之一即用半股幂半勾幂之较比半股自乗数小一半勾自乗数故得数较大若转求表间及退步必与原数不合试以相去七里为大勾和营径三里为倍大勾相减得五里为大勾较和相乗得较三十五为大股幂大勾里自之仍得一为大勾幂置小勾幂四步以大股幂乗之得百百四十步以大勾幂除之仍得一百四十步为小股幂比原小股幂少四步其术之疎可知矣设用平方法如左 　　法立天元一为营径相去七里通为二千五百二十步为大勾和相减得二千五百二十步少一元为大勾较和较相乗得六百三十五万零四百步二千五百二十元为大少股幂天元一半之以减相去步得二千五百二十步少二分天元之一为大自之得六百三十五万零四百步少二千五百二十元多四分平方之一为大幂退步十二为小股自之得一百四十四步为小股幂表间二步为小勾自之得四步为小勾幂相并得一百四十八步为小幂以小幂乗大股幂得九亿三千九百八十五万九千二百步少三十七万二千九百六十元寄之又以小股幂乗大幂得九亿一千四百四十五万七千六百步少三十六万二千八百八十元多三十六平方与寄数为相等两邉各减九亿一千四百四十五万七千六百步各加三十七万二千九百六十元得二千五百四十万零一千六百步【即术中率数】与三十六平方多一万零八十元等三数求总等得三十六约步数得七十万零五千六百为长方积为实约元数得二百八十为从方为长阔较约平方数得一为隅用从平方法开得阔七百一十一步又一千七百零三分步之九百九十九为营径步以密率用二十二乗之径七除之得二千二百三十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八为营周步各以里率収之得营周六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八营径一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九还原之法置营径步数通分纳子得一二一一八三二分为倍大勾分数又以分母通相去步得四二九一五六　分为大勾和分数二数相减余三　七九七二八分为大勾较分数和较分数相乗得一三二一六八三七四五九六八分为大股幂分倍大勾分折半得六　五九一六自之得三六七一三四一九九　五六分为大勾幂分及以小勾幂四步乗大股幂分得五二八六七三四九九八二七二　分以大勾幂分除之得一百四十四步为小股幂与原数合此犹用西表相去步也若细较之当用人目相去步则营周当多十二步余营径当多四步不足也 　　望知敌众 　　问敌为圆营在水北平沙不知人数谍称彼营布卒占地方八尺我军在水南山原于下立表髙八丈与原山腰等平自表端引防虚量平至人足三十步人立其处望彼营北陵与表端参合又望营南陵入表端八尺人目髙四尺八寸以圆密率入重差求敌众合得防何 　　答曰敌众八百四十九人 　　按数不合应二百七十三人其故详草后 　　术曰以勾股乗之置人退表步【按此条误法应置表髙】乗入表为实以人目髙为法除之得径以密周率乗径得数为实以密径率因人立为法约之得外周人数余収为一副置加六以乗副得数为实如一十二而一余亦収为全 　　望知敌众图【按旧图畵山水在术前今删改移于此】 　　草曰置人立退表三十步以步 　　法五尺展为五十寸通之得一 　　千五百寸乗入表八尺得一十 　　二万寸为实 　　以人目髙四十八寸为法除之