历算全书 - 第 177 页/共 206 页

所成也然则以子寅小半径乗子 　　未癸小半周又以乙寅半半径为 　　髙乗之而取其三之一即小角体矣 　　试又于中腰鼓体从丑子及卯寅 　　及辰癸诸立线周遭直切之脱去 　　其外鼓凸形即成员柱体之外周 　　截竹形又从酉乙申横切之为两 　　【一仰盂一覆碗】则此覆碗体举一式为例 　　可直切断而伸之亦可成方角体 　　此体以乙寅半半径乗子未癸午 　　小员全周为底【其形长方】又以小半径 　　子寅【子寅即乙申】为髙而乗之取三之 　　一为长方角体此长方角体必倍 　　大于小员角体何也两法并以小 　　半径及半半径两次连乗取三之 　　一成角体而所乗者一为小员全 　　周一为小员半周故倍大无疑 　　也 　　又丙癸寅子亦可成角体与乙子 　　寅癸等覆碗体既倍大则兼此两 　　角体矣 　　凖此而论仰盂体必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑两角体亦无疑也 　　又角体内既切去一小角体又穵 　　去一相同之小角体则所余者为 　　丙癸寅子员底仰盂体 　　鼓体内既穵去如截竹之体则所 　　余者为内平【如丑子及辰癸】外凸【如子戊丑及辰 　　丁癸】之空圈体而此体必倍大于员 　　底仰盂体何以知之盖两体并以 　　半径为平面【丑子与癸丙并同】并以员周 　　六之一为凸面而腰鼓之平面以 　　半径循员周行员底仰盂之平面则以半径自心旋转周行者两头全用旋转者在心之一头不动而只用一头则只得其半矣故决其为倍大也 　　凖此而甲丑卯辰亦为穵空之员覆碗体而只得鼓体之半矣由是言之则上下角体各得中腰鼓体之半而鼓体倍大于角形浑体平分为四夫复何疑 　　曰浑体四分如此真无纎芥之疑体既均分为四则其浑体外幂亦匀分为四亦无可复疑但何以知此所分四分之一必与径上平员相等耶曰此易明也凡割浑员一分而求其幂法皆从其所切平面员心作立线至凸面心而以其髙为股员面心至邉之半径为勾勾股求其斜用为半径以作平员即与所割圎体之凸面等幂假如前圗所论上下两角体从丑夘辰横线切之则以甲夘为股夘丑为句求得甲丑与半径同以作平员与丑夘辰甲凸面等然则此角体之凸面岂不与径上平员等幂乎 　　甲亢半径与甲丑同以作丑 　　亢平员与甲丑夘辰凸面等 　　幂 　　试又作甲戊线为半径之斜线【甲乙与戊乙皆半径为句为股故也】以为半径而作平员必倍大于半径所作之平员而浑员半幂与之等则浑员半幂不又为平员之倍乎 　　【如图甲丑为半径作乙庚房平员与丙戊甲平员等亦与甲辰夘丑 　　割员凸面等为浑幂四之一也】 　　【甲戊为半径作戊心亥平员与甲丁乙戊半浑幂等而倍大于乙庚 　　房亦倍大于丙戊甲平员则平员居浑幂四之一】 　　如是宛转相求无不脗合则平员为浑员幂四之一信矣取浑幂四之一法 　　当以半径为通以一端抵圎径之端为心旋而防之则所割浑幂为四之一而其浑幂与圎径上平员幂等 　　甲辰【即丁乙】之自幂一百辰夘之自 　　乗幂【七十五】如四与三则辰丑通 　　为径以作平员亦丁戊全径上平 　　员四分之三也大小两平员各为 　　底以半径为髙而作员角体其比 　　例亦四与三也 　　今浑员径上平员【即下戊径上平员】所作之员角体既为浑积四之一则辰丑通径所作之员角体即浑体十六之三矣【即甲丑夘辰角体及乙丑夘辰角体之合】若以丑辰通上平员为底半半径为髙而作角体即浑体三十二之三 　　分浑体为四又法 　　甲乙丙浑员体　从员周分为三【一丑甲辰一辰癸丙一丙子丑各得周三之一】又从辰从丙从丑依各半径【辰乙丙乙丑乙皆是】至乙心旋而 　　切之则成三角体者三各得浑体 　　四之一【一辰甲丑乙一丑子丙乙一丙癸辰乙说见前】则 　　其所余亦浑体四之一也【此余形有三平 　　员面以辰丑丑丙辰丙为员径而并穵空至乙心如员锥之幂有两】 　　【凸面以辰丑丑丙辰丙之员周为界以乙为顶皆弧三角形三角并锐】两凸面各得浑员幂八之一按辰丑即一百二十度通也凖前论以此通为圎径作平员为底半半径为髙而成员角体此员角体积即为浑员体积三十二分之三【即先所论员角体八之三】 　　若依此切浑员体成半平半凸之体其积为浑积三十二之五【即员角体八之五】 　　环堵形面幂　锥形面幂 　　有正方正员面欲于周作立围之堵墙而幂积与之倍法于方面取半径为髙即得 　　甲乙丙平方于其周作立起之 　　方围形如环堵取平方乙丙半 　　径为髙则方围面幂倍大于平方 　　论曰从平方心乙对角分平方为四成四三角形并以方根为底半径为髙于是以此四三角形立起令乙锐上指则皆以乙丙半径为髙而各面皆半幂故求平方以半径乗周得幂也然则依方周作方墙而以半径为髙岂不倍大于平方幂乎 　　凖此论之凡六等邉八等邉以至六十四等邉虽至多邉之面而从其各周作墙各以其半径为髙则其幂皆倍于各平幂矣然则平员者多邉之极也若于其周作立圈如环而以其半径为髙则环形幂积亦必倍大于平员有方锥员锥于其周作围墙而幂积与之倍 　　法于锥形之各斜面取其至锐之中线【如乙丙】以为环墙之髙即得 　　方墙如环堵底用方周髙如乙 　　丙即斜面自锐至底之斜立中 　　线 　　解曰此以锥体之斜面较幂也 　　论曰凡方锥皆有棱两棱交于锐各成三角面而斜立从此斜立之三角面自锐至根濶处平分之得中线【乙丙】于是自棱剖之成四三角面而植之则中线直指天顶而各面皆圭形为半幂故凡锥体亦可以中线乗半周得幂也然则于底周作方墙而以中线为髙四面补成全幂岂不倍大乎 　　凖此论之凡五棱六棱以上至多棱多面之锥体尽然矣而员锥者多棱多面之极也则以其斜立线为髙而自其根作员环则其员环之幂亦必倍大于员锥之幂前条所论切浑员之算得此益明盖员仰盂员覆碗及穵空之鼓形其体皆一凸面一平面相合而成其凸面弧径皆割浑员圈六之一其平面之濶皆半径然而不同者其内面穵空之平幂一为锥形【仰盂覆碗之内空如笠】一为环形也【鼓体之内空如截竹】准前论穵空之环幂必倍大于锥形之幂则其所负之割浑员体亦必环形所负倍大于锥形而穵空之鼓体必能兼员覆碗员仰盂之二体 　　撱圎算法【订厯书之误】 　　偶查撱圎求体法见其截小分之法有误今以数考之假如撱圎形长径为一千四百尺短径七百尺大分截长径一千○五十尺 　　甲己三百五十戊乙七百相并得 　　一千○五十　以此乗 　　己乙一千○五十尺　以此除 　　两数相同 　　右依厯书先求得庚壬甲圎角形为苐三率再用截大分轴己乙为法为苐一率以截小分轴甲己并戊乙半长径为苐二率求得小分之容与圎角形等夫小分之容形外为弧线圎角之容形外为直线小分必大于圎角而今等是不合也况自此而截小分渐小则乙己大分轴反大于甲己小轴及戊乙并之数而求小分之容反将更小于圎角矣有是理哉【小分渐小如辛癸甲则其甲己小于己戊而己乙者己戊与戊乙并也则其数亦大于甲己与戊乙并矣】 　　又如截大分长七百二十分己乙 　　为其轴甲己为其小分轴六百八 　　十分 　　依厯书法甲己小分轴【六百八十】为一率甲乙长径【一千四百】并戊乙短径【七百】共【二十一百】为二率求到庚壬乙圎角体为三率则所得四率为大分之容者比圎角容大三倍有竒亦恐无是理也何也圎角在圎柱形为三分之一而撱形必小于柱形不宜有三倍之比例也【虽壬庚畧小于丙丁在中腰相近可以不论】今试求之【用苐一圗】依勿庵改法 　　假如截己乙大分轴一千○五十尺求庚己壬平圎面法先求庚己　依勿庵补法以己戊【三百五十尺】自乗【一十二万二千五百尺】与甲戊【七百尺】自乗【四十九万尺】相减余【三十六万七千五百尺】开方得己庚相当之原数　再以丙戊【三百五十尺】乗之甲戊【七百尺】除之为己庚实数倍之为庚壬线 　　再以壬庚线上方变为平员今用简法【因长径甲乙与短径丙丁原是折半之比例故也】竟以减余【三十六万七千五百尺】命为庚壬线上方以十一乗之得【四百○四万二千五百尺】又以十四除之得【二十八万八千七百五十尺】为庚壬线上所截撱体之平圎面 　　法以平圎面各乗其【大分小分】之轴【一千○五十尺三百五十尺】皆成圎柱形乃三除之为【大小】分内所容之【大小】圎角形 　　再以长径【一千四百尺】乗大圎角为实小轴【三百五十尺】除之为所截撱形之大分 　　以长径【一千四百尺】乗小圎角为实大轴【一千○五十尺】除之为所截撱形之小分 　　今用简法　置平圎面三除之得【九万六千二百五十尺】以小分轴【三百五十】乗之得庚甲壬小圎角形【三千三百六十八万七千五百尺】置小圎角四因三除之得【四千四百九十一万六千六百六十六又三之二】为所截小圎分 　　又置圎面三除之积【九六二五○】以大分轴【一千○五十尺】乗之得庚子乙大圎角形【一亿○一百○六万二千五百尺】 　　置圎角形【一○一○六二五○○】用四因之得【四亿○四百二十五万尺】为所截大圎分