御制数理精蕴 - 第 93 页/共 595 页
凡体先求底积底属直线依一巻九则例属曲线及杂线依二巻四十则例裁之得底积再以高乘之即得体积
十三则
浑圆求积
设浑圆径十尺求积法曰置径自乘【得一百尺】四因之【得四百尺】十一乘十四除【得三百一十四尺二寸八分六厘弱】为靣积再以半径乘之【得一千五百七十一尺四寸三分弱】以三归之得五百二十三
尺八寸一分即所求
解曰置径自乘再以十一乘十
十四除者浑圆中丙子乙丑平
圆积也以四因之者浑圆面积
当平圆积四也何也浑圆面任割一分【如甲丁己戊】欲求面分之容则取自甲顶至戊界之度【甲戊线】为半径作平圆【如辛癸平圆辛壬与甲戊等】其容即等若自乙丙平割浑圆之半取自甲顶至乙界之度为半径作平圆其容必与浑圆半靣等今丙子乙丑平圆半径为乙庚乙庚
与甲庚等乙庚甲庚
两线偕甲乙线则成
一勾股形甲乙为
乙庚甲庚一为勾一
为股也以为半径之平圆必倍大于或勾或股为半径之平圆浑圆半靣既等于以甲乙弦为半径之平圆不倍大于以乙庚勾为半径之丙子乙丑平圆乎半面既倍大于丙子乙丑平圆全靣不四倍大于丙子乙丑平圆乎法以半径乘之以三归之又何也平圆求积同于以圆周为底以半径为高之三角形【二巻四则】故浑圆求积同于以全面为底以半径为高之
锥体以高乘底以三归之者
锥体求积之法也【本巻十一则】○
又尝借西洋割圆八线表考
之如前径十尺之浑圆自顶
中剖之再以乙丙线平分之依八线表例分乙丁甲曲线为九十度设任割球分为甲丁己戊其甲丁曲线三十度自丁戊向甲截作三十段梯形于八线表中求三十度通得五尺二十九度通得四尺八寸四分八厘一毫用梯形求积法【一巻七则】并两数折半得四尺九寸二分四厘零五丝再求二十八度通得四尺六寸九分四厘七毫与二十九度通并而折半得四尺七寸七分一厘四毫依次折尽三十度共得通数七十六尺七寸五分九厘七毫五丝用圆径求周法【二巻一则】求得二百四十一尺二寸四分五厘弱【为球分面上三十段梯形两濶折半之数】为实复求甲丁曲线三十分之一得八分七厘三毫有竒【取浑圆全周以三十六归之即得】为
梯长乘实得割 【即】球靣积二十一尺零五分有奇叧求甲戊直线得二尺五寸八分八厘二【即表中十五度通】毫倍之得五尺一寸七分六厘四毫为径求圆积亦得二十一尺零五分有竒与前数
合又法置径自乘再以径乘【得一千尺】之以十一乘二十一除得数
同解曰圆体与方体等高则两体之比例若两底之比例是方体与圆体若十四与十一也又圆体与浑圆等高令圆体之底同浑圆中心之平圆则圆体之
容必等于以平圆为底以浑圆
半径为【浑圆半径即固体高度之半也】高之锥
体【本巻十一则】六浑圆之面既四倍
于中心平圆而浑圆求积之法
又同锥体则浑圆之容必等于以平圆为底半径为高之锥体四夫以相等之锥体圆体得六而浑圆得四是圆体与浑圆若六之与四六之与四即三之与二也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二各以二约之为二十一与十一则二十一与十一等高立方浑圆之比例也法置径自乘再乘立方也十一乘二十一除取立方二十一之十一为浑圆也十四则
浑撱圆求积
设浑撱圆大径四十尺小径二十尺求积法曰置小
径自乘【得四百尺】再
以大径乘之【得一
万六千尺】以十一乘
二十一除得八
千三百八十尺零九寸五分即所求
解曰小径自乘再以大径乘之甲乙方体也方体浑撱圆比例亦犹立方与浑圆故十一乘二十一除得浑撱圆之积
十五则
鋭脊体求积
设鋭脊体脊长十尺底长十四尺广五尺高十二尺求积法曰倍底长加脊长【得三十八尺】以广乘之【得一百九十尺】再以高乘之【得二千二百八十尺】以六归之得三百八十尺即
所求
解曰依甲丙乙丁两线
分之成刍荛一斜锥二
【斜锥与正锥同论】刍荛以高乘
底积之半得积【本巻四则】锥以高乘底积三之一得积【本巻十一则】夫刍荛之底长即鋭脊之脊长也若三倍脊长以六归之即得刍荛底长之半又两斜锥之底长即鋭脊之脊长与底长之较也【即戊庚己辛两线并之度】若二倍较线以六归之即得斜锥底长三之一今倍底长加脊长非即三倍脊长二倍较线乎以六归之以广乘之再以高乘之得三分体之积即全体之积法先乘后归亦异乘同除之意也
十六则
鼈臑求积
设鼈臑上长二
尺下长四尺高
九尺求积法曰
置两长相乘【得八】
【尺】再以高乘之【得七十二尺】以六归之得一十二尺即所求
解曰叧作一刍荛如下图刍荛原为等高同底方体二之一【本巻四则】依甲丙乙丙两线各从底棱分之成一锥体二鼈臑锥体原为等高同底方体三之一【本巻十一则】必为刍荛三之二于刍荛内减去锥体所余三之一则两鼈臑也两鼈臑并既为刍荛三之一必为与刍荛等高同底方体六之一矣与刍荛等高同底即为鼈臑等高倍底者也两鼈臑既为等高倍底方体六之一则一鳖臑亦必为等高同底方体六之一故用六归也
十七则
等广鋭面体求积
设等广鋭靣体靣长四尺底长一十二尺底面俱广
五尺高一十二
尺求积法曰并
两长折半【得八尺】以广乘之【得四十尺】
再以高乘之得四百八十尺即所求
解曰依甲丙乙丁两线分之成一直体二堑堵全靣即一直体底全底即一直体二堑堵底底靣并而折半则成一直体一堑堵底矣夫直体以高乘本底得积【本巻二则】堑堵以高乘半底得积【本巻三则】今一堑堵之全底即两堑堵之半底也故以高乘防靣相并折半之数得全积十八则
鋭靣方体求积
设鋭靣方体靣方六尺底方八尺高一十二尺求积
法曰置上方自
乘【得三十六尺】下方
自乘【得六十四尺】上
下两方相乘【得四】
【十八尺】三数并【共一百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】以三归之得五百九十二尺即所求
解曰各依面棱分之成方体一堑堵方锥各四凡九体而有三等三等求积之法则各殊方体以高乘底得积【本巻二则】堑堵以高乘底二之一得积【本巻三则】方锥以高乘底三之一得积【本巻十一则】若从方体则与堑堵不合从堑堵又与方锥不合不得不用三归以就方锥然用三归必三倍方体之底半倍堑堵之底而后可今下方自乘即甲乙方形得方体之底一堑堵方锥之底各四上方自乘即丙丁方形得方体之底一上下相乘即戊己直形得方体之底一堑堵之底二合三形共方体底三堑堵底六方锥底四夫方体底三三归之仍得一堑堵底六三归之得二二堑堵底即四堑堵底二之一也方锥底四三归之各得三之一今以高乘一方体底四堑堵底二之一四方锥底三之一故得全积【余同本巻十五则】
十九则
鋭靣直体求积
设鋭靣直体靣长六尺广五尺底长十尺广八尺高
一十二尺求积
法曰倍上长加
下长【共二十二尺】以
上广乘之【得一百一】
【十尺】另倍下长加上长【共二十六尺】以下广乘之【得二百零八尺】两数并【得三百一十八尺】以高乘之【得三千八百一十六尺】以六归之得六百三十六尺即所求
解曰依各靣棱分之亦成九体与前则同但四堑堵两两相等辛戊与庚己等丙戊与丁己等四堑堵既不等则三归之法不可用矣于是有六归之法倍上长加下长以上广乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直体底三丙戊己丁堑堵底各一倍下长加上长以下广乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直体底三辛戊庚己堑堵底各三丙戊丁己堑堵底各二甲戊等四锥底各二合之共直体底六堑堵底十二与辛戊等者六与丙戊等者六锥底八以六归之得一直体底四堑堵底二之一四锥底三之一故以高乘之得全积○按鋭靣直体亦有可用三归
者如后图面长五尺广三尺底
长七尺广四尺二寸高一十二
尺用前法得积二百六十一尺
六寸今以面广乘靣长得一十
五尺以底广乘底长得二十九尺四寸以靣广乘底长得二十一尺【或以底广乘靣长亦同】三数并共六十五尺四寸以高乘之以三归之得积同用此法求前体则不合其故何也葢前体乃鋭脊之截体后体乃直锥之截体后体底靣长广可互为比例若依四角斜线引而高之必成直锥是以谓之直锥之截体依前例分为九体其四堑堵虽体势不同而容积皆等故用三归而合也若前体底靣长广不可为比例亦依四角斜线引而高之止成鋭脊终不成锥体是以谓之鋭脊之截体如前分为九体其四堑堵体势既异而大小复殊故用三归必不合也鋭靣直体有此二等不可不知也
二十则
鋭靣圆体求积
设鋭靣圆体靣径六尺底径八
尺高一十二尺求积法曰置靣
径自乘【得三十六尺】底径自乘【得六十四
尺】两径相乘【得四十八尺】三数并【共一】
【百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有竒即所求
解曰此与鋭靣方体法同元当用三归得鋭靣方体积再十一乘十四除为本积今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除犹三归又十四除也
二十一则
鋭面撱圆体求积
设鋭面撱圆体面大径四尺小径二尺底大径八尺
小径六尺高一十二尺求积法
曰倍靣大径加底大径以靣小
径乘之【得三十二尺】另倍底大径加
靣大径以底小径乘之【得一百二十尺】
两数并【共一百五十二尺】以高乘之【得一千八百二十四尺】再以十一乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有竒即所求
解曰此与鋭靣直体法同元当用六归得鋭靣直体积再十一乘十四除为本积今以八十四除者以六因十四得八十四以八十四除犹六归又十四除也二十二则
诸鋭靣体求积
设鋭靣六边体靣每边广一尺中长一尺七寸三分二厘【所谓中长者乃边与边相对之度非角与角相对之度也底同】底每边广二尺