历算全书 - 第 182 页/共 206 页

论曰己乙即丙乙与乙丁之中率而丙乙旣为乙丁全径之小分则己乙即大分也而甲乙亦为大分　甲丁亦为小分矣若自甲作甲戊必与己乙甲乙等而其形正方 　　半浑圆内容立方 　　法以乙甲圆径自乘之幂取其六之一开方得容方根【丙丁方丙戊边】 　　论曰试倍甲丙乙庚半浑圆为全浑圆体亦倍丙丁正方形作丙己长立方形亦必能容矣然则丙己线在长 　　立方形之内为斜线者亦即 　　浑圆之径也【与甲乙径等】 　　试于长立方面作戊己斜 　　则己壬为之句戊壬为之股 　　而戊己幂内有己壬幂与 　　戊壬幂矣 　　而丙己线为则戊己又为 　　股丙戊又为句而丙己自幂内又兼有戊己幂及丙戊幂矣【丙戊亦即己壬】 　　又戊壬为己壬【即丙戊亦即戊癸】之四倍则戊壬股幂内有己壬句幂四合之为戊己幂则戊己幂内有己壬幂五矣 　　而丙己幂内复兼有戊己股幂及丙戊句幂是丙己幂内有丙戊幂六也丙己旣同圆径则取其幂六之一开方必丙戊容方边矣 　　立方内容十二等面其内又容立方【此相容比例】 　　立圆内容十二等面其内又 　　容立方此立方之面幂为外 　　圆径上面幂三之一而立方 　　之各角即同十二等面角以切于立圆之面 　　法以外切浑圆径上幂取三之一为十二等面内小立方幂平方开之得小立方根根乘幂见积 　　又简法以十二等面之面幂求其横剖之大线此线即 　　十二等面内容小方之边 　　如图作甲乙线剖一面为二 　　此线在面中最大即为内小 　　立方根以此自乘而三之即 　　小立方外切浑圆径幂 　　凡立方内容二十等面二十等面内又容浑圆圆内又容小立方此小立方之各角能同浑圆之切点以切于二十等面之平面心 　　法以内容浑圆径之幂取三 　　之一为内小立方之幂平方 　　开之得切点相距即小立方 　　根以根乘幂见积 　　简法取内容浑圆之内小立方边求其理分中末之大分为内容十二等面边 　　又简法如前求得二十等面内容十二等面之一面乃求其横剖之大线即二十等面内容小立方之根　以根自乘而三之即二十等面内容浑圆之径幂　开方得根即内容浑圆径　折半为分体之中髙 　　此二十等面之面作三分之 　　一横剖 　　此十二等面之面在二十等 　　面内 　　此五等面边即前横线所成 　　凡五等边平面其边即七十二度之通横剖大线即一百四十四度之通各折半为正可以径求一率　　三十六度正 　　二率　　七十二度正 　　三率　　五等边之一边 　　四率　　横剖之大线 　　凡十二等面体与二十等面体可互相容而不穷十二等面体有二十尖二十等面体有十二尖其各尖之相距必均其互相容也皆能以其在内之尖切在外各面之中心而徧 　　凡二十等面内容立圆仍可以容二十等面 　　二十等面内容立圆仍可以容十二等面 　　甲心乙　乙心丙　丙心丁 　　丁心戊　戊心甲　皆二十 　　等面之一面其各三边皆等 　　各以庚辛壬癸己为其面之 　　心若内容十二等面体则十二等面之各尖必切于庚辛壬癸己等心点 　　今求内容十二等面之边则必以庚辛等心点聮为直线即成五等边面之边而与十二等面之形相似而可 　　以相容矣 　　法当以边【如甲戊】半之【如甲辰】作 　　对心垂线【如辰心】成心辰甲句 　　股形既得己卯倍之为己庚即内容十二等面之一边二十等面体内容十二等面之图 　　第一图原形如五面扁锥心 　　尖鋭起甲心戊等三等边平 　　面凡五共辏而成一心尖乃 　　二十等面四之一 　　其己庚辛壬癸五点皆三等边平面之中心亦即内容十二等面之棱尖所切故必先求此点 　　简法曰以甲戊边半之于辰作辰心对角斜垂线又以心甲心戊各取三分之二为心子心丑乃聮子丑为线与甲戊边平行与辰心垂线十字交于己点则己点即甲心戊平面之心再从子至午作与边平行线线之半即庚点余三面尽如此作平行线则辛点在午未线壬点在未酉线癸点在酉丑线但半之皆得心矣 　　第二图剖形是五等边平面 　　因前图所作子丑等平行线 　　横剖之去其中髙之尖成子 　　午未酉丑五等邉平面此平 　　面之心点在前图心顶之内 　　惟子丑等邉线是原形所作平行线在体外可见余皆以剖而成乃从各角作线至心如子心等分形为五皆平面三角形而心子等线皆小于子丑邉因子己原邉及子心丑角求得心己垂线及子心对角线 　　第三图正用之形即内容十二等面之一面 　　因前第二图各平分其邉得 　　己庚辛壬癸五点即原形之 　　平面心又聮此点作己庚等 　　直线则成此形以此形为内容十二等面之一面则己庚等五点为十二等面之鋭角而皆切二十等靣之平面心矣 　　求己庚线法因心子对角线及心己垂线子己原半边得己卯倍之为己庚 　　第一图 　　设二十等面边一百　甲戊等五边甲心等五辏顶线并同　则子心六十六【六六】　子丑平行线同　皆为原边三之二　心己斜垂线五十七【七三五○】　为心辰斜垂线三之二 　　以上用第一图乃斜立面也 　　第二图 　　子己半边三十三【三三】　子心对角线五十六【七○九九】己心垂线四十五【八七九二】 　　法为全数与五十四度之割线【一七○一三○】若子己边与子心也子己乘割线以全数十万而一得子心 　　又全数与五十四之切线【一三七六三八】若子己边与己心也子己乘切线以全数十万而一得己心　凡全数除降五位 　　第三图　仍从第二图生 　　己庚等两平面心相距线五十三【五八一六】　其半己卯二十六【七九○八】 　　法为子心对角线与己子半边若己垂线与己卯也倍己卯得己庚 　　求得二十等面边一百　内容十二等面其边五十三【五八一六】 　　防法但用法聮两平面之中心点即为内容十二等面之边　两平面心相聮为直线之图 　　乙心甲及戊心甲两等边平 　　三角面以甲心边为同用之 　　边而甲心隆起如屋之山 　　两平面之中心为己为庚聮 　　为己庚线与甲心为十字然 　　不相切何也甲心既隆起 　　则甲心折半之卯在己庚折 　　半之栁点上其距为卯栁 　　试侧视之则甲心戊面变为 　　戊卯线甲心乙面变为卯乙 　　线而甲卯心线变为卯点己 　　庚点在平面原近甲心点为 　　卯戊卯乙三之一则卯栁之距亦为垂线三之一矣二十等面从腰横剖之图 　　凡二十等面体其面之边皆