御制数理精蕴 - 第 169 页/共 595 页
丙乙之边线为相连比例丙乙之面于相连比例中为隔一位加一倍比例今设一甲线为一分乙线为二分丙线为四分为相连比例则丙面与乙面之比同于丙线与甲线之比盖丙面大于乙面三倍丙线长于甲线三倍共为隔一位加一
倍之比例也
前数节所论直角面之纵横界比例等者谓之同直角面其两相比例之横界俱谓之相当界也
在相同直角面纵横两相当界之比例必等也
在相同直角面于两面相当之一界作为两方面则所作两方面互相之比即同于原面互相之比亦为隔一位加一倍之比例也
直角体则有三比例长也寛也厚也如大形之长寛厚各大于小形之长寛厚一倍则先成长寛倍之平面形于平面形上又叠一相等之平面形则亦倍厚矣倍而成平面则二倍为均者有二倍而成体则四倍为均者有二矣
有直角两体苟此一体之底与他一体之底为大一倍而他一体之厚与此一体之厚亦大一倍则此二体之积等盖即一体之竖起与放倒也
有两直角体苟此体之长寛厚界与彼体之长寛厚界相比之比例若俱同谓之同式体而长寛厚各一边相比例之界俱谓相当界也
凡两直角同式体互相比之比例为界比例之隔二位加二倍之比例也如大体之长寛厚比小体各大一倍则此两体相比之比为隔二位相加之比例也盖界线为相连之比例者倍而为平面为隔一位相加之比例又倍而为体则为隔二位相加之比例也苟作一相连比线之率甲为一分乙为二分丙为四分丁为八分又作一直角体与三界各加一倍之直角体则小体与大体之比同于一率甲线与四率丁线之比若知甲线比丁线为八分之一即可知大体比小体为八分之一也有直角同式两体在此两体比例相当之二界立作两四方体互相以比之其比例仍同于原体之比也盖原体为隔一位加一倍之比例则于两相当界所作体亦为隔一位加一倍之比例均是八分之一也
凡二平行线内凡有直角面互相之比同于与此两底互相之比也如甲己面之丙己底界与戊丁面之己丁底界若大三倍则甲己面与戊丁面亦大三倍也试将戊己相兼之纵界依此
界分与丙己己丁底界相乗成甲己面十二分戊丁面四分总为大三倍也
凡二平行线内所有凡平行四边面互相之比同于其两底界互相之比也盖同底所立之直面斜面积俱同则直面斜面之比例俱等故底若大三倍则
面亦大三倍也
凡在二平行线之间若有两三角形以两形积互相之比必同于两底界互相之比也盖同底所作之三角形为四边形之一半四边形之比例等则三角形之比例亦等故三角底若大一倍则三角形积亦大一倍底若大三倍则积亦大三倍也
凡三角几形之底俱在于一直线又与各底相对之众角皆聚于一处则其三角众形必在二平行线之间也观图可见
凡三角形作与底线平行之线不拘何处截断则两旁之线皆成四比例线如图甲丁与丁乙之比同于甲戊与戊丙之比是二段互相比之比例同也又甲丁一段与甲乙全线之比同于甲戊
一段与甲戊全线之比是分线之比例同也故曰四相比例也盖自乙至戊自丙至丁作乙戊丙丁二线分为几三角形此内之乙戊丁丙丁戊两三角形既在二平行线之间又同立于丁戊之底则其积等也又各増入甲戊丁三角形其积亦等也又甲丁戊丙丁戊两三角形其底线同在甲丙一直线而两角又相遇于丁即如前所云二平行线之间有两三角形则两形积互相之比必同于两形底界互相之比则甲丁戊形积比丙戊丁形亦同于底线甲戊比戊丙之比例再彼甲丁戊乙丁戊两形积之比亦同于甲丁丁乙两底线之比也再甲乙戊甲丁丙两形之积既等则甲丁戊形积与乙丁戊形积之比同于甲丁段与乙丁段之比而又同于甲戊段与丙戊段之比是以甲丁段与乙丁段之比必同于甲戊段与丙戊段之比也故以甲丁为一率丁乙为二率甲戊为三率可以求戊丙之四率也诚如是以甲乙丙全形之三角或与所分甲乙戊三角或与所分甲丙丁三角之比例俱为同也因其比例同而此三角全形所分两形之积既为等则甲丙丁所分形之甲丁底与甲丙乙全形之甲乙底互相之比其甲乙戊所分形之甲戊底与甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱为同也则甲丁段之一分为一率甲乙全线三分为二率甲戊段一分为三率甲丙全线四分为四率亦为相比例率也
凡在三角形内不论何处作与底平行直线则以所作平行线与原底线之比同于两边所截一段与各每边全线之比也
如图所截若甲丁段二分甲乙线六分则丁戊线亦为二分乙丙线亦为六分可知也何也试将甲乙丙三角形转以乙甲线为底于戊丁线之
戊处至己处作与甲乙平行线则己乙之度即戊丁之度准前节全线与截段相比之例则戊丁平行线与原为底乙丙全线之比必同于甲戊与甲丙全线甲丁与甲乙全线之比也故以甲戊为一率甲丙为二率戊丁为三率乙丙为四率为四相比例以甲丁为一率甲乙为二率戊丁为三率乙丙为四率亦四相比例率也大小三角形每每相当角若等则其积虽异而其形为同谓同式三角形也再有一三角形自此形分之出一庚子癸三角形又出一子丑
壬三角形此所分出两形与原形每每相当角俱等亦谓同式形也
三角众形内相当各二角度若等则余一角度必等亦谓同式三角形也盖三角相合必与二直角等足半周之度也
有众大小三角形若同式将众形相当界互相比之比例为同俱为相比例率也如二勾股同式形则此股与相当股之比必同于勾与勾之比股与股之比也试将勾股如前截一小勾股可騐矣
同式直角两形互相之比同于在此各一面相当界所作方形相比之比例盖三角积得方形之半全与全之比若半与半之比也
同式直角两形互相之比即是各一面相当界相比之比例为加一倍之比例也如甲线一分乙线二分丙线四分为相连比例线今两形之三边线若各大一倍则亦如直角四边形积为大三倍矣大三倍则非相连比例线而为甲线一分与丙线四分隔一位加一倍之比例也
同式钝角鋭角互相之比亦同于此各一面相当界所作方形互相比之比例而为在此各一边相当界互相比之比例隔一位加一倍之比例也理如前节
有多边众形其边数同而相当角度等谓同式多边形则大形甲边之比与小形甲边之比同于乙边与乙边之比也
有众曲界形在曲界形之或内或外作相函之各种直
界形其
式若等
亦谓同
式曲界形也两襍界形二圆分形亦于两中间各作三角形若同式即谓之同式襍界同式圆分也
大小各圆分之式若同其分限虽殊而分数必等与其分相对所成之心角必俱等也
将同式大小多边两形内为三角以分此所分相当大小三角形之式俱同也如两五边形各分为三三角形
则甲乙丙与己庚辛相当为同
式甲丙丁与己辛壬相当为同
式己壬癸与甲丁戊相当为同式盖两形相当角度等则相当界互相比之比例等也乙丙庚辛二界相当之比同于甲丙己辛相当二界相比之比例由是甲丙己辛之比同于丙丁辛壬之比而丙丁辛壬之比亦犹甲丁己壬之比而甲丁己壬之比亦犹丁戊壬癸之比故曰相同式也
凡同式多边大小众形互相之比同于在此相当界所作四方形互相比之比例而与此各一
面相当界互相比之比例为加一倍之比例也理如前
凡大小同式直界形互相之比同
于在其形内外相函之同式形各
相当界立作平面方形互相比之
比例如图甲乙丙庚辛壬相当三角各二形之比同于在甲丙庚壬所作方形相比之比例也盖大形所函者甲丙己丁之形小形所函者庚壬癸丑之形故于甲丙庚壬相当二界立作方形而得比例也
凡圆曲襍各种界形之内将每每一类同式形互相之
比同于在所比形之内外
相函同式形之每每相当
所作方形相比之比例也如
图大小二圆形内虽函六面同式多边
两形函甲己丙丁庚丑壬癸直角四边同式两形函甲丙丁庚壬癸三角同式两形而但取所函四边形甲丙壬庚相当界所作之方形便得圆形比例也盖众界之界愈多则于圆界愈近故将直角形分为千万界形在圆界可以近用之而圆曲形亦既可以为千万直界形以用之故将此二圆为同式直界互相之比同于在所函同式形之相当二界所作方形相比之比例也然则二圆互相之比同于或在辐线或在径线所作方形相比之比例可知矣
凡大小平面体之相当角度若俱等相当界互相比而比例若同是谓同式体正方体四瓣面体皆然若圆柱体则论其中所函尖瓣等体若同式则谓之同式圆体各种体之式若同将每每一类体互相之比同于在每每相当界作四方体相比之比例如于两同式尖瓣体之相当作四方体是也
同式各种体内将每每一类体互相比者同于在此内外各所函者函于者同式体之每每相当界作方体互相比之比例也如两球体函于两方体以小球则大球则以小方为一率小球为二率大方为三率可以得大球之四率也
自直角三角形之直角至相对界作一垂线分为两直角形则此大小三三角形俱为同式也盖中垂两傍所成俱为直角而乙角又不变两
角相等则一角亦等而丁变为甲甲变为丁矣丙角亦不变而与乙甲丁同为同式三三角形也自直角三角形之直角至于对界作一垂线截相对界为两段则所截之两段长者为一率短
者为三率而垂线为中率为相连比例三率也如甲乙丙甲丁乙两角俱为同式则比例必同以乙丁比甲丁同于甲丁比丁丙也
自直角作垂线至于对界在此垂线作四方形又将所分对界两段一段为长一段为髙合作长方形两积俱等也盖三线既为相连比例线
凡相连比例三线其中线自乗之积同于一线三线相乗之积故也
凡直角三角形是谓勾股勾股上两方合之与上方等积何也如图以甲乙丙全形分为甲乙庚甲庚丙大小两形是为同式形而每每
相当界互相比之比例同也于是以小形庚丙与全形甲丙之比同于全形甲丙与全形乙丙之比为相连比例率也则在甲丙中率所作四方形必同于一率庚丙为髙与三率乙丙为长相乗所
作长方形之积等也又大形乙庚与全形甲乙之比同于全形甲乙与全形乙丙之比亦为相连比例率而在甲乙中率所作方形同于一三合率所作方形之积等也今庚丁乙壬所分之两形与己丙戊乙两方形每等则将所分两形相合则乙丁方形自然与己丙戊乙两方形等可知矣
在勾股三界作凡同式三形上积兼有勾股之积也
在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圆在二小界作甲庚乙两半圆亦如前节为等也而甲庚乙半圆之甲戊乙弧一段甲己丙半圆之甲丁丙弧一段若减之则所余甲庚乙戊甲己丙丁二段又与甲乙丙原三角形之积等也
一圆之内二线不拘何处相交以相交所截之段互相转比之比例俱同为四相比例率也如图二线于己处相交以此戊己段与己丙段相比之比例将己丁己乙相比之位转之为己乙己丁虽以后为前以前为后比之其比例仍同而戊己己丙己乙己丁四段为相比例率也
盖乙戊己丁己丙两形此两形之乙角丁角既俱切于圆界而又同立于戊丙之弧则此二角为等而二角之己角为对尖之角其角亦为等二形之三角俱等即为同式也同式则戊己己丙相当二线互相之比即同于己乙己丁相当二线互相比之比例又戊己己丙己乙己丁四段俱为相比例率也
于圆径线不拘何处作一垂线将径线截为两段则所截之两段为一率三率而垂线为中率成相连比例也即勾股垂线之理
自圆外之凡一防出二线过圆界
之二处至相对弧界则此两全线
互相之比同于在圆界外所有之
二段转位以比之比例而为四相比例率也如圆自丙至丁自戊至乙相交作二线成甲丙丁甲乙戊两三角形则两形之丙戊二角既同切于圆界同立于乙丁之弧则丙戊等角也再甲角既系公共则亦等角也二角既等则同式矣同式则甲丙甲戊相当二界互相之比同于甲丁甲乙相当二界相比之比例以甲丙为一率甲戊为二率转位甲丁为三率转位甲乙为四率俱为相比例率也
将函于圆之三角形于甲角作平分角之甲戊直线则甲乙傍线与甲丁段直线之比即同于甲戊全直线与甲丙傍线之比也盖甲乙戊甲丁丙形之丙戊二角同弧同切其度为等而甲乙戊之甲角丁甲丙之甲角既自一角
而平分为两角其度亦必等是为同式形也则以两形之相当甲乙小界与甲丁小界之比同于又相当甲戊大界与甲丙大界之比也
将函于圆三角形之甲角为两平分自甲角至底线作甲丁直线分底线为两段以乙丁与丁丙之比同于甲乙傍线与甲丙傍线之比也盖自丁处作甲乙平行之丁戊线成戊丁丙小三角形则全形之乙角与小形之丁角为
平行线一边之内外角为等而丙角系公共角亦为等为同式形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角为平行线间之尖错交角度为等而甲丁戊甲乙丁之甲角原系平分亦为等是甲丁戊角之丁角甲角等可知两角既等则两等角所对甲戊丁戊线亦必等也是故全形甲乙线与甲丙线之比同于相当丁戊线与戊丙之比而甲戊线与丁戊线等则甲乙比甲丙亦若甲戊比戊丙也又丙乙丙甲二线既为丁戊平行线所截则乙丁比丁丙若甲戊比甲丙也
凡球体在长圆内苟此球径线与长
圆体之底径髙度若俱等则此球积
为长圆体三分之二也何则将球体
合长圆体于乙丁平分之又将半长圆体内减去半球体余乙己庚丁申丙癸凹面体为与己庚壬尖圆体等积等也何以知之将尖圆凹面二体俱与己庚底平行分为几段之面则两体之面积每段各相等也试将尖圆体分癸夘申一段之面积必与分曲凹形午癸申戌一段周围之面积等矣何也以壬癸半径作正方与壬子子癸两线作两正方并之为
等也又以壬癸半径线作一圆与以壬子子癸为两半径线作两圆并之为等也再壬乙与壬癸俱是一圆之
半径线必等而壬乙与夘午俱为
一长方之平行线亦必等则卯午
与壬癸亦必等也是则以壬子子
癸为两半径作两圆亦必等于卯午半径线所作一圆也今将夘午所作圆内减去与壬子线相等之癸卯线所作之圆即余癸午曲凹形一段周围之面与癸子为半径线所作圆面等也夫卯癸线与癸子线既为等线而卯癸与癸子为半径作两圆亦必等则癸午曲凹形之面积必与卯癸为半径作圆之面积等矣再将壬未半径作一圆以壬辰辰未为两半径作两圆等亦如前所云以
辰未为半径作一圆与壬未相等辰已线为半径作一圆之面积内减去辰未作圆之面积所余未巳曲凹形一段周围之面积与壬辰为半径作圆之面积等而壬辰与辰寅既为正方之等线则以尖体内之辰寅为半径作圆之面积与相对未巳曲凹形之面积等也夫两体每段所分既俱相等则全体亦必相等矣前云一尖圆体与一长圆体其底积髙数若等则尖圆体与长圆体为三分之一也所余曲凹形既与尖圆等积则亦三分之一而所减半球为半长圆体三分之二而全球为全长圆体三分之二矣
有一尖圆体又一半球体苟尖圆体底径与半球体径度等而尖圆体髙度与半球体半径又等则此尖圆体为半球体积之一半也盖尖圆为长圆三分之一而半球为长圆体三分之二则尖圆为半球之半也又球体径度与尖圆体底径度若等而球体半径与尖圆体髙又等则此一球体之积当四尖圆体之积也盖将尖圆加一倍则与半球等合四尖圆则与全球等也有一球体又一尖圆体苟尖圆体底面积与球体外面总积若等而尖圆髙度与球体半径又等则此两体之积为等也何也将球体从外面至心分为千万尖体此所分千万尖体之底积必与原球外面之总积等亦即与尖圆体之底面积等也又原尖圆体之髙与所分千万尖体之髙旣等则一尖圆体之积与所分千万尖体总积等也如是其所分千万尖体之总积既与原球之积等则此尖圆体之积必与此球体之积等可知矣
凡有一球体苟以此球体之半径作一圆则所作圆之面积于此球体外面积为四分之一也如前节之言既为相等又作一小尖圆体其底径与原球径等其髙与原球体半径等则于原球为四分之一而于前大尖圆体亦为四分之一也此大小两尖圆体之髙度既等其两底面积之比同于两体积之比例体积为四分之一底面积亦为四分之一而于球体外面之积亦为四分之一也因其为四分之一而小尖圆体之半径原与球体半径等则以此球体半径作圆之面积亦与球体外面积为四分之一可知矣
有一球体又一圆形苟此圆形之半径与球体径度若等则此一圆形之面积为与一球体外面积等也盖以球之半径作圆之半径则其面积为球四分之一若以球之全径为圆之半径则半径所作之圆视全径所作之圆面积又为四分之一矣何则凡圆互相之比同于相当界所作方形互相比之比例又为每相当界互相比之比例为加一倍之比例也兹两半径之比为大一倍而两圆面之比又加一倍即是半径作圆为一分全径作圆为四分既为四分则此圆面积与球体外面等积可知矣有长圆体又一长方体苟此长方体底面积与长圆体周围面积若等又此长方体髙度与长圆体半径之半又等则此长方体之积为与一长圆体之积等也何也将长圆体从壬癸
心线至外面分为千万长体则此所分千万长体之共积为子己长方体积之一半也盖子庚髙度与所分千万长体之壬丁髙度相等又长方体之庚己底面积与所分千万长体之底共
面积及长圆体甲丙周围面积等如前所云所分千万长体之共积与子己长方体为一半亦如以子庚髙度分一半为戊庚而戊己长体即与所分千万长体相等矣如是则戊己长方体积与甲丙长圆体等积可知也有一球体一长圆体苟此长圆体之底径度髙度与球体径度若等则此球体外面之积为与长圆体周围之面积等也
盖将球体半径乙壬分为六分用半径之半三分与戊
己庚辛长圆体之面积相乗得数照
前节所云为长圆体之积也又用所
分六分之二为乙壬半径三分之一
与球体外面积相乗得数为球体之积也夫球体比长圆体积为三分之二矣然用三与长圆体周围之面积相乗者为得长圆体积用二与球体外面积相乗者为得球体积今以球体与长圆体相比之比例同于为乗面积用三二两数之比例如是则球体外面之积与长圆体周围之积等可知也
有一平面鸭卵形其大径度与圆径若等则鸭卵形之平面积与圆面积之比同于以鸭卵形之小径与大径相比之
比例也何也将与戊己径线平行任分几线此每线假如庚辛与壬癸之比同于戊己与乙丁之比而为作鸭卵形之定理也今每平行线俱依此之比例即平行鸭蛋形之积与圆形之积相比同于乙丁小径与戊己大径之比例也
长方面内有平面鸭卵形正方面内有圆形苟长方之寛与鸭蛋形小径度等长与大径度等而正方一边度又圆径度俱与鸭蛋形大径度等则以长方面积与正方面积之比例同于以鸭蛋形面积与圆形面积相比之比例也又鸭蛋体大径与球体径度若等则鸭蛋体外面积与球体外面积相比之比例同于以鸭蛋体小径与大
径相比之比例也何则将两体外面俱分几平行圆此每圆假如以子丑圆界与寅卯圆界之比同于以子丑圆径与寅卯圆径之比也今照作鸭蛋形之定理而子丑径与寅邜径之比同于戊己径乙丁径相比之比例诚如是其每大圆界与相对小圆界俱依此为比例则两外面积之相比同于两径之相比可知矣
有能函鸭蛋体之长圆体则鸭蛋体外面之全积为与长圆体周围之积等也则试以鸭蛋体之大径作球之径又作一函球之长圆则函球之长圆与函鸭蛋之长圆周围面积之比同于两底圆界相比之比例亦同于大径线与小径线相比之比例也又球体之面积与函球体之周围面积既等则以函球体周围面积与函鸭蛋体周圆面积之比亦同于大径与小径之比也则是鸭蛋体面积与函鸭蛋体周围面积二项与球体面积相比皆同于大径与小径之比则鸭蛋与函蛋体两项面积相等可知矣
有一鸭蛋体函于一球体则两积之比同于鸭蛋体小径线所作正方面与球体大径线所作正方面相比之比例也