御制数理精蕴 - 第 63 页/共 595 页

正假数尺 　　法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至九十度之正假数减去首位之八于分厘尺上取其度【如一度之正假数为八二四一八减去首位之八余二四一八即为二寸四分一厘八豪】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数如自一度至二度之斜线其与第一直线相交之处即一度五分其与第二直线相交之处即一度十分葢一度有六十分故直线分为十二每一直线当五分若于直线之间酌量取之则五分中之零分亦可得其大槩矣若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至九十度止葢九十度之正假数首位为一○一度之正假数首位为八相减余二故二尺之内始可容自一度至九十度之分今既截去一尺则假数首位须再减去一数故从六度起六度之正假数首位为九减去首位之九取其零数作寸分厘豪至九十度则恰得一尺之分也 　　设如甲乙丙三角形甲角四十四度三十分丙角五十三度乙丙边五尺三寸七分问甲乙边几何法以正假数尺之四十四度三十分与五十三度相减用其余度与假数尺之五十三分七厘相加得六丁一分一厘即六尺一寸一分为甲乙边也葢甲角正与丙角正之比同于乙丙边与甲乙边之比故以四十四度三十分之正为一率五十三度之正为二率假数尺之五十三分七厘当乙丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也 　　设如甲乙丙三角形甲乙边六尺一寸一分甲丙边七尺五寸九分乙角八十二度三十分问丙角几何 　　法以假数尺之六十一分一厘与七十五分九厘相减用其余度与正假数尺之八十二度三十分相减得五十三度为丙角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于乙角正与丙角正之比故以七十五分九厘当甲丙边为一率六十一分一厘当甲乙边为二率八十二度三十分之正为三率得乙角五十三度为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率余度与三率相减而得四率其理同也 　　切线假数尺 　　法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至四十五度之切线假数减去首位之八于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正假数尺同至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线尺止用四十五度正余相对即足八十九度之用若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至四十五度止其余度则至八十四度止亦与正假数尺同也 　　设如甲乙丙直角三角形甲丙边四尺三寸六分乙丙边四尺二寸九分问甲角几何 　　法以假数尺之四十三分六厘与四十二分九厘相减用其余度与切线假数尺之四十五度相减得四十四度三十分为甲角度也葢甲丙边与乙丙边之比同于半径与甲角切线之比故以四十三分六厘当甲丙边为一率四十二分九厘当乙丙边为二率四十五度之切线当半径为三率得甲角四十四度三十分为四率也因二率小于一率故于一率内减去二率余数于三率内减之即得四率也 　　设如甲乙丙直角三角形甲角五十三度甲丙边三十二尺三寸问乙丙边几何 　　法以切线假数尺之五十三度与半径相减用其余度与假数尺之三十二分三厘相加得四十二分九厘即四十二尺九寸为乙丙边也盖半径与甲角正切线之比同于甲丙边与乙丙边之比而甲角余切线与半径之比亦同于甲丙边与乙丙边之比故以五十三度之余切线为一率四十五度之切线当半径为二率三十二分三厘当甲丙边为三率得四十二分九厘当乙丙边为四率因五十三度切线自四十五度起是已减去半径矣故以二率与三率相加即得四率不必更减一率也 　　割线假数尺 　　法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至八十九度之割线假数减去首位之一于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正假数尺同若尺小止用一百分则截去自八十五度至八十九度之数从○度起至八十四度止葢○度之割线即半径其假数为一○今从○度起即减去半径之数至八十四度以后则假数甚大一尺之内不能容故止八十四度止也 　　设如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲丙边四十二尺九寸问甲乙边几何 　　法以割线假数尺之四十五度三十分与假数尺之四十二分九厘相加得六十一分一厘即六十一尺一寸为甲乙边也葢半径与甲角割线之比同于甲丙边与甲乙边之比故以半径为一率四十五度三十分之割线为二率四十二分九厘当甲丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率因割线先巳减去半径之数故二率与三率相加即得四率不必更减半径也 　　设如甲乙丙直角三角形甲丙边四十二尺九寸甲乙边五十三尺七寸问甲角几何 　　法以假数尺之四十二分九厘与五十三分七厘相减用其余度自割线假数尺○度以上量之得三十七度为甲角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于半径与甲角割线之比故以四十二分九厘当甲丙边为一率五十三分七厘当甲乙边为二率半径为三率得三十七度当甲角为四率因○度之割线即半径故以一率二率相减之余度自○度以上量之即如与半径相加也 　　御制数理精蕴下编卷四十 <子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴> 　　钦定四库全书 　　御制数理精蕴表卷一上 　　八线表 　　八线表説 　　八线之用关于数理者甚大立表愈宻则为用愈精西洋旧表设半径为十万用以推测步算秒微或有不合既而又有新表设半径为一千万取数较精但逐分列表用中比例以求秒数止可用于正余若切线割线至六十度以后其递増之数不均用中比例尚不能宻合兹又用本法细推【法见割圜】每十秒递折求零秒则用比例所差无多检用亦便用表之法并列如左列表之法○度至四十四度列于右方之上其分秒顺列右行自上而下检得某度某分秒对上层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对上层各线行内检得某数横对至右行即得某度分秒　四十五度至八十九度列于左方之下其分秒逆列左行自下而上 　　检得某度某分秒对下层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对下层各线行内检得某数横对至左行即得某度分秒 　　凡查零秒用中比例如检一度三分十三秒之正则以一度三分十秒与一度三分二十秒相减余十秒为一率一度三分十秒之正一八三七三四与一度三分二十秒之正一八四二一九相减余四八五为二率三秒为三率求得四率一四五与一度三分十秒之正相加得一八三八七九即一度三分十三秒之正盖多十秒则正多四八五今多三秒则正应多一四五为比例四率也如检一度三分十三秒之余则仍以十秒为一率一度三分十秒之余九九九八三一二内减一度三分二十秒之余九九九八三○三余九为二率三秒为三率求得四率三与一度三分十秒之余相减余九九九八三○九即一度三分十三秒之余盖多十秒则余少九今多三秒则余应少三为比例四率也　如有正一八三八七九求度分秒与一度三分十秒之正相较则多与一度三分二十秒之正相较则少即知在十秒二十秒之间乃以一度三分十秒与一度三分二十秒之正相减余四八五为一率十秒为二率今有之正内减一度三分十秒之正余一四五为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖多四八五则多十秒今多一四五则应多三秒为比例四率也如有余九九九八三○九求度分秒则以一度三分十秒之余内减一度三分二十秒之余余九为一率十秒为二率一度三分十秒之余内减今有之余余三为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖少九则多十秒今少三则应多三秒为比例四率也 　　八线内有正矢余矢二线正矢即半径减余之数余矢即半径减正之数故表内虽不列正矢余矢而其【数已寓矣】 <子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,表卷一上> <子部,天文算法类,算书之属,几何论约> 　　钦定四库全书　　　　　子部六 　　几何论约　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要 　　【臣】等谨案几何论约七卷 　　国朝杜知耕撰知耕字临甫号伯瞿柘城人是编取利玛窦与徐光启所译几何原本复加删削故名曰论约考光启于几何原本之首冠杂议数条有云此书有四不必不必疑不必揣不必试不必改有四不可得欲脱之不可得欲驳之不可得欲减之不可得欲前后更置之不可得知耕乃刋削其文似乎蹈光启之所戒然读古人书者往往各有所会心当其独契不必喻诸人人并不必印诸著书之人几何原本十五卷光启取其六巻萨几里得以絶世之萟传其国递校之秘法其果有九巻之冗赘待光启去取乎亦各取其所欲取而已知耕之取所欲取不足异也梅文鼎算术造微而所着几何摘要亦有所去取于其间且称知耕是书足以相证则是书之删繁举要必非漫然矣乾隆四十六年九月恭校上 　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅 　　总　校　官【臣】陆费墀 　　原序 　　凡物之生有理有形有数三者妙于自然不可言合何有于分顾从来语格物者毎详求理而略形与数其于数虽有九章之术求其精确已苦无书至论物之形则絶无及者孟子曰继之以规矩凖绳以为方圆平直不可胜用意古者公输墨翟之流未尝不究心于此而特未及勒为一家之言与然不可考矣尝窃论之理为物原数为物纪而形为物质形也者理数之相附以立者也得形之所以然则理与数皆在其中不得其形则数有穷时而理亦杳而不安非理之不足恃盖离形求理则意与象暌而理为无用即形求理则道与器合而理为有本也防何原本一书创于西洋欧吉里斯自利玛窦携入中国而上海徐元扈先生极为表章译以华文中国人始得读之其书囊括万象包罗诸有以为物之形有短长有濶狭有厚薄短长曰线濶狭曰面厚薄曰体以三者提其大纲而曲直相参斜正相求方员相凖多寡相较轻重相衡以虚例实用小该大自近测逺参之伍之错之综之物之形得而无阂数无遁理矣顾其书虽存而习者卒鲜即稍窥其籓亦仅以为厯学一家之言不知其用之无所不可也友人杜子端甫束发好学于天文律厯轩岐诸家无不该览极深湛之思而归于平实非心之所安事之所騐虽古人成説不敢从也其于是书九沛然有得以为原书义例条贯已无可议而解论所系间有繁多读者难则知者少矣于是为之删其冗复存其节要解取诂题论取发解有所未明间以已意附之多者取少迂者取径使览者如指掌列眉庶人不苦难而学者益多既成征序于予予谫陋何能为役然念先君子尝精研此书弗释巻不肖总角时毎闻其略今愧不能绍前业读杜子书而附名末议尤所欣愿者故为述其大意以应杜子之请而因为之言曰今艺学之榛荒乆矣即以律厯论二者虽同出于数然各有本末不必强同汉魏以来务为牵合了无确义至天文一家尤多穿凿凡日月交食五星凌犯有所弗通不咎推歩之失反诬天行之错以致批根人事除翦无辜翕张政刑不可殚述盖不徒时刻愆期分秒失算而已是岂非学而不实之过哉若舍去一切傅会揣合之説而以防何之学求之则数以象明理因数显涣然氷释无往不合即推而广之凡量髙测逺授土工治河渠以及百工技艺之巧日用居室之防无一之可离者然则此书诚格致之要论艺学之津梁也今夫释迦之学亦来自西域中更刘宋萧梁诸人翻演妙谛转渉悬然终属搏沙无禆实用中国人犹嗜之不啻饥渴防何一书絶非其伦徐利二公一本平实杜子所述更归防简学者辍其章句词赋之功假十一于千百数日间可得之亦何惮而不一观与杜子先有数学钥六巻已行于世正与防何家相为表里合二书评之皆洁浄精实防于不能损益一字语不云乎言之无文行之不逺吾以为言之不简不可为文简而不该不可为简请以此语賛两书读之者既得其简即得其该其于是道也庶防哉吴学颢序