御制数理精蕴 - 第 89 页/共 595 页

十三则 　　布帛 　　设原买布长四十尺濶二尺二寸价银七钱五分今有布长三十六尺濶一尺八寸求价法曰置今布长三十六尺以濶一尺八寸乘之【得六十四尺八寸】再以原价七钱五分乘之【得四十八两六钱】为实另置原布长四十尺以濶二尺二寸乘之【得八十八尺】为法除实得五钱五分二厘二毫有竒即所求 　　十四则 　　银色一法 　　设九三色银一两二钱倾销足色求银数法曰置银一两二钱为实以银色九三乘之得一两一钱一分六厘即所求 　　十五则 　　银色一法 　　设足色银一两一钱一分六厘改倾九三色求银数法曰置银一两一钱一分六厘为实以九三除之得一两二钱即所求 　　十六则 　　银色三法 　　设八五色银五两六钱改倾九五色银求银数法曰置银五两六钱为实以八五乘之【得四两七钱六分】再以九五除之得五两零一分零五毫即所求 　　十七则 　　银色四法 　　设足色银七两六钱五分倾成九两求银色法曰置银七两六钱五分为实以九两除之得八五即所求十八则 　　银色五法 　　设足色银三十五两二钱改倾八八色银求加铜数法曰置银三十五两二钱为实以八八除之【得四十两】与原银相减余四两八钱即所求 　　十九则 　　银色六法 　　设倾八八色银用铜四两八钱求用银数法曰置铜四两八钱为实以八八与一两相减余一钱二分为法除之【得四十两】与铜数相减余三十五两二钱即所求二十则 　　斤两一法 　　设物重一千四十两求斤法曰置物重为实以斤法十六除之得六十五斤即所求 　　二十一则 　　斤两二法 　　设物重六十五斤求两法曰置物重为实以斤法十六乘之得一千四十两即所求 　　二十二则 　　斤两三法 　　设物重六十五斤四两每斤价二钱五分求共价法曰先取四两以斤法十六除之【得二五】并六十五斤之下【成六五二五】为实以价乘之得一十六两三钱一分二厘五毫即所求 　　二十三则 　　斤两四法 　　设物每斤价二钱五分今银一十六两三钱一分二厘五毫求值物重法曰置今银为实以价为法除之得六十五斤二五取斤下二五以斤法十六乘之得四两共六十五斤四两即所求 　　二十四则 　　斤两五法 　　设物每斤价四两求每两价法曰置每斤价为实以斤法十六除之得二钱五分即所求 　　二十五则 　　斤两六法 　　设物每两价二钱五分求斤价法曰置每两价为实以斤法十六乘之得四两即所求 　　二十六则 　　权重一法 　　设秤原锤重二十六两遇重物不能胜另取一物重四十六两八钱作锤秤之得一千零七十二两求物重真数法曰置物重一千零七十二两为实以借用作锤之四十六两八钱乘之【得五万零一百六十九两六钱】再以原锤二十六两除之得一千九百二十九两六钱即所求 　　解曰借用之锤重于原锤若干倍则借用之锤所秤之物重亦重于原锤所秤之物重若干倍以原锤除借用之锤得一八是借用之锤重于原锤十分之八也则于借用锤所秤之一千零七十二两以十分之八加之必得一千九百二十九两六钱为原锤所秤之重法先乘后除者亦异乘同除也【本巻五则】 　　二十七则 　　权重二法 　　设秤失其锤止有原秤过轻重二物重者重一千九百二十九两六钱轻者重四十六两八钱以轻者作锤秤重者得一千零七十二两求原锤重法曰置四十六两八钱为实以一千零七十二两乘之【得五万零一百六十九两六钱】以一千九百二十九两六钱除之得二十六两即所求 　　解曰一千九百二十九两六钱之与一千零七十二两若四十六两八钱之与原锤也故以之乘除得原锤之重 　　二十八则 　　权重三法 　　设秤失其锤有轻重两物不知斤两以轻者作锤秤重者得五十二两以重者作锤秤轻者得一十三两求原锤重法曰置两数相乘【得六百七十六两】平方开之得二十六两即所求 　　解曰两数之中率即原锤之重两数相乘平方开之求中率之法也【二巻十六则】○又法以等重二物一作锤一作物秤之所得之数即原锤之重○按以上三法用之于平星提索同居一位之秤虽有微差尚可得近似之数至于平星提索不同一位相去愈逺其差愈多甚至与真数悬絶留心此道者不可不知也数学钥巻三上 　　钦定四库全书 　　数学钥巻三下 　　柘城杜知耕撰 　　衰分【诸分附】 　　一则 　　合率差分 　　设有银一百二十一两一钱七分五厘买稻麦菽三等粮买稻一分每斗价九分二厘麦二分毎斗价八分五厘菽三分每斗价三分六厘求三色粮各若干法曰置共银为实另二因麦价【得一钱七分】三因菽价【得一钱零八厘】与稻价并【共三钱七分】为法除实得三十二石七斗五升为稻数二因稻数得六十五石五斗为麦数三因稻数得九十八石二斗五升为菽数 　　解曰稻一麦二菽三共六衰而稻为六分之一麦为六分之二菽为六分之三二因麦价者令麦二倍于稻也三因菽价者令菽三倍于稻也合二与三得五是麦菽得五而稻得一则稻为六分之一矣故并价除实即得稻数也麦原二倍于稻故二因稻数得麦数菽原三倍于稻故三因稻数得菽数○如求各银数则以各价乘各数即得 　　二则 　　折半差分 　　设银六百七十二两令甲乙丙三等人折半纳之求各应纳银数法曰置共银为实定丙为一衰乙倍丙为二衰甲倍乙为四衰并之共七衰为法除实得九十六两为丙数二因丙数得一百九十二两为乙数二因乙数得三百八十四两为甲数 　　解曰所谓折半者令乙半于甲丙半于乙以一为丙衰倍一得二为乙衰乙倍于丙即丙半于乙也倍二得四为甲衰甲倍于乙即乙半于甲也并之共得七衰而丙为七分之一故以七除实得丙数余同前解三则 　　四六差分 　　设银八百一十二两五钱令甲乙丙丁四等人四六纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丁为四衰以一五乘四得六为丙衰再以一五乘六得九为乙衰再以一五乘九得十三衰五分为甲衰并之共三十二衰五分为法除实得二十五两为一衰之数四因二十五两得一百两为丁数六因二十五两得一百五十两为丙数九因二十五两得二百二十五两为乙数以十三衰五分乗二十五两得三百三十七两五钱为甲数 　　解曰定衰之法当六乘四除今用一五乘何也葢四之于六若一与一五也以一五乘四得六乘六得九乗九得十三五而十三五之与九九之与六皆若六之与四也并四数共三十二衰半除实所得银数即原银三十二分五厘之一而丁应纳者则三十二分五厘之四故四因一衰之数得丁数也余同前解四则 　　三七差分 　　设有银一千九百七十五两令甲乙丙三等人三七纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丙为九衰七因三归得二十一为乙衰再七因三归得四十九为甲衰并之共七十九衰为法除实得二十五两为一衰之数九因之得二百二十五两为丙数以二十一乘之得五百二十五两为乙数以四十九乘之得一千二百二十五两为甲数 　　解曰不以三为丙衰而以九为丙衰者以三为丙衰则不能得甲衰也何也试定三为丙衰七为乙衰七因三归则得一六三三不尽定九为丙衰正为甲衰地也若甲乙丙丁四位则九又不可为丁衰必三倍之得二十七为丁衰若五位又三倍二十七得八十一为戊衰位多者仿此 　　五则 　　二八差分 　　设有银一千零五十两令甲乙丙三等人二八纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定二为丙衰四因二得八为乙衰四因八得三十二为甲衰并之共四十二衰为法除实得二十五两为一衰之数二因之得五十两为丙数八因之得二百两为乙数三十二乘之得八百两为甲数 　　解曰逓以四因定衰者以八四倍于二也 　　六则 　　逓减差分一法 　　设米一千一百三十四石令五等人户逓减纳之一等二十四戸二等三十三戸三等四十二戸四等五十一戸五等六十户求毎等及毎戸应纳银数法曰置共米为实先定五等六十戸为六十衰二因四等戸数得一百零二衰三因三等戸数得一百二十六衰四因二等戸数得一百三十二衰五因一等戸数得一百二十衰五数并共五百四十衰为法除实得二石一斗为第五等每戸纳数以五等六十戸乘之得一百二十六石为第五等共纳数以二因二石一斗得四石二斗为第四等毎戸纳数以四等五十一戸乘之得二百一十四石二斗为第四等共纳数以三因二石一斗得六石三斗为第三等毎戸纳数以三等四十二戸乘之得二百六十四石六斗为第三等共纳数以四因二石一斗得八石四斗为第二等每户纳数以二等三十三戸乗之得二百七十七石二斗为第二等共纳数以五因二石一斗得十石零五斗为第一等每戸纳数以一等二十四戸乘之得二百五十二石为第一等共纳数 　　解同本巻一则 　　七则 　　逓减差分二法 　　设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人纳之定甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数等求各应纳米数法曰置共米为实先以一为戊衰二为丁衰三为丙衰四为乙衰五为甲衰次并戊一丁二丙三得六并乙四甲五得九以六减九余三于每人衰数各増三戊得四衰丁得五衰丙得六衰乙得七衰甲得八衰并之共三十衰为法除实得八石为一衰之数四因之得三十二石为戊数五因之得四十石为丁数六因之得四十八石为丙数七因之得五十六石为乙数八因之得六十四石为甲数 　　解曰若六位令丙丁戊己四人与甲乙二人纳数等则并己一戊二丁三丙四共十并乙五甲六共十一两数相减余一为实另以甲乙二人与丙丁戊己四人相减余二人为法归之得五各加入每人衰数己得一五戊得二五丁得三五丙得四五乙得五五甲得六五若七位令丙丁戊己庚五人与甲乙二人纳数等并庚一己二戊三丁四丙五共十五并乙六甲七共十三是四人衰数反多于二人衰数前法不行矣则置各衰自乘庚得一己得四戊得九丁得十六丙得二十五并之共五十五乙得三十六甲得四十九并之共八十五两数相减余三十为实另以甲乙二人与丙丁戊己庚五人相减余三人为法归之得十各加入每人衰数庚得十一己得十四戊得十九丁得二十六丙得三十五乙得四十六甲得五十九余仿此 　　八则 　　逓减差分三法 　　设米二百六十五石令三等人戸纳之上等二十戸每戸多中等七斗中等五十戸每戸多下等五斗下等一百一十戸求各应纳米数法曰置共米为实并七斗五斗【共一石二斗】乘上等尸数【得二十四石】以五斗因中等尸数【得二十五石】两数并【共四十九石】减实余二百一十六石并三等尸数【共一百八十戸】为法除之得一石二斗为下等纳数加五斗共一石七斗为中等纳数再加七斗共二石四斗为上等纳数以每等纳数乘每等戸数得每等共纳数 　　解曰共米内减去上中两等多于下等米数所余即一百八十戸均平公纳之米除实得一石二斗即每戸均纳之数均纳之数即下等每戸应纳之数也故加五斗得中等每戸纳数再加七斗得上等每戸纳数 　　九则 　　带分子母差分一法 　　设甲乙丙三人纳银令乙纳甲数六分之五丙纳甲数四分之三乙多丙纳银八两求共银及各应纳银数法曰列母四子三于左母六子五于右右上互乘左下得十八左上互乘右下得二十左上右上相乘得二十四以十八减二十余二为法另以乙多丙八两乘二十四【得一百九十二两】以法除之得九十六两即甲 　　数以八两乘二十【得一百六十两】以法除之得八十两即乙 　　数以八两乘十八【得一百四十四 　　两】以法除之得七十二两 　　即丙数并之得二百四十 　　八两即共银数 　　解曰此借比例以求真数也二十四与二十六分之五也二十四与十八四分之三也六分之五之二十较四分之三之十八多二六分之五之乙数较四分之三之丙数却多八两则二十四之与甲数二十之与乙数十八之与丙数其比例必皆若二与八也故八乘二除各得真数也 　　十则 　　带分子母差分二法 　　设布一十二万四千四百八十五疋给散军士每三名给袄布七疋每四名给裤布五疋求军数法曰列三名七疋于右四名五疋于左右上互乘左下【得十五】左上互乘右下【得二十八】并之【共四十三】为法另以左上右上 　　相乘【得一十二】以乘共布【得一百四 　　十九万三千八百二十疋】以法除之得 　　三万四千七百四十名即 　　所求 　　解曰十二为三名者四当