御制数理精蕴 - 第 69 页/共 595 页
十界两负圜角相等即所负之圜分相似甲乙己与丁丙戊两负圜分角等则所负丙丁戊与乙甲己两圜分相似又两圜或不等其负
圜分角等即两圜分相似【相似者同为几分圜之几也】
钦定四库全书
几何论约巻三
柘城杜知耕撰
一题
有圜求心
解曰甲乙丙丁圜求心先于圜之两界任作一甲丙直线平分于戊次于戊作乙丁
垂线平分于己即己为圜心
糸因此推显圜内有直线分他线为两平分而为直角即圜心在其内
二题
圜界任取两防以直线相聨则直线全在圜内
三题
直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分
解曰甲乙丙丁圜有丙丁线过戊心平分甲乙线于己题言戊己必是垂线而己旁
为两直角又言己旁既为两直角则戊己必分甲乙为两平分
四题
圜内不过心两直线相交不得俱为两平分
解曰甲乙丙圜内有甲乙丙丁两直线俱不过已心而交于戊题言两直线或有一
线为两平分不得俱为两平分
五题
两圜相交必不同心
六题
两圜内相切必不同心
七题
圜径离心任取一防从防至圜界任出几线其过心线最大不过心线最小余线愈近心者愈大愈近不过心线者愈小而诸线中止两线等
解曰甲戊辛圜其径甲乙其心巳离心任取一防为庚从庚至圜界任出几线为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸
线惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁如庚戊庚辛止可出两线等不得有三线等
八题
圜外任取一防从防任出几线其至规内则过心线最大余线愈离心愈小其至规外则过心线最小余线愈近径愈小而诸线中止两线等
解曰乙己壬圜之外从甲防任出几线其一过心为甲壬余为甲辛甲庚甲己皆至规内题先言过
心之甲壬最大次言近心之甲辛
大于离心之甲庚甲庚又大于甲
己三言规外之甲乙为乙壬径余
者最小四言甲丙近径余小于甲丁甲丁又小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线如甲丙甲子相等不得有三线等
九题
圜内从一防至界作三线以上皆等此防必是圜心论曰三线皆半径故等若非圜心所出止有两线等不得有三线等
十题
两圜相交止于两防
十一题
两圜内相切作直线聨两心引出之必至切界解曰甲乙丙甲戊丁两圜内相切于甲两心为巳为庚题言作直线聨庚己两心引
抵圜界必至甲
十二题
两圜外相切以直线聨两心必过切界
十三题
圜相切不论内外止以一防
十四题
圜内两直线等即距心之逺近等距心之逺近等即两直线等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等题言两线距心逺近亦等又言两
线距心逺近等则两线亦等
十五题
径为圜内之大线其余线近心大于逺心
解曰甲丙己圜其心庚其径甲己其近心线为乙戊逺心线为丙丁题言甲己最大
乙戊近心大于丙丁逺心
十六题
圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线鋭角切边角小于各直线鋭角
解曰甲乙丙圜其心丁甲丙为径从甲作甲戊为甲丙之垂线题言戊甲全在圜外又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角
不得更作一直线入其内若作甲己线必割圜为分又言甲丙径线偕甲乙圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线鋭角而戊甲垂线偕甲乙圜分所作戊甲乙切边角小于各直线鋭角
论曰甲戊下有直线既云必割圜为分即此直线偕戊甲所作角必大于切边角偕丙甲所作角必小于分圜角
糸戊甲线必切圜以一防
増题有两种几何一大一小以小率半増之逓増至于无穷以大率半减之逓减至于无穷其元大者恒大元小者恒小如戊甲乙切边角为小率壬庚辛直线鋭角为大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己线于甲其切边角愈増愈大别以庚癸庚子分壬庚
辛角愈分愈小然直线角恒大切邉角恒小乃至终古不得相比
又増题旧有一説以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至一相等之处又一説有率大于此率者有率小于此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论若用以律本题即不可得故今斥为不公论如甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙线逐线渐移之向己其所经丁
戊己及中间逐线所经无数凡割圜时皆为鋭角即小于半圜分角才离鋭角便为直角即大于半圜分角终无相等线可见前一旧説未为公论又直线鋭角皆小于半圜分角直角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终无等者可见后一旧説未为公论
十七题
设一防一圜求从防作切线
法曰甲防求作直线切乙丙圜其心丁先从甲作甲丁直线截圜界于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁线而截乙丙圜于丙末作甲丙线为所求
论曰甲丙丁与戊丁乙两角形各等戊乙丁既直角则甲丙偕丙丁半径亦直角故甲丙为切线十八题
直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线解曰甲乙线切丙丁圜于丙从戊心至切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线
十九题
直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线内
二十题
负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角
解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底题言
乙丁丙角倍大于乙甲丙角
先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰从甲作甲戊线其甲丁乙形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角等【一巻五】而乙丁戊外角与相对两内角并等【一巻三二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者曰丁甲丙形两腰等则两角亦等而乙丁丙外角与甲丙两内角并等是乙丁
丙角倍大于乙甲丙角
后论分圜角在负圜角之外而甲乙截丁丙者曰乙甲丙负圜角乙丁丙分圜角自甲作甲戊过心线依前论推显戊丁丙分圜角倍
大于戊甲丙负圜角又戊丁乙分圜角倍大于戊甲乙负圜角次于戊丁丙角减戊丁乙角于戊甲丙角减戊甲乙角所余乙丁丙分圜角必倍大于乙甲丙负圜角
増若乙丁丁丙不作角于心或为半圜或大于半圜则心外余地亦倍大于同底之负圜角
论曰作甲戊过心线即心外余地
分为乙丁戊戊丁丙依前论推显
此两角倍大于乙甲丁丁甲丙两角
二十一题
凡同圜分内所作负圜角俱等
解曰甲乙丙丁圜其心戊