历算全书 - 第 51 页/共 206 页
然又以甲为地心而作圏周分十二宫何也曰此则借象也其法妙在作甲己线与寅乙平行何也先依寅乙线作三角形其寅甲原与申乙平行今己甲又与寅乙平行则寅甲己角与申乙寅角等度而且等势矣【寅甲线斜交于寅乙及甲己两平行线中则所作寅甲己及甲寅乙两角等寅乙线斜交于申乙及寅甲两平行线中则甲寅乙与申乙寅角亦等而寅甲己角与申乙寅不得不等矣○角之度既相等而寅乙线即原用之线也今巳甲与寅乙平行故不惟等度而且等势也】由是而自甲心作春秋分横线井箕直线即与乙心所作大圏上降娄夀星横线及冬夏至直线悉为平行而等势【横与横平行直与直平行则其势等】于是而匀分十二宫即无一不与乙心所作大圏等
十二宫既与大圏等势而寅甲己角又与大圏之申乙寅角等度等势则己甲线即指星实行度寅甲线即指星视行度而可以命其宫度不爽矣推此而辛甲为星最髙指线及作平行线于己甲实行之内一一皆真度矣
又以乙为太阳体何也曰太阳实行降娄宫度原在大圏其离降娄之度为乙角今太阳指线过乙至甲则甲角与乙角等度而乙防在次圏上【甲心所作之甪】距春分之度与大圏等【圏有大小而角度等】即太阳真度可以命之为日矣乙既命为日则次圏可命为太阳所行之天而乙心所作大圏以太阳之冲处割小圏有火星行嵗圏最近侵入太阳天内之象故遂以大圏命为星行之圏也【又寅乙甲角原为星距日冲之度与申寅乙角同而甲己既与寅乙平行甲未即甲乙之截线则己甲未角又与寅乙甲角同而己亥与嵗轮上申亢同为星距日冲之】
此一图也有嵗轮半径之数【甲乙】有火星实行视行差度【寅甲己角】有周天宫度有太阳度及火星最髙卑度又有火星行最近入太阳天内之象可谓简而该巧而妙矣非地谷精于测算神明于法不能为也
然则何以谓之借象曰以其一图而备数端故知之也何以言之甲乙者嵗轮之半径也不得与日距地心同数一也寅乙距心之线从两小轮求出而两小轮在火星本天是从乙心起算不从甲心起算二也因寅乙距心之线以得视差之角亦为乙心之角非甲心之角三也若甲真为地心则与乙太阳有距数太阳乙心所见之差角至地心必不同观四也视行实行之差角为地面实测非乙心之数不得两处悉同五也又大圏既为本天而侵入太阳天内则将为嵗轮之心若冲日之时嵗轮心既在太阳天内星又在嵗轮最近将越过地心如金水之退伏合而不得冲日矣六也由是观之此图但为借象巧算之用而非以是为真象也或者不察遂真以乙为日体则死于古人句下矣
或问五星新图亦以火星天用太阳为心而冲日之处割入太阳天内又何以説焉曰火星之行围日而能割太阳天者乃嵗轮上周行之迹耳非本天也盖火星本天在太阳之外能包太阳之天因嵗轮之行合伏时在嵗轮之顶去太阳益髙合伏以后离太阳渐逺则行于嵗轮中半与本天齐及其冲日则行嵗轮之底而在本天之内去地益近其去地益近者为日所摄也此理五星所同故土木火三星皆可为围日之象今新图五星不以地为心者是也火星则嵗轮最大冲日时稍侵入太阳之天其实嵗轮之心仍系本天在太阳天外耳七政小轮周行于天遂成不同心之圏嵗轮周行于天成围日之形一而已矣今以实数攷之火星嵗轮半径约为本天半径十之六其合伏时则两半径相加成十六冲日时两径相减只余十之四其侵入太阳天内约为一二分则太阳天半径只得火星天半径十之六有竒而火星合伏时在太阳上约为十分冲日时在太阳下亦约十分而成围日之形矣是故以日为心者嵗轮上星行之轨迹也非本天也【图见下】
火星嵗轮上轨迹围日之图 【土木二星因嵗轮之度而成围日之形与此同理但其天更大而嵗轮小故不致侵入余里之天】
丁庚寅辛为太阳天 戊癸己壬为火星本天甲丑嵗轮以戊为心 丙子嵗轮以己为心
丁为日体 甲丙皆星体
甲癸丙壬为嵗轮上星行轨迹成一大圈而以丁日为心
星天日天各有小轮髙卑其本天则皆以地为心星在嵗轮甲为合伏而去地极逺 星在丙为冲日冲日之时庚丙辛割入太阳天庚寅辛之内而去地极近
星在嵗轮丙时已割入日天然嵗轮心则在本天已若如众説以割入日天内者为本天则冲日时当以丙为嵗轮心矣而星在嵗轮之上又当向日岂不越地心乙而过之乎必不然矣
切线法解在后
火星次均解 【火星次均用切线求嵗轮上视差角乃三角法也】
欲明火星次均用切线之法当先明三角形用切线之法
甲夘乙三角形有甲钝角一百五十度有甲乙邉六十有甲夘邉一百整求夘角
法曰以甲角减半周得余三十度为癸甲乙外角 半之得十五度为丙甲辛角 其切线辛癸【二六七九五】并甲乙【六十】甲夘【一百】共得丙夘一百六十为首率【总数】 以甲乙减甲夘余得辰夘四十为二率【较数】 半外角之切线辛癸为三率 二率乗三率为实首率为法除之得辛夘【六六九八】为四率即辛甲壬减之切线也 以四率查切线表得三度五十分弱为辛甲壬减角 以所得辛甲壬减角三度五十分减半外角十五度余壬甲丙角十一度一十分即夘角也
今以火星言之丙乙辰圏则嵗轮也甲为嵗轮之心丙甲辰夘过心线即星实行度分也
夘为本天之心 甲夘者距心线也【即表中距日数】 甲丙甲乙甲辰皆嵗轮半径也【即表中半径合日差而成星数也】
先以前均求到星之实行在甲矣然此嵗轮之心而非星也星则自丙合伏顺行过辰冲日而渐近合伏其体在乙则丙辰乙为星在嵗轮上行之度【与星距太阳实行之度相等】即相距度也
乙丙则距余度半之为辛丙则距余半也 乙辰为星巳过冲日之度则甲角度也
今已知嵗轮心实行之度又已知星在嵗轮上行之度所不知者视差角耳盖自本天心夘作实行线过甲心至黄道又从夘作视行线过乙星体至黄道其差为夘角是故求次均者求此夘角也
用上法以距日【即距心】为一邉【甲夘】以星数为一邉【甲乙】以星行过冲日之度【即乙辰】为一角【甲角】成甲夘乙三角形依上法得夘角即次均也
一率 距日与星数之总【即甲夘并甲乙亦即甲丙】二率 星数减距日之较【即辰夘】
三率 距余半之切线【即半夘角之切线辛癸盖乙甲丙角为距余即乙甲夘角之余度半之为辛甲丙角即距余半】
四率 减之正切线【即辛壬其角为辛甲壬】
末于辛甲丙【距余半角】内减去辛甲壬【减角】余成壬甲癸角与夘角等得视差之度如所求
既知三角形用切线之法尤当进而明其所以用切线之理
如后图乙甲夘三角形 甲角一百五十度 甲乙邉六十甲夘邉一百 两邉之总一百六十为首率两邉之较四十为次率 甲角之余角半之求切
线为三率【即率癸】 求得四率为半较角之切线辛壬求其度以减半余角得夘角
何以用切线也曰此分角法也凡外角【乙甲丙为乙甲夘之余角亦为外角】内兼有形内余两角之度【乙甲丙外角兼有夘角及甲乙夘角之度】试作壬甲线与乙夘平行分外角为两则壬甲丙角如
夘角矣【以壬申及乙夘皆平行线而丙甲夘未一直线故其作角必等】
外总角内减去同夘角之壬甲丙角则其余壬甲乙角必为甲乙夘角矣
今但有外角为总角而不知其分角故以比例分之而切线则其比例也
又试作乙丙线为外角之通又从乙作正线至丁为乙甲壬大角之正从丙作正线至戊为壬甲丙小角之正而通遇壬甲分角线于子成乙子及子丙两线此大小两线之比例与大小两角之正比例等何也乙子丁勾股形与丙子戊勾股形以子为交角则相似而乙子【大】与子丙【小】若乙丁【大股】与丙戊【小股】矣
又甲夘大邉与甲乙小邉原若所对之大角正【乙角】及小角【夘角】正【凡三角形邉之比例与对角正之比例皆等】即乙丁与丙戊也【角同则正同】则甲夘与甲乙亦若乙子与子丙矣
又试作辛甲线分外角为两平分而各作切线为辛癸为辛己【即半外角之切线】则两切线聨为一【己癸】而与乙丙平行又引壬子线割之则分为二线而己壬与壬癸之比例若乙子与子丙亦若甲夘与甲乙矣
又作庚甲线使庚己如壬癸则庚壬为两线之较己癸为两线之总
而甲乙甲夘两邉之较为辰夘其总为丙夘
甲夘大邉与甲乙小邉之比例既若大线【己壬】与小线【壬癸】则两邉之总与较亦必若两线之总与较矣
一率 丙夘【即甲乙甲夘两边之总】
二率 辰夘【即两邉之较】
三率 己癸【即己壬壬癸两线之总】
四率 庚壬【即两线之较】 今各半之
辛癸半总【即半外角辛甲癸之切线】
辛壬半较【即半较角辛甲壬之切线】
既得辛壬切线查表得其角度即半较角也以半较角减【辛甲癸】半外角即半角也
若以半较角加【乙甲辛】半外角亦即甲乙夘角矣
火星测算本法图説【明厯书之倒算】
嵗圏半径【六四七三八】甲乙
查加减表八宫十九度【四十分】 半径数【六四○八七三】太阳引数星纪二十三度加六宫为六宫二十三度日差【一○一六】相并得【六四一八八】为星数与所测防差
若用实引得半径【六四四二五】其数益相近
距心数【九九六九七】寅乙
平引八宫一十九度【四十二分二十秒】
加均数 一十度【三十三分三十秒】
实引九宫初度【一十五分五十秒】
查加减表八宫一十九度【四十分】距日【九九七○一】所差不多若用实引则距心【一○一六七四】差稍大然按图用乙寅线宜用实引