御制数理精蕴 - 第 172 页/共 595 页

又法设有一石欲知其逺不取直角于左右两处测之 　　法先平安矩度于右以定表对左矩中心逰表看石得距中心距分三十七分五厘其逰表之斜矩分为六十二分五厘次安矩度于左以定表对右矩中心逰表看石得距中心距分十一分二厘五毫其逰表之斜距分为五十一分二厘五毫横量两矩相距三十九丈乃以两矩中心距分相并得四十八分七厘五毫【如图甲乙与丙丁两勾股相并】为一率右矩逰表之斜距分六十二分五厘【如图右丁】为二率横量三十九丈【如图右左】为三率求得四率五十丈【如图石右】即右矩距石之逺如求左矩距石则仍以四十八分七厘五毫为一率以左矩逰表之斜距分五十一分二厘五毫【如图甲左】为二率仍以三十九丈为三率求得四率四十一丈【如图石左】即左矩距石之逺也 　　又法设隔河一树欲知其逺不能定直角斜对树两测求之 　　法先平安矩度于一处复随定表所指横量十七丈安一矩度【如止用一矩度则记凖一处亦可】以先安矩度定表看后安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分四十九分其逰表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分十五分其逰表之斜距分为五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减为三十四分【如图戊乙】为一率先安矩度逰表之斜距分七十分【如图乙先】为二率横量十七丈【如图先后】为三率求得四率三十五丈【如图树先】即先安矩度距树之逺如求后安矩度距树则仍以三十四分为一率以后安矩度逰表之斜距分五十二分二厘【如图丁后与戊先等】为二率仍以十七丈为三率求得四率二十六丈一尺【如图树后】即后安矩度距树之逺 　　尖圆体【圆底尖堆得长圆体三分之一倚壁尖堆二分之一内角堆得圆底尖堆四分之一外角 　　堆得圆底尖堆四分之三】 　　圆底尖堆设积米一堆髙五尺底周一十四尺问该米数几何 　　法以底周十四尺用圆周求面积法求得圆面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二毫有余为尖圆堆之防面积再与髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余【为长圆体积】三归之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为圆底尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得米一十石零三升九合八勺有余即所求圆底尖堆之米数 　　倚壁尖堆设倚壁积米一堆高四尺底周六尺该米几何 　　法以底周六尺【此全圆周之半】倍之得一十二尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余【为全圆面积】折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余为倚壁尖堆之底面积再以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余【为半周长圆体积】三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余为倚壁尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得三石零五升五合七勺有余即所求倚壁尖堆之米数 　　倚壁内角堆设倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺该米几何 　　法以周一十二尺【此全圆周四分之一】四因之得四十八尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余【此全圆面积】四归之得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余为倚壁内角凖之底面积再与髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分【为长圆一角之体积】三归之得七十六尺三百九十四寸三百七十分为倚壁内角堆之积数然后以石率除之得三十石零五斗五升七合有余即所求倚壁内角堆之米数 　　倚壁外角堆设倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺该米几何 　　法以周三十三尺【此全圆周四分之三】三归四因得四十四尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二毫有余四归三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十六厘四十四毫有余为倚壁外堆之底面积再以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为倚壁外角堆之积数然后以石率除之得九十二石三升七合有余即所求倚壁外角堆之米数 　　截积 　　正方形从一边截积设正方积二百二十五尺今欲于一边截积四十五尺问截濶几何 　　法以总积二百二十五尺开平方得十五尺为正方边以十五尺除截积四十五尺得三尺即截积之濶于十五尺内减三尺余十二尺即截剰余积之濶也 　　正方形从两边截积设正方积三百六十一尺今欲截积一百六十五尺余积仍为正方形问应得边数几何 　　法以总积三百六十一尺与截积一百六十五尺相减余一百九十六尺开平方得一十四尺即截积所除之正方边 　　长方形截积设长方形一万九千二百尺长比濶多四十尺今减积二千八百八十尺问余积长濶各几何 　　法以总积一万九千二百尺用带縦平方得长一百六十尺濶一百二十尺今如欲截濶则以长一百六十尺除截积二千二百八十尺得十八尺为截积之濶于原濶一百二十尺内减十八尺余一百零二尺即截剰余积之濶如欲截长则以濶一百二十尺除截积二千二百八十尺得二十四尺为截积之濶于原长一百六十尺内减二十四尺余一百三十六尺即截剰余积之长截积 　　勾股形截上段积设股三十六尺勾二十七尺今从上段截积五十四尺问应截长濶各几何 　　法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五十四尺倍之【即甲丁与丁戊相乗之长方】为三率求得四率八十一尺开方得九尺即所截之濶【葢股与勾之比必同于甲丁丁戊相乗之长方与丁戊自乗之正方之比】再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之濶九尺为三率求得四率十二尺即所截之长 　　勾股形截下段积设股三十六尺勾二十七尺今从下段截斜方形积四百三十二尺问截长及上濶各若干 　　法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内减所得四率六百四十八尺余八十一尺开方得九尺为所截之濶再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率濶九尺与勾二十七尺相减余十八尺【如图己丙】为三率求得四率二十四尺【如图戊己与丁乙等】即所截之长或用勾股形有边求积法求得勾股积四百八十六尺内减从下段所截之斜方积四百三十二尺余五十四尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所得之濶即上濶上段之长与股三十六相减即下段所截之长 　　三角形截积算法与勾股形同【底濶如勾中长如股】 　　斜方形截上段积设两直角斜方形长二十四尺下濶二十尺上濶十二尺今从上股截积一百六十八尺该截长濶各几何 　　法以长二十四尺为一率下濶二十尺内减上濶十二尺余八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三十六尺为三率求得四率一百一十二尺再以上濶十二尺自乗得一百四十四尺与所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之濶乃以上下两濶相较减之八尺为一率长二十四尺为二率截濶与上濶相减余四尺为三率求得四率十二尺即所截之长 　　斜方形截下段积设斜方形长二十四尺上濶十二尺下濶二十尺今从下段截积二百一十六尺求截长濶 　　法以长二十四尺为一率下濶内减上濶余八尺为二率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以下濶二十尺自乗得四百尺内减所得四率一百四十四尺余二百五十六尺开方得一十六尺即所截之濶再以上下两濶较减所余之八尺为一率长二十四尺为二率下濶二十尺内减截濶十六尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截下段之长 　　梯形 　　梯形截上段积截下段积 　　法俱与斜方形同 　　上下两濶较比斜方形为二倍截积比斜方形亦为二倍故其比例皆同 　　梯形自一边截勾股积设梯形长一百二十尺上阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百五十尺求截长阔几何 　　法以长一百二十尺为一率上濶二十尺与下濶八十尺较减余六十尺折半得三十尺【如图乙戊】为二率截积四百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十五尺开方得一十五尺为所截之濶【如图乙辛】乃以半较三十尺为一率长一百二十尺为二率截濶十五尺为三率求得四率六十尺即所截之长 　　梯形自一边截斜方形积设梯形长一百二十尺上濶四十尺下濶八十尺今自一边截斜方形积四千二百尺求所截之上下濶 　　法以上濶四十尺与下濶八十尺较减余四十尺折半得二十尺为所截斜方形上濶与下濶之较又以截积 　　四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺除之得七十尺为所截斜方形上濶与下濶之和加较二十尺得九十尺折半得四十五尺即下濶减较二十尺得五十尺折半得二十五尺即上濶 　　分积 　　三角形平分面积一半仍与原形同式 　　设三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边四十二丈面积三百三十六丈今分面积一半与原形同式问所截三边各长若干 　　法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一百六十八丈为二率底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八毫为所截之底边乃以原底边为一率大腰边为二率所截底边为三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘有余即所截之大腰边又以原底边为一率小腰边为二率所截底边为三率求得四率十四丈一尺四寸二分有余即所截之小腰边○凡各形截积仍欲与原形同式者算法 　　仿此 　　圆面截弧矢形有矢求圆设圆形径一尺二寸矢濶二寸四分求长 　　甲乙为全径甲戊为矢丙丁为甲丙丁为截弧矢形 　　法以矢濶二寸四分为首率圆径一尺二寸内减矢濶二寸四分余九寸六分为末率首末率相乗得二十三寸零四分开方得四寸八分为中率【即丙戊】倍之得九寸六分为弧矢形之 　　圆面截弧矢形有求矢设圆形径一尺七寸长一尺五寸求矢濶 　　法以长一尺五寸折半得七寸五分自乗得五十六寸二十五分为长方积以圆径一尺七寸为长濶和用带縦和数开方法算之得濶四寸五分即矢形之矢弧矢形求圆径设弧矢形长一尺一寸矢濶四寸求圆径 　　法以矢濶四寸为首率长一尺二寸折半得六寸为中率以中率六寸自乗首率四寸除之得九寸为圆之截径加矢濶四寸即圆径 　　圆面截弧矢形求积 　　法用勾股八线表比例求截弧之度分随比例得所截弧背之丈尺乃自截弧至圆心作一弧背三角形以半径数与弧背之丈尺相乗得数折半为弧背三角形之面积又自圆心至作一平三角形用半径与矢相减余数为中垂线以中垂线与相乗得数折半为平三角形面积两三角形面积相减即弧矢形面积 　　又法以矢与相加以半矢乗之得数为弧矢形面积此法较前法微疎如无八线表则以此法算之并积 　　两正方形并积有边较求分积及边 　　设大小两正方积共四百一十尺大方边比小方边多六尺问分积及各边几何 　　法以共积四百一十尺加倍得八百二十尺又以两方边较六尺自乗得三十六尺与八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为两方边之和加较六尺折半得十七尺为大正方之边减较六尺折半得十一尺为小正方之边以方边各自乗得积数