历算全书 - 第 178 页/共 206 页

小圎分大圎分两形并之【共四亿四千九百一十六万六六六六】为撱形全积 　　另求撱形全积 　　置短径【七百】自乗得【四十九万】以长径【一千四百】乗之得【六亿八千六百万】以十一因之二十一除之得【三亿五千九百三十三万三三三】为真撱圎全积 　　以真撱圎积与两截形并相较其差为九十分之一而弱 　　若用厯书法　求得截小分【二千三百六十八万七千五百尺】与小圎角同 　　截大分【六亿○六百三十七万五千】为大圎角之六倍 　　相并得【六亿四千○○六万二千五百尺】为撱圎全积　与撱圎真积相较其差更甚 　　如是辗转推求则知撱体大截分不可算今别立法凡撱体皆先如法求其全积再如法求其小分截积以小分截积减全积余为大分截积此法无可存 　　厯算全书卷五十六 　　几何补编自序 　　天学初函内有几何原本六卷止于测面其七卷以后未经译出葢利氏既歾徐李云亡遂无有任此者耳然厯书中往往有杂引之处读者或未之详也壬申春月偶见馆童屈为灯诧其为有法之形【其制以六圈成一灯每圈匀为六折并周天六十度之通故知其为有法之形而可以求其比例然测量诸书皆未言及】乃覆取测量全义量体诸率实攷其作法根源【法皆自楞剖至心即皆成锥体以求其分积则总积可知】以补原书之未备而原书二十等面体之算向固疑其有误者今乃徴其实数【测量全义设二十等面体之边一百则其容积五十二万三八○九今以法求之得容积二百一十八万一八二八相差四倍】又几何原本理分中末线亦得其用法【几何原本理分中末线但有求作之法而莫知所用今依法求得十二等面及二十等面之体积因得其各体中棱线及辏心对角诸线之比例乂两体互相容及两体与立方立圆诸体相容各比例并以理分中末线为法乃知此线原非徒设】则西人之术固了不异人意也爰命之曰几何补编 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷五十七 　　宣城梅文鼎撰 　　防何补编卷一 　　四等面形算法 　　先算平三角形平三角形 　　三边同者求中得中长线 　　【乙甲】其三之一即内容平圆 　　半径【心甲】其三之二即外切 　　圆之半径【乙心或心丙】 　　又法以边半之【丙甲】自乘得数【丙庚方】取其三之一开方【甲壬小方】得容圆之半径【壬癸或甲癸俱与心甲等】又取自乘数【丙庚方】三分加一【丙庚方加壬甲小方】并而开方得外切圆之半径【丙心】 　　论曰三边角等则半边之角六十度【丙心甲角】其余角三十度【心丙甲角】内容圆半径为三十度之正【心甲】外切圆半径如全数【丙心】其比例为一与二故内容圆半径【心甲】正得外切圆半径【丙心】之半也【此论可解前一条】 　　形内丙心甲与乙心丁两小句股形相等又并与乙甲丙大句股形相似【何则乙角丙角并分原等角之半丁甲等为正角则三角皆等而边之比例等】而大形之句【丙甲】旣为其【乙丙】之半则小形之句【心丁亦即心甲】自必各为其【心乙亦即心丙】之半故知心甲【原同心丁】为乙甲之半也 　　心甲旣为心丙之半则心甲一心丙必二而丙戊必三矣【乙甲同】何也以乙心与丙心同为二心甲与心戊同为一也联心乙二与心甲一岂不成三 　　今以内圆半径为股【心甲】外圆半径为【心丙】三边之半为句【丙甲】成心甲丙句股形则心丙自乘内【幂】有心甲【股幂】及甲丙【句幂】两自乘之积也而心甲股与心丙旣为一与二之比例则心甲之幂一心丙之幂必四也以心甲股幂一减心丙幂四其余积三即丙甲句幂矣故心甲之幂一则丙甲之幂三心丙之幂四今先得边故以丙甲三为主而取其三之一为心甲股幂又于丙甲三加三之一为四即成心丙幂也【此论可解后一条】 　　以上俱明三等边平面之比例 　　今作四面等体求其心 　　法自乙顶向子向甲剖切之成乙子甲三角面 　　心者面之心中者体之心 　　前图所谓心者面之心也今 　　所求者体之心即后图所谓 　　中也故必以剖而后见 　　次求甲丑线 　　乙子边平分于丑从丑向甲 　　得垂线此丑甲垂线在体中 　　必小于乙甲在外之垂线故 　　乙甲如丑甲如股乙丑如句也法以甲乙自乘内减乙丑句幂余为股幂开方得丑甲 　　又法凖前论乙丑之幂三【即丙甲皆半边故】则乙甲之幂九【乙甲三倍大于心甲故心甲幂一则乙甲幂九】以三减九余六亦即甲丑股幂矣以开方得甲丑 　　捷法倍原半边【甲丙】自乘数以开方得【甲乙】中垂线　或半原边【丙己】自乘之数开方亦得【甲丑】　丙甲之幂三【乙丑同】则甲丑之幂六而丙己之幂十二也【甲丑与丙己幂积之比例为一与二】次求心中线 　　捷法但半心甲自乘即心中幂 　　论曰心甲与心中犹甲丑与乙丑也甲丑幂与乙丑幂为六与三则心甲与心中之幂亦如二与一 　　又捷法心中之幂一心甲之幂二则乙丑之幂六【即丙甲】而心丙之幂八【亦即乙心】俱倍数 　　但以半边【乙丑或丙甲】之幂取六之一即心中幂开方得心中即四等面形内容小浑圆之半径也【心中线者即各面之心至体心也故为内容小浑圆半径】 　　以心中之幂一【句】加乙心之幂八【股】并之为幂九开方得中乙【或中子或用前总图则为甲丙为甲己并同】是即四等面形外切浑圆之半径也外切圆之幂九【中乙】内切圆之幂一【心中】得其根之比例为三与一故四等面形内容浑圆之径一则其外切浑圆之径三又捷法但以乙丑半边之幂加五【即二之一】为中乙【或中子等】幂开方得外切圆之半径【葢乙丑之幂六中乙之幂九其比例为一有半也】 　　此四边不等形【又为三角立锥形】为 　　四等面形四之一各自中切 　　至边线成此形其底三边等 　　即四等面形之一面其髙为中心即内容小浑圆之半径其中乙等三楞线三倍大于中心之髙即外切浑圆之半径 　　取四等面形全积捷法 　　先取面幂【即前图乙己丙平面依前比例求其幂】以内容圆半径【心中】乘之得数四因三归见积 　　法曰丙甲半边之幂三则甲乙中长之幂九开方得中长【乙甲】以乘丙甲得乙己丙三等边之幂积即四等面形之一面也 　　次求本积四之一【即各面辏心剖裂之形如右图】 　　丙申半边之幂六则中心之幂一开方得中心髙以乗所得面幂而三分取其一即为四等面形四之一于是四乗之即为全积也 　　又防法以丙甲乗心甲又以中心乗之即得本形四之一【即同三除以心甲为乙甲三之一故也】 　　此带纵小立方形与右图四等面形四之一等积 　　又防法以丙己全边【亦即丙乙】乗 　　乙心再以中心乗即得本形 　　全积【乙心为心甲之倍数丙己为丙甲之倍数用以】 　　【相乗则得丙甲乗心甲之四倍数也】 　　边设一百 　　依上法求容 　　丙己边一百其幂一万丙甲半边五 　　十其幂二千五百三因之得七千五百 　　为乙甲中垂之幂【丙甲股幂减丙己幂得句幂也丙己亦即丙乙】　平方开之得八十六【六○二五】为乙甲其三之一得二十八【八六七五】为心甲　其三之二得五十七【七三五○】为心乙　又置丙甲幂二千五百取六之一为心中幂得四百一十六六六不尽　开方得心中之髙二十零四一二四亦即内容浑圆之半径 　　依上法以丙己全边一百乘乙心五十七【七三五○】得五千七百七十三半　又以心中二十零【四一二四】乘之得全积一十一万七千八百五十一弱【与厯书微不同】 　　四等面体求心捷法 　　准前论心中幂一则心甲幂 　　二中乙幂九乙丑幂六以句 　　股法考之则中甲与中丑之幂俱三也 　　何也心中甲句股形以中甲为故心中句幂一心甲股幂二并之为中甲幂三也而乙中丑句股形以中丑为句故乙中幂九内减乙丑股幂六其余为中丑句幂亦三也 　　由是徴之则中丑与中甲正相等但如法求得甲丑线折半得中防即为体心 　　又捷法取乙丑幂【即原设边折半自乗】半之为中丑幂开方得中丑亦得甲中【或乙子全边自乘取八之一为甲中幂亦同】 　　中丑即原边乙子距体心之度甲中即原边丙己距体心之度而中为体心 　　想甲防在丙己边折半之处今从侧立观之则线化为防 　　而丙己与甲成一防故从丙 　　己原边依楞直剖至乙子对 　　边即成甲丑线其线即所剖 　　面之侧立形 　　此图即前图甲丑线所切之