御制数理精蕴 - 第 65 页/共 595 页
十九论有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较【相减之余曰较】亦倍于彼较【设此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七】
钦定四库全书
几何论约卷一
柘城杜知耕撰
一题
有界直线上求立平边三角形
法曰甲乙直线上求立平边三角
形先以甲为心乙为界作丙乙丁
圜次以乙为心甲为界作丙甲丁
圜两圜相交于丙于丁末作甲丙乙丙两线即甲乙丙为平边三角形
论曰两圜既等甲乙乙丙丙甲三线皆圜之半径故等【界説十五】
用法不必作全圜但作短界线相交处即得丙【下图】二题
一直线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等
法曰有甲防及乙丙线求以甲为界作一线与乙丙等先以丙为心乙为界作乙戊圜次观甲防若
在丙乙之外则作甲丙线
如上圗或甲防在丙乙之
内则截取甲丙线如下圗
两法俱以甲丙线为底作甲丁丙平边三角形【本卷一】次引丁丙至乙戊圜界为丙戊引丁甲出圜界外稍长为甲己末以丁为心戊为界作辛戊圜其丁己线与辛戊圜相交于庚即甲庚与乙丙等论曰丁戊丁庚同为外圜半径故等丙戊丙乙同为内圜半径亦等于丁庚减丁甲于丁戊减丁丙其所减两腰等则所存必等【公论三】夫甲庚既等于丙戊即等于丙乙矣
若所设甲防在丙乙线之一界其法尤易若甲防在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求三题
长短两直线求于长线减去短线之度
法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先作乙丁线与甲等次以乙为心丁为
界作圜圜界交乙丙于戊即乙戊与等甲之乙丁等盖乙丁乙戊同心同圜故也【界説十五】
四题
两三角形若相当之两腰各等各两腰间角等则两底必等而两形亦等其余各两角相当者俱等
解曰甲乙丙丁戊己两角形甲与丁两角等甲丙
与丁己两线甲乙与丁戊两线各等题言乙丙与戊己两底必等而两角
形亦等乙与戊两角丙与己两角俱等【三角形称为角形省文也】
五题
三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底之外两角亦等
解曰甲乙丙角形其甲丙与甲乙两腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又引甲丙
至戊引甲乙至丁其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等
増凡三边等形其三角俱等
六题
三角形若底线两端之两角等则两腰亦等
七题
一线为底出两腰线其相遇止有一防不得别有腰线与元腰线等而于此防外相遇
解曰乙丙线为底于乙于丙各出一线至甲防相遇不得于乙上更出一线与甲乙等丙
上更出一线与甲丙等而不于甲相遇
八题
两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角必等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙
与戊己两底亦等题言甲丁两角必等
糸本题止论甲丁两角若旋转依法论之即三角皆同可见凡线等角必等不可疑也
九题
有直线角求两分之
法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁次于甲丙截甲戊与甲丁等次作丁戊线次以丁戊为底立丁己戊
平边三角形【本卷一】末作甲己线即乙甲丙角为两平分
用法如前截取甲丁甲戊即以丁为心向乙丙间作一短界线次用元度以戊
为心亦如之两界线交处即得己【本巻一】
十题
一有界线求两平分之
法曰甲乙线求两平分先以甲乙为底作甲乙丙两边等三角形【本巻一】次平分丙角【本巻九】作丙丁线即平分甲乙于丁
用法以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末作丙
丁线即平分甲乙于戊
十一题
一直线任于一防上求作垂线
法曰甲乙直线任指丙防求作垂线先任用一度于丙左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两邉等角形【本巻一】末作己丙线即为甲乙之垂线
用法于丙防左右如前截取丁与戊即以丁为心任用一度但须长于丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界
线交处即己
増若所欲立垂线之防在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取丙防如前法于丙上立丁丙垂线次平分甲丙丁角为己丙线次于丁丙线截取戊丙与甲丙等次于戊上立垂线与己丙线相遇于庚末自庚作庚甲线为所求
论曰庚丙甲庚丙戊两角形等甲与戊两角必等戊既直角则甲亦直角故庚甲为甲乙之垂线【界十】用法甲防上欲立垂线先以甲为心向元线上方任抵一界为丙次用元度以丙为心作大半圜圜界遇甲乙线于丁次自丁至丙作直线引长至戊遇圜界于己末作己甲线为所求
耕曰丁己既过丙心即是圜径而己甲丁则全圜之半也丁甲己角既负半圜必为直角【三巻三一】故己甲为甲乙之垂线
十二题
有无界直线之外有一防求自防作垂线至直线上法曰甲乙线外有丙防求自丙作垂线至甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁戊次作丙丁丙戊两线次平分丁戊于
己【本巻十】末作丙己为所求
用法以丙为心向直线两处各作短界线为甲为乙次用一度以甲为心向丙防相望处作短界线乙为心亦如之两界线交处为丁末作丙丁交直线于戊即丙戊为垂线
又用法于甲乙线上近甲或近乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望处各稍引长
之次于甲乙线上视前心或相
望如上圗或进或退如下图任
移一防为心以丙为界作一圜
界与前圜界交处得丁末作丙丁线交甲乙线于戊即丙戊为垂线【若近界作垂线无可截取亦用此法】
十三题
一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角
解曰甲乙线至丙丁线上作甲乙丙甲乙丁两角题言此两角若非直角即一鋭一钝而并之等于两直角
论曰试作戊乙垂线【本巻十一】则成戊乙丁戊乙丙两直角甲乙丁角加一戊乙甲角与戊乙丁直角等甲乙丙角减一戊乙甲角与戊乙丙直角等故甲乙丁甲乙丙两角并与两直角等
十四题
一直线于线上一防岀不同方两直线偕元线毎旁作两角若旁两角与两直角等即后出两线为一直线
解曰甲乙线于丙防上左岀一线为丙丁右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角与两
直角等题言丁丙与丙戊是一直线【论同前题】
十五题
凡两直线相交作四角毎两交角必等
解曰甲乙丙丁两线相交于戊题言甲戊丙丁戊
乙两角甲戊丁丙戊乙两角各等
论曰两直线相交则甲戊丁丁戊乙必等于
两直角甲戊丁甲戊丙亦等于两直角【本巻十三】是甲戊丁丁戊乙两角并与甲戊丁甲戊丙两角并等矣试减同用之甲戊丁角所存丁戊乙甲戊丙两角必等余两角亦同此论
一糸推显两直线相交作四角与四直角等
二糸凡直线相交于一防不论几许线几许角定与四直角等
増题一直线内出不同方两直线而所作两交角等即后出两线为一直线【理同本题反言之】
十六题
凡三角形之外角必大于相对之各角
解曰甲乙丙角形自乙甲线引至丁题言丁甲丙外角必大于相对之甲乙丙甲丙乙内角
论曰试以甲丙平分于戊作乙戊线引长之从戊截取戊己与乙戊等次作甲己线成甲戊己戊乙丙两角形其戊己与戊乙戊甲与戊丙各等甲戊己乙戊丙两交角又等【本巻十五】则甲己与乙丙两底亦等【本巻四】而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙矣依前
推显庚甲乙大于辛乙丙庚甲乙又与丁甲丙两交角相等【本巻十五】是丁甲丙亦大于辛乙丙矣
十七题
凡三角形之毎两角必小于两直角
解曰甲乙丙角形题言毎两角并俱小于两直角