御制数理精蕴 - 第 66 页/共 595 页

论曰试引丙乙至丁甲乙丙甲乙丁两角并与两直角等【本巻十三】而甲乙丁外角必大于甲丙乙内角【本巻十六】是甲乙丙与甲丙乙两角并小于两直角矣余二角仿此 　　十八题 　　凡三角形大邉对大角小邉对小角 　　解曰甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙丙边题言甲乙丙角大于甲丙两角 　　论曰试于甲丙线上截甲丁与甲乙等作乙丁线则甲乙丁与甲丁乙两角等矣【本巻五】夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相对之丁丙乙内角【本巻十六】则甲乙丁角亦大于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不更大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则甲角亦大于丙角依此推显十九题 　　凡三角形大角对大边小角对小边 　　二十题 　　凡三角形之两边并必大于一边 　　二十一题 　　凡三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其内则内形两腰并必小于相对两腰并而后两线所作角必大于相对角 　　解曰甲乙丙角形于乙丙边之两界各出一线遇于丁题言丁丙丁乙两线并必小 　　于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角二十二题 　　三直线其毎两线并大于一线求作三角形 　　法曰甲乙丙三线其第一第二线并大于第三线【若两线比第三线或等或小即不能作三角形见本巻二十】求作三角形先任作丁戊线长于三线并次截丁己与甲等截己庚与乙等 　　截庚辛与丙等次以己为心丁为界作丁壬癸圜以庚为心辛为界作辛壬癸圜其两圜相遇下为壬上为癸末以庚己为底作癸庚癸己两线即得己癸庚三角形【壬防亦可作　若两圜不相交即是两线或等或小于第三线不成三角形】 　　用法先作丁戊线与乙等次以丁为心甲为度向上作短界线次以戊为心丙为度亦如 　　之交处得己末作己丁己戊两线为所求【若设一三角形求别作一形与之等亦用此法】 　　二十三题 　　一直线任于一防上求作一角与所设角等 　　法曰甲乙线于丙防求作一角与丁戊己角等先任作庚辛线成庚戊辛角形 　　次依甲乙线作丙壬癸角形与戊庚辛等【本卷二二】二十四题 　　两三角形相当之两腰各等若一形之腰间角大则底亦大 　　解曰甲乙丙与丁戊庚两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁庚两腰各等若 　　甲角大于戊丁庚角题言乙丙底亦大于戊庚底耕曰设丁戊己与甲乙丙形等则角与底必俱等若丁己线开至辛甲角小于丁角而乙丙底亦必小于戊辛底若丁己线敛至庚甲角大于丁角而乙丙底亦大于戊庚底 　　二十五题 　　两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角亦大 　　二十六题 　　两三角形有相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对 　　解曰甲乙丙形之乙丙两角与丁戊己形之戊己两角各等或两角内之乙丙边与戊己边等或对丙角之甲乙边与对己角之 　　丁戊邉等题言两形之余两边一角必俱等 　　二十七题 　　两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直线必平行 　　解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲乙丙丁两线必平行 　　论曰如不平行两线必相遇于壬成庚辛壬三角形则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角【本巻十六】若两角等则两线必平行 　　二十八题 　　两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行 　　解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛题言若戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等则两线必平行又言若甲庚辛与丙辛庚同方两内角并与两直角等则两线必平行 　　二十九题 　　两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等【义同上二题反言之】 　　三十题 　　两直线与他直线平行则元两线亦平行【此题所指线在同面者不同面线后别有论】 　　三十一题 　　一防上求作直线与所设直线平行 　　法曰甲防求作直线与乙丙平行先从甲向乙丙线任作甲丁线即乙丙线上成甲丁乙角次于甲防上作一角与甲丁乙等【本巻二三】为 　　戊甲丁引长戊甲至己即己戊为所求 　　论曰戊甲丁甲丁乙相对之两内角等两线必平行【本巻二八】 　　用法先从甲防作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界少长于戊己次取戊己度截庚辛圜界于辛 　　末作甲辛线为所求 　　又用法以甲防为心于乙丙线近乙处任作短界线为丁次用元度以丁为心于乙丙线向丙作短界线为戊次用元度以戊为心向 　　上与甲平处作短界线又用元度以甲为心向甲之平处作短界线两界线交处为己末作己甲线为所求又用法取甲至乙丙线为度于乙丙线近乙处任指一防为心作短界线于甲次用元度近丙处任指一防为心作短界线于丁末作 　　丁甲线为所求【出几何要法】 　　増从此题生一用法设一角两线求作四边形有 　　角与所设角等 　　法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊与甲等己丁与乙等末依丁戊平行作己庚 　　依丁己平行作庚戊为所求 　　三十二题【二支】 　　凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之内三角并与两直角等 　　先解曰甲乙丙角形乙丙边引至丁题言甲丙丁 　　外角与甲乙两内角并等 　　论曰试作戊丙线与甲乙平行即甲丙为甲 　　乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对之甲丙戊角等【本卷二九】又乙丁与两平行线相遇则戊丙丁外角与相对之乙内角等【本卷二九】故甲丙丁外角与甲乙两内角并等 　　后解曰甲乙丙三角并与两直角等 　　论曰甲丙乙甲丙丁两角并与两直角等【本巻十三】又与甲乙丙三角并等是三角亦与两直角等 　　増从此推知第一形当两直角第二形【可分三角形二】当 　　四直角第三形【可分三角形三】当六 　　直角第四形【可分三角形四】当八直 　　角从此可推至无穷 　　耕曰不论何形凡形四边可当四直角五边可当六直角六边可当八直角七边可当十直角从此可推至无穷 　　一糸凡诸种角形之三角并俱相等 　　二糸凡两腰等角形若腰间直角则余两角毎当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间鋭角则余两角俱大于半直角 　　三糸平边角形毎当直角三分之二 　　四糸甲乙丙平边角形以甲丁垂线分之其丁甲丙丁甲乙两角毎当直角三分之一乙丙两角毎 　　当直角三分之二 　　増从三糸可分一直角为三平分如甲乙丙直角于甲乙线上作甲乙丁平边角形【本巻一】次平分甲丁于戊【本巻九】末作乙戊线 　　三十三题 　　两平行相等线有两线聨之其两线亦平行亦相等 　　三十四题 　　凡平行线方形毎相对两边线各等毎相对两角各等对角线分本形两平分 　　解曰甲乙丙丁平行方形题言甲乙与丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与丙两角丁与甲两角各等又言若作甲丁对角线 　　即分本形为两平分 　　三十五题 　　两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形同丙丁底题言两形等【等者谓所函之地等后言形等者多仿此】 　　先论己防在甲戊之内曰甲戊己乙两线等试于两线各减己戊余甲己戊乙亦等因显甲丙己戊丁乙两角形亦等【本巻四】次于两角 　　形毎加一丙丁戊己四边形即丙丁戊甲丙丁乙己两方形安得不等 　　次论己戊同防曰甲丙戊戊丁乙两角形等次于两角形毎加一丙戊丁角形即丙丁戊甲与丙丁戊乙两方形故等 　　后论己防在甲戊之外曰甲戊己乙两线等 　　而毎加一戊己线即甲己与戊乙两线亦等因显己甲丙乙戊丁两角形亦等次毎减一己戊庚角形加一庚丁丙角形即丙丁戊甲与丙丁乙己两方形故等 　　三十六题 　　两平行线内有两平行方形若底等则形亦等 　　解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形而丙戊与辛丁两底 　　等题言两形亦等 　　论曰试作丙庚戊乙两线成庚丙戊乙方形此形与庚辛丁乙方形同庚乙底必等与甲丙戊己方形同丙戊底亦等【本巻三五】即甲丙戊己与庚辛丁乙两方形自相等 　　三十七题 　　两平行线内有两三角形若同底则两形必等 　　三十八题 　　两平行线内有两三角形若底等则两形必等 　　耕曰三角形当等髙等底方形之半两方形等则两角形必亦等论同前二题平行方形 　　増甲乙丙角形任于乙丙边平分于丁作丁甲线 　　即分本形为两平分