御制数理精蕴 - 第 170 页/共 595 页

有一鸭卵体有一恰函鸭蛋体此两体积之比同于球体积与函球体积相比之比例也 　　有一鸭蛋体恰函于长圆体内则鸭蛋体积为得长圆体积三分之二也盖蛋体与函卵体之比同于球体与函球体之比则彼为三分之二此亦三分之二也有一长方体恰函鸭蛋体有一见方体恰函球体则长方体积与鸭蛋体积之比同于见方体积与球体积相比之比例也又长方体积与见方体积之比同于鸭蛋体积与球体积相比之比例也 　　有一球体恰函于长圆体内若将此两体俱于寅邜处 　　分之此所分球体子丙丑一段之 　　凸面积与所分相对长圆体寅巳 　　庚卯一段之周围外面积为等也 　　何则假如于癸子丑辰小长圆体内减去壬子丑小尖圆体此所减小尖圆体积为小长圆体积三分之一其所余者必是三分之二而此所分寅子丑邜曲凹体之一段周围面积与子丑线为径作相对圆之面积等矣如是则乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体与癸子丑辰小长圆体此二体之底面积髙度既等其体积亦等而乙寅子丑卯丁曲凹体之积与壬子丑小尖圆之积等矣然因何为等盖壬子丑小尖圆体所分每每圆之面积与所分相对每每曲凸体周圆之面积等也壬子丑小尖圆体积既为癸子丑辰小长圆体积三分之一又此小长圆体积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为相等则是乙寅子丑卯丁曲凹体之积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为三分之一苟于乙子丑丁球段内减去壬子丑一小尖圆体余乙子壬丑丁球体一段之积与乙寅卯丁一长圆体积为三分之二也若于乙寅卯丁长圆体内减去壬寅卯尖圆体为此乙寅卯丁长圆体三分之一余乙寅壬卯丁长圆体一段之积与乙子壬丑丁球体一段之积等也今将乙寅壬卯丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体之共底面积相乗得数为乙寅壬卯丁一段之体积数也又以此乙子壬丑丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体若以乙壬半径为髙度用三分之一与所分千万尖体之共底面积相乗得数为乙子壬丑丁一段之体积数也如前所云此乙寅壬卯丁一段体积与乙子壬丑丁一段体积既等则此两体面积亦必等而此乙丙丁半球体凸面积与乙己庚丁半长圆体周围外面积亦等若于半长圆内减去乙寅邜丁一段外面积于半球体内减去乙子丑丁一段外面积此所减之乙子丑丁一段面积与彼所减之乙寅邜丁一段面积为相等此所余子丙丑球体一段面积与彼所余寅己庚邜长圆体一段面积相等可知也有鸭蛋体一半有球体一半若全球体径度与全蛋体大径度等而半鸭蛋体髙度与半球体髙度亦等则此半蛋体外面之积与半球体外面积同于以蛋体小径度与球体径度相比之比例也理同前 　　有大小半鸭蛋体有大小半长圆体若全体之小径与全体之底径等而大小半体之髙度又等则此大小半鸭蛋体外面之积与大小半长圆体周围外面之积等也何则试作一鸭蛋体外函以球体又外函以长圆体照甲己髙度截于寅丑为长 　　三分之一则全与全半与半之比亦若三分之一与三分之一之比也是小半蛋体之外面积与小半球体外面之积之比亦若函小半蛋体外面之积与函小半球体长圆之外面积相比之比例而小半球之外面积既与函球小半长圆之外 　　面积等则小半蛋体之外面积安得不与函蛋体小半长圆之外面积等乎 　　有一鸭蛋体恰函于一球体内则以鸭蛋每段之积与相对球体每段积之比同于以鸭蛋体小径之所作正方面积与球体径度所 　　作正方面积之比也如图甲寅邜一段与相对球体甲子丑一段俱与乙丁戊己大小径线平行分为几圆面此所分蛋体每圆之面积与所分相对球体之每圆面积之比同于以乙丁小径度所作正方面积与戊己大径度所作正方面积相比之比例如是则以甲寅邜之体积与甲子丑之体积之比同于乙丁径之方面积与戊己径方面积相比之比例可知矣 　　在一直线一边立垂线法如乙丁线欲于乙边作垂线则将规矩一股任意立于甲丁线上或 　　丙处为心又以一股自乙处转作一圆则于丁乙线之甲处相交自相交丁处过丙心至相对圆界作一直线此线于戊处与圆界合自戊处至乙处作一戊乙直线即垂线也 　　分圆界为三百六十度法则照圆之辐线度分此界为六段六段分为十二段十二段各平分为三段则为三十六段三十六段各平分为五段则为 　　一　百八十段一百八十段又各平分为二段则成三百六十段矣 　　一直线上欲作一三十度角则将甲乙线照分度圆之丙丁辐线度截于戊处又以规矩一股立于甲一股自戊处旋转作一弧线乃以规矩取圆界 　　之丙庚度将弧线截于己处自己至甲作一直线即为三十度角也 　　有丁戊直线欲于丙处作平行线则以规立于丙向丁戊线作弧线如甲又以规取丙甲度立于乙向丙防平行作一弧线又照甲乙度以规立于丙向第二次所作弧线处再作一弧线则二线于己处相交自丙至乙作一直线则成平行线也 　　如甲乙线上作一四方形则以规矩立于甲作丙乙弧线又立于乙作甲丁弧线又于甲乙两头如法立甲丙乙丁垂线于丙丁二处相切又作丙丁一直线即成为四方形矣 　　如乙圆之外有甲防欲于此防作切圆线则于甲防至圆心作一直线又以乙为心 　　以甲为界作甲丙弧线又自甲乙线所割丁处作丁己垂线截外圆界于丙又自丙至乙作一直线又于丙乙线所割戊处作甲戊线则所求之切线也 　　欲知圆界内等角之角度则三角形各六十度四界形角各九十度五界形角各一百○八度六界形角各一百二十度七界形角各一百二十八度三十四分十七秒【度各六十分分各六十秒】八界形角各一百三十五度九界形角各一百四十度十界形角各一百四十四度十一界形角各一百四十七度十六分二十二秒十二界形角各一百五十度 　　作函圆多界等度之各种形法则自圆心作几辐线【三边作三线四边作四线余仿此】 　　于辐线末各作切界线引至合角则成函圆多界形也 　　作函多界俱等各种形圆法则照平分直线法作垂线引二垂线相交处为心以角为界即成函多界之圆形也 　　各形作内切圆亦照分直线法以交合处为心以边为界即是也 　　一三角形一圆形欲于此圆外作切界三角形与原有之三角形同式如图将乙丙底线引长作辛壬线即成乙丙两外角即于图作 　　与辛乙甲等之子癸戊角作与壬丙甲等之己癸子角于癸己子三辐线末作垂线引而合之即成同式形也何也盖三角形之三角相并必与两直角等今丑戊癸子四边形作戊子线分 　　为两形此四边形之四角相并必与四直角等就中减戊子原作之两直角所余癸丑两角相并亦与两直角等也又直线上内外并必与二直角等则辛乙甲外角甲乙丙内角并之必为两直角今戊癸子角既为效辛乙甲所作则戊丑子角必等甲乙丙角可知矣凖此而论则丙角必等于卯角甲角必等于寅角又可知矣若欲于圆内作切界同式三角形如图任意作与甲角等度之辛角将角逐线引至圆界作辛庚辛戊二线再自戊至 　　庚作一直线又于戊处仿乙角作戊角引线至壬切圆界再自壬至庚作直线即成同式形何也盖戊壬庚庚辛戊两形同立于戊庚之弧而 　　壬辛两角同切于圆界则两角为等因其为等此辛角原仿甲角而为比壬等于辛则亦必等于甲也又戊角乃仿乙角而为比亦必等也二角既等则庚角之等丙角可知矣 　　勾股形作容方则以直角为心勾末为界规作一象限将弧线两平分处作直线至直角分线为两于线分处作一勾垂线又作一股垂线 　　即成两直角也 　　有甲乙直线欲将此直线为正方对角线与正方边相较之所余求作一正方则以甲乙线为一边线作一小正方作甲丙小对角线又以丙为心乙为界作一圆又引甲丙线至戊作甲戊为大正方一边线作大正方即是所求之正方也何也引甲 　　乙线至己为对角线乙己之线与戊己之线等盖丙乙丙戊同为小圆之辐线则戊乙两角为等也若于丙乙己丙戊己二直角内减去乙丙戊则所余乙戊两角又等也两角既等则两边亦等而甲乙为戊己相较之余也 　　有一直线将此线为底作一两边等度而两边各一角为上一角之倍则将两头各作七十二度角两线引长相交则上角必三十六度也若以一直线为两边等度线则作一三十六度角两边如线之长而止又作一底线则下两角各七十二度也 　　若欲以一直线为五边形之一边则如前于此线之两头各作七十二度之两边等形于此形外作切角圆形再于两长边弧线度各平分 　　之则成五边形也何则丙乙弧之界角为三十六度若为心角则七十二度则丙乙弧乃得圆分之七十二度于圆分为五分之一也则于甲丙弧及甲乙弧各两分之合成五分故为五边形也 　　理分中末线将全线求大小分则将全线为一边线作一两边等度两底角与上一角各大一倍之三角形又作五边形乃自甲至乙作直 　　线截于丙处则丁戊为全丁丙为大分戊丙为小分得相连比例也盖丁甲乙戊两弧线度等则甲戊丁乙甲戊两角度必等又戊甲乙角与 　　戊丁乙角共立于乙戊弧则角度亦等也再甲戊乙与戊甲丁两角本相等若以等角内减去甲丙戊形则所余丁甲乙丁戊乙两角必等矣然则丁戊乙角原系与乙丁戊角为大一倍作者则丁戊乙角比甲戊丙戊甲丙两角为等矣其丁丙甲角因为甲丙戊之一外角与丙甲戊丙戊甲两内角为等而丁丙甲与丁甲丙两角为等矣因其等则丁甲丁丙两线为等也又丁甲甲戊两线原等其甲丁戊角必与甲乙丁角等而丁戊甲甲戊 　　丙大小两三角形内小三角形之丙甲戊角与大三角形之甲丁戊角亦等又丙戊甲之戊角与丁戊甲之戊角原系共角亦必等因大小两三角形既等是为同式则以戊丁线与甲丁线相比之比同于以戊甲线与丙戊线相比之比例而丁甲与丁丙等戊 　　甲与丁甲等亦与丁丙等则以丁戊全线与大分丁丙相比之比同于丁丙大分与丙戊小分相比之比例为相连比例也 　　欲平分甲乙一直线为数段则于甲乙末各作一直线如丙丁将丙丁各为平分作线割甲乙 　　线则甲乙线亦为平分也于是甲乙线与乙壬线之比同于甲丁线与丁己线相比之比例矣 　　又如有甲乙线于己辛两处分为三分又有丙丁一线亦欲分为三分为相比例三率则以甲乙线丙丁线为平行线自甲乙之末各分直线切丙丁线末至 　　戊相防又自辛己两处各作两线亦合于戊则丙丁线即分为三分而为甲乙线之相比例三率矣 　　有直线二率作与此相连比例三率线法如有八分 　　甲乙四分甲丙之二线求作一二分 　　之相连线则将甲丙甲乙二线合成 　　甲角又于乙末増甲丙线度为甲戊 　　线自乙至丙作一直线又于戊作乙 　　丙之平行线如戊己将甲丙线引至己处则所引丙己线度即为二分之分而为甲乙甲丙相连比例第三率也【甲乙甲丙乙戊丙己为比例四率乙戊同甲丙除去不用则甲乙与甲丙之比同扵甲丙与丙己之比也】有直线三率欲作相比例第四率线再为相比例数率线则照様作甲丙线而以甲乙线度截于乙处乃用规矩以甲为心以乙为界作一弧线而取乙丁线度一股立于乙一股交于弧线得相交之丁处遂作乙丁线又作甲戊线切丁 　　末如甲丙度长又作与乙丁平行之戊丙线其戊丙线即为第四率也盖甲丙全与甲乙段之比同于丁乙平行线与戊丙底之比比例同也若欲作相比例数率则将甲戊甲丙线引长如癸子中作平行数线分为五叚即得十相比例率也故以甲乙与甲丙之比同于丁乙与戊丙之比例甲丙与甲己之比同于戊丙与庚己之比例甲己与甲辛之比同于庚 　　己与壬辛之比例甲辛与甲癸之比同于壬辛与子癸之比例也 　　比例尺二股各有平分线分为二百余分假如有丁戊一线欲分为十分则以规矩取丁戊线度立于尺各二百分之乙丙二防将尺乙丙二处照丁戊线度开之使不移动次以规矩立于尺之第二十分之己庚二防取己庚之间度此间度即是平分丁戊线为十分之度也何也如甲乙丙三 　　角形为己庚平行线所截则甲己与甲乙之比同于己庚与乙丙之比例甲己二十分甲乙二百分为十分之一乙丙十分己庚一分亦为十分之一也 　　于比例尺作圆之诸线之总线法则自甲之合处至乙丙二末作二线于甲乙之丁处为心以甲乙两末为界作半圆而分半圆界为百八十度自甲处至所分圆界各作线而立规矩一股于甲处又以一股于戊二十度己四十度庚六十度辛八十度壬百度癸百二十度子百四十度丑百六十度等处取线度各作于甲乙甲丙两线上即为诸线度之总线也其取用之法若欲知寅角之度则以规矩一股立寅处一股任意作夘辰弧线随取寅夘辐线之度立于尺之六十度之丁未处将尺之丁未照辐线度开之勿动乃将 　　规矩取夘辰弧线之度放于尺两股所容中间何处恰好若恰容在八十度之申酉处则是现原有寅角八十度之线也何则若作丁未申酉二直线则甲申酉之三角形为平行之丁未线所截则甲丁与甲酉之比同于丁未与申酉之比也然则甲丁为六十度线甲酉为八十度线其与底平行之丁未线既与小圆辐线等所以丁未线为小圆六十度之线申酉线亦为小圆八十度之线以此知寅角夘辰度之为八十度也如此凡大小圆之辐线度安于尺之六十度处照此开之其大小圆之诸线之度俱现于两股间也【以六十度通即半径故】 　　于比例作分平面线法自甲之合处至乙丙二末作直线截甲丙线于丁处照甲丁度于甲末作甲戊垂线自戊处至所截丁处作戊丁线照戊丁线度将甲丙线截于己处自戊至己作戊己线又照戊己线度将甲丙线截于庚处自戊至庚作戊庚线照此不止作至 　　丙末又将甲乙线亦照甲丙所截截之即成分平面线也何则于甲丁戊直角三角形之三界作三正方形甲丁甲戊上方相等者也丁戊上方兼甲丁甲戊两方者也至甲己之界即丁戊之界是甲己上方比甲丁上方为大一倍甲庚方大甲丁方为二倍也由是推之甲庚方大甲己方一倍甲辛方又大甲庚方一倍如此则甲辛甲壬等界上方俱是大于甲丁界上方三倍四倍可知也苟有一癸子平面四方形欲大于此形二倍之四方形则以规矩取癸子界度立于丁处将尺照此度开之勿动次将规矩取尺庚寅处度作方即大于癸子方二倍也盖于丁丑庚寅作二线而甲庚寅之三角为丑丁平行线所分则以甲丁比甲庚若丑丁比寅庚也甲庚既大于甲丁二倍则寅庚亦大于丑丁二倍矣有二直线欲以此二线作中比例线法则将二直线相连为圆径以平分处为心以两末为界作圆形然后于二线连接处作垂线切圆界则为中比例线也 　　有二直线作中二率比例线如图将二线合为直角又引作十字线如丁与丙取矩尺庚癸二角正跨两引线上使矩尺壬辛股二处正切于甲戊之末遂作甲癸癸庚庚戊三线其所现乙癸乙庚则为中二率线 　　也盖以戊癸之丑为心戊末为界作半圆以甲庚之寅为心甲末为界作半圆则乙癸线者甲庚半圆径上之垂线为甲乙乙庚之中率也乙庚线者戊癸半圆径上之垂线 　　为乙戊乙癸之中率也则以甲乙线比乙癸线同于以乙癸线比乙庚线也以乙癸线比乙庚线同于以乙庚线比乙戊线也故曰中二率也 　　于比例尺作分体线法则于甲之合处至二股之乙丙二末作甲乙甲丙二线以规矩取丁己方体之戊己界度立于甲而截于甲乙线之庚处次作大于戊己界一倍之辛壬线依前法求得中二率为癸子丑寅二线将癸子界作见方体则此 　　体大于丁己见方体一倍也盖四线为相连比例率而戊己与辛壬为加二倍之比例则丁己卯子二体为同式而以戊己癸子各一界相比之比例为加二倍之比例也戊己辛壬二线之比因同于丁己卯子二体之比例若辛壬第四线大于戊己一倍则卯子体亦大于丁己体一倍矣次将规矩取癸子界度一股立于甲一股照此度截于甲乙线之辰处则此度所作方体大于原丁己体一倍矣再作比原丁己体之戊己界长二倍之己未线照前求中二率之申酉戌亥二线将申酉第二率线度取于规矩一股立于甲一股截甲乙线之干处则甲干界度所作方体比原丁己体为二倍可知也照此不止作大于丁己体之戊己界或三四倍或五六倍之 　　长线如前求得中二率将所求第二率度截于尺线上即成比例尺之分体线也若有一坎庚见方体欲作一大于此二倍之体则以规矩取坎庚体之艮庚界度将比例尺之所截庚处照此开之勿动次将比例尺第三所截干处之开度取于规矩即是大于坎庚体二倍之形界盖甲庚线与甲干线之比同于以庚庚与干干线之比例甲干上方大于甲庚上方二倍则干干上方必大于庚庚上方二倍可知矣又有易分之法如一面之界度长一百厘则以此界一百厘自乘再乘则此体积共乙百万厘大此一倍之体数为二百万厘其二百万厘体之一面界度为一百二十五厘又大二倍之体数为三百万厘其三百万厘体之一面界度为一百四十四厘如此累加将外界之厘数书明又将厘度分于尺寸欲书入比例尺则将所书之数以规矩取所分之度初照一百厘界度截比例尺之庚处次照一百二十五厘界度截于辰处三照一百四十四厘界度截于干处不止至末与前法所分俱为同也 　　有一直角四界形作为与此等积之正方形如图将甲乙乙丙合为一直线求得中率之丁乙线作丁戊正方形为与甲丙等积也盖相连比例三率其中率自乘之积与首率末率相乗之积等故丁己上方与甲乙乗乙丙之方等积也 　　凡有三角形知其一角之度及角两旁之界 　　度或知其二角之度及一界之度或知三界度而不知角度欲求全知法如甲乙丙三角形知丙角为三十七度角两旁丙甲界长十四丈丙乙界长十三丈则作与丙角为等之丁角亦三十七度角傍丁戊界作为十四分长丁己界作为十三分长自戊至己作直线相防与甲乙丙大形同式将戊角之度取于规矩安于分度圆界看容多少便知戊角度若干若容七十度则大形甲角之度亦为七十度矣又小形己角可知为七十三度则大形乙角亦七十三度矣再因小形戊己界分作九分可知大形甲乙界之为九丈矣余皆如此盖即小以知大举一以例余也 　　作不用比筭测髙深广逺各种三角形之仪器法先作甲乙丙半圆界分为百八十度将此半圆之丁甲丁乙丁丙三半径线每每分为一百分各作直线纵横相交防如碁局再于径线之两末作两立表安住不动又于丁心处如图作一逰表如戊己将逰表亦如半径度分为二百分再于此仪器后面挂一坠线为庚即可按线而测矣如欲测旗杆之髙则将仪器之丁心安于所立之处定准坠线 　　以甲乙径线两末之立表与旗杆癸处对准为地平穏住不动再将戊己逰表与旗杆尖之辛处相对准次量所立之丁处至旗杆癸处得若干若得四十丈则看仪器地平线上自丁心起用四十分当四十丈如子再防子处垂线与上逰表相交处得若干若得三十分如丑则旗杆之髙为三十丈也若欲测丁辛线数则防自丁至丑相交处得若干分若得五十分则相当数为五十丈也若欲测丁癸辛三角形之各角度则癸角既为直角再防圆界自乙至游表相交处得若干度为丁角度与九十度相减所余者为辛角度也 　　画地图者选戊己两处可以尽见诸形先于戊处立仪器指诸要数处看所成之数角各得几何度记之次移仪器到己处将不动表与己对准为地平亦指于诸要数处看所成之数角亦各几何度亦记之然后取一幅纸任意作一线为戊己相当线将前所测角度仿而作之一　一与前相当成数三角形其中边所有之形一一画上即成图也若将大图蹲入小图则将大图分为数正方形小图亦分为数正方形与大图相当将大图中某方形内所函之山河城渠村林依蹲而入于小图即与原大图同也　凡有多界形仿此或为大或为小之同式形方如甲乙丙丁一无法形欲减各界之半作同式形则任意自一壬处作诸对角线又任意将甲乙界之度取其半为甲乙平行线作于甲壬乙 　　壬二线之间恰容癸子处照此于对角线间作诸界之平行线则所成癸子卯己之形即是原有形每界减一半之同式小形也苟欲作大于原有之形则将对角线任意引长而照前任意加为界度与原界作平行线即成所欲作之大形也或自一角发线亦可 　　凡两数相乗者平行方数也如二三相乗为六是也三数连乗者立方数也如二三乗得六又乗以四则为四六二十四也【以上为几何原本】 　　凡一与三之比同于四与十二之比一与五之比同于十二与六十之比二之比三亦犹四之比六也六之比九也盖凡可以倍计者皆可为比例二其二而为四二其三而为六三其二而为六三其三而为九故三与九之比同于六与三十六之比【按末句有误数】 　　凡可以度尽大数之众小数相合于此加数根之一所得之总数与所度之大数等也如大数有六可以小数二三度尽若加数根一则亦六也 　　大数二十八可以小数二四七十四度尽若将二四七十四与数根之一并之则亦二十八也 　　有一比例数求与此比例相等之相连比例数法如三与五之比例求与此比例相等之相连比例几将三自因得九又三与五因得十五又五自因得二十五则此九与十五及二十五之三数为三与五比例相等之相连比例三数也三与五之比同于九与十五之比例九与十五之比同于十五与二十五之比为相连比例也又将三因九因十五因二十五得二十七及四十五与七十五又将五因二十五得一百二十五此所得二十七四十五七十五一百二十五之四数为三与五比例相等之相连比例四数同于三与五之比例也 　　凡一数除众数所除得数之比同于原众数之比也如以三归十二而得四以三归十五而得五则四与五之比若十二与十五之比也而四与十二之比同于五与十五之比也 　　有同相比例四数其首末相乗所得数与中两数相乗之得数等也有相等两方数则此纵与彼纵之比同于以彼横与此横之比也如四六相乗与三八相乗皆为二十四则以此之六比彼之八以彼之三比此之四比例为等也 　　凡以两数除一数而尽此得之两数相比若所用以归除两数之比也如四除三十六而得九六除三十六而得六则九六两数之比若六四之比也 　　凡有平加众数此众数内之凡一数若作为原数将此数以上有几位平加几次相差之数与首数并之得数为与原数等也如上所列之数若将十五作原数此十五以上有四位而众数原平加之数系三若将三之四次数而与首数三相并得十五与所作原数之数等也由此推之若于平加众数内凡减一位将所余之位数与原平加之数相乗得数与众小数内至小数相并与众数内至大数为等也假如上六数内减一数余五数将此五与平加之三相因得十五与至小数三相并得【三六九二五八一一一】　十八为与至大数相等矣 　　凡平加众数若将此数内之两数相并所得数与两傍相等隔位之他两数相并得数等也如十二与九为廿一十五与六亦廿一十八与三亦廿一也盖升愈升降愈降合降与升则但见平也 　　又将此内凡一数之两傍数相加折半即与中间数等也如十五加九为廿四折半斯得十二矣十二加六为十八折半斯得九矣十八加十二为三十折半斯得十五矣其理则前节可推也 　　又此平加众数若将首末两数相加以所有几位之位数相乗得数折半则与原有众数之总数等也如十八加三为廿一以位数六乗之得乙百二十六折半得六十三与众数之总数等也盖照前节推六数相加合成三十三今以六乗故必折半也若五位或七位之竒数理亦相同 　　凡平加之位若是竒数则以中一位之数与位数几相乗即得众数之总数也如所列以中一位一○乗位数五得五十即为众数之总数也盖首尾相加乗位数折半而得总数今中位乃首尾相加之一半故以乗位数【四七○三六一一一】总数【○五】　即为总数也 　　凡有自一每位平加二比例众竒数之总与位数自乗之得数等也如所列总数得四十九以位数七七自乗亦四十九也若一三五七九五位总数二十五以位数五自乗亦二十五也理如前节以中一位数乗位数同盖七位则七为中五位则五为中故也亦如首乗相并【一三五七九一三一一】　折半乗位数之理也 　　凡有自二每位平加二之比例众偶数以位数加一以与位数相乗即与众数之总数等也如所列位数是七加一为八以与位数七相乗为五十六即总数之数也亦即首末相加折半乗中一位之理也若位数是偶则【二四六八○二四一一一】　以位数自乗可得众数之总数也 　　凡平加比例之众数如所列以小数一与大数十一相减余十以平加数根二除之得五再加入小数一得六【一三五七九一一】　即原有之位数也 　　凡平加比例知小数及位数与平加数根而求大数法如所列知小数三知位数六知平加数根四将位数六减一余五与平加数四相因得二十加十入小数三即大数为廿三也 　　若欲知小数则亦以位数六减一余五与平加数四相因得二十以与大数十三相减余三则此三即为至小数也 　　若知小数及位数及平加数根而求知总数则先察得大数为二十三加入小数三为二十六以与位数六相乗得一百五十六折半得七十八为所求之总数也若知大数及平加数根及位数而求知总数法亦如之若知大小两数及位数求平加数根法则将三与廿三相减余二十又将位数六减一为五除之得四则此四为平加数之根也 　　若知大小两数及平加数根而求位数法则将大数与小数相减余二十以平加数四除之得五加一为六即是所求之位数也 　　若知平加之数根与位数及众位之总数而求至大至小之两数法则将总数七十八以位数六除之得十三为首末两数相加之一半又将十三加倍作廿六为首末两数相加之总数乃将位数六减一余五与平加数根四相乗得二十为至大数又将前所得之二十六与此二十相减余六为小数之加一倍数此数折半为三是所求之至小数也将三加入二十得二十三为所求之至大数也此法之理备于前矣 　　凡不等两数求一数可以度尽之法如二十与廿四相减余四又将四与二十相减余十六以十六与四相减余八以四减八则无余则此四为度尽两数之数也谓之转减亦谓之纽数 　　三边无角不可以相比例则必先求中长线以为正然后角可求也然中长线之数为正而仅有半径无角无余则其数又不可知故以勾求股之术求之除一边为则总较之术所求者勾也盖两之总之较既具于上两边矣所求者欲破下边以为两勾而得其较耳两之总乗之较以两勾之总除之必得较矣【钝角则以较除而得总】以勾较之余取其半以益较必得大勾矣存其半必得小勾矣如此则中长线之数可明而勾股相求之术可施既得勾股之数则用以与半径正余相比例而角可得矣 　　一角有角无对边数两边有边无对角数则皆不可以互求矣然此两边所对之角乃与得角合成半周度是此角之外之弧度即两角之度也但未知两角之大小何如剖分耳惟外角有平行之对角与两角之一角等度则虽其数未可知而其形可剖欲知其数者必以两角之较求之欲知两角之较者又必以两边之较例之两边有总有较半外角又有切线则可因是以求半较角矣以半较角减半外角则小边对角之度得矣其余一角则可以三隅反矣 　　三较连乗者求三角容圆之半径也○三较者三边与半总相较之余也三较连乗所得之数乃容员半径自乗又乗半总之数也故以三较连乗为中率而以半总除之则得容员半径之积数矣以积数开方则得半径矣○两数所以相合者何也盖引伸三较于一边则半总也从两边之角直剖为长线于第一较处横断作小勾即容员半径也至末总断作大勾而以容员半径乗之即二较三较相乗之数也小勾自乗比乗大勾如第一较与半总之比例则二较相乗以小勾自乗乗之亦如第一较与半总之比例