御制数理精蕴 - 第 92 页/共 595 页

解同前 　　三则 　　堑堵求积 　　设堑堵长一十二尺广五尺髙七尺求积法曰以广 　　乘长【得六十尺】以髙 　　乘之【得四百二十尺】折 　　半得二百一十 　　尺即所求 　　解曰甲乙丙丁直体与堑堵髙广长各等依甲乙线丙乙棱分之必成二堑堵夫一直体既能当二堑堵则一堑堵必当半直体也故折半得积 　　四则 　　刍荛求积 　　设刍荛长一十二尺广五尺髙七尺求积法同堑堵 　　解曰甲乙丙戊 　　刍荛依丙丁线 　　丙戊脊分之必 　　成二堑堵各为 　　相当直方之半两直方并必成一直方夫直方之两分既倍于刍荛之两分直方之全体不倍于刍荛之全体乎故亦折半得积同堑堵也 　　五则 　　三角体求积 　　设三角体广六尺 　　中长五尺高一十 　　二尺求积法曰置 　　长广相乘【得三十尺】以 　　髙乘之【得三百六十尺】折半得一百八十尺即所求 　　解曰即刍荛但彼横此纵耳○勾股体同 　　六则 　　六边体求积【八边及十二边附】 　　设六边体每边广二十尺中长三十四尺六寸四分 　　有竒髙四十尺 　　求积法曰置广 　　三因之【得六十尺】以 　　长折半【得一十七尺三】 　　【寸二分零二毫】乘之【得一千零三十九尺二寸一分二厘】为底积再以高乘之得四万一千五百六十八尺四寸八分即所求解曰六边底依各角分之成三角形六三角求积法以广乘长折半【一巻五则】不折则得两三角积故三因边广以底长之半乘之【底之半长即三角之中长】即得六三角积【即全底积】犹平圆半径乘半周之义也【二巻三则】若无底长之度则取边广为【全底分为六三角形每形之三边俱等以甲乙为即以丙乙为也】半广为勾【丁乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即底长之半【六巻二则】○设八边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以七六五三六除之得二六一三一四强为【丙乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即底长之半设十二边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以五一七六四除之得三八六三六八强为【丙乙】各自乘 　　相减平方开之 　　得股【丙丁】即底长 　　之半按七六五 　　三六乃四十五 　　度弧之通四十五度为三百六十度八之一故以之除八边底之一边即得外切圆形之半径五一七六四乃三十度弧之通三十度为三百六十度十二之一故以之除十二边底之一边即得外切圆形之半径外切圆形之半径即三角形之腰线【丙乙】也【见大测及八线表】 　　七则 　　五边体求积 　　设五边体毎边广二十尺中长三十尺零七寸七分 　　六厘六毫强高 　　四十尺求积法 　　曰置边广以边 　　数五因之【得一百尺】 　　折半【得五十尺】为实另置边广折半【得十尺】自乘【得一百尺】以中长除之【得三尺二寸四分九厘一毫强】与中长相减【余二十七尺五寸二分七厘四毫强】折半【得一十三尺七寸六分三厘七毫强】为法乘实【得六百八十八尺一寸八分八厘】为底积再以高乘之得二万七千五百二十七尺五寸二分即所求 　　解曰五边底依各角分之成三 　　角形五欲求底积必先得三角 　　积欲求三角积必先得三角之 　　中长【丙丁】然上则六边边为偶数 　　角与角相对边与边相对其全底之长即相对两三角之中长令五边边为竒数边与角相对其底长【己丁】小半为此三角之中线【丙丁】大半为彼三角之腰线【己丙】折半则得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求己丙【于己丁底长减去己丙余即丁丙】欲得己丙必先求外切圆形之己戊径【己戊折半即己丙】欲得己戊必先求外切圆径大于底长之丁戊【底长加丁戊即己戊】欲求丁戊则用弧矢以及余径求矢法【二巻二十二则】今边广甲戊乙弧矢形之甲乙也边广折半自乘丁乙半上方形也底长己丁余径也以除半上方形所得者丁戊矢也以矢减底长所余者倍三角中长之辛丁也故半之为三角之中长又五因边广折半者取五三角底之半也若无底长之度则取边广折半为勾【丁乙】另置边广以一一七五五八除之得一七零一二八八为【丙乙】各自乘相减平方开之得股【丙丁】即三角形之中长【六巻二则】 　　一　一七五五八乃七十二度弧 　　之通七十二度为三百六十 　　度五之一故以之除五边之一 　　即得外切圆形之半径【丙乙】为三 　　角形之腰线也○设九边底每边广二十尺求三角分形之中长则以二十尺折半为勾【丁乙】另置二十尺以六八四零四除之得二九二三八为【丙乙】自乘相减平方开之得股【丙丁】即三角形之中长六八四零四乃四十度弧之通四十度为三百六十度九之一故以之除九边之一即得三角形之腰线也 　　八则 　　圆体求积 　　设圆体径三十尺高四十尺求积法曰置径自乘【得九 　　百尺】再以高乘之 　　【得三万六千尺】用圆法 　　十一乘十四除 　　【二巻四则】得二万八 　　千二百八十五尺七寸有竒即所求 　　解曰以径自乘再以髙乘之方体积也方体与圆体等髙则两体即若两底之比例故用平圆法求圆体之积也 　　九则 　　撱圆体求积 　　设撱圆体大径三十六尺小径一十六尺髙四十尺求积法曰置两径相乘【得五百七十六尺】再以高乘之【得二万三千零四十尺】用圆法十一乘十四除得一万八千一百零 　　二尺八寸有竒 　　即所求 　　解同前则及二 　　巻十六则 　　十则 　　弧矢体求积 　　设弧矢体矢濶八尺六寸六分零二毫长三十尺背三十六尺二寸九分零三毫六丝高四十尺求积法曰置半自乘【得二百二十五步】以矢除之【得二十五尺九寸八分零 　　九壹强】为余径余 　　径加矢折半【得一 　　十七尺三寸二分零五毫五丝】为法乘背【得六百二】 　　【十八尺五寸六分九厘】另以余径减矢折半【得八尺六寸六分零四毫弱】为法乘【得二百五十九尺八寸一分二厘】两数相减【余三百六十八尺七寸五分七厘】折半【得一百八十四尺三寸七分八厘】为底积再以高乘之得七千三百七十五尺一寸四分即所求【二卷十七则】 　　十一则 　　锥体求积 　　设方锥方二十尺高四十尺求积法曰置二十尺自 　　乘【得四百尺】为底积 　　再以高乘之【得一 　　万六千尺】以锥法三 　　归之得五千三 　　百三十三尺三寸三分有奇即所求 　　解曰方边自乘再以高乘之方体也方锥居方体三之一故三归得积也何以知方锥居体三之一也试 　　作立方如甲乙 　　自心至各棱分 　　之必成锥体六 　　俱以方靣为底 　　方边之半为高 　　更作一方体与 　　锥体同底等高 　　如丙丁丙丁方 　　体既与锥体同 　　底必亦与甲乙立方同底既与锥体等高必以甲乙方边之半为高两方体既同底则两体之比例若高与高丙丁体必为甲乙立方二之一矣锥体既为甲乙立方六之一不为等高同底丙丁方体三之一乎再作直体广二尺长四尺高八尺如癸辛亦自心至各棱分之亦成锥体六底等戊庚辛己高等辛子之半如丑者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六锥体形势虽殊而俱等何也丑与寅同长丑之高倍于寅而寅之广倍于丑折寅之广凖丑之高则丑寅二体等矣又丑与卯同广丑之长倍于卯而卯之高倍于丑折丑之长凖卯之高则丑卯二体亦等矣夫寅等于丑丑等于卯是六锥俱等矣今癸辛一直体能分为相等之六锥体则一锥体不为癸辛直体六之一乎锥体既为同底倍高直体六之一必为同底等高三之一无疑矣○从此推之不论方圆多边弧矢凡属锥体者皆为同底等高体三之一 　　十二则 　　诸杂线体求积