历算全书 - 第 180 页/共 206 页

方对角斜线即为外切浑圆 　　全径 　　立方面之斜一百即立方内容四等面之边 　　立方体对角斜线一百二十二【四七四四】即立方外切浑圆之全径亦即四等面外切浑圆全径半之得六十一【二三七三】即立方外切浑圆半径亦即立方体心至各角之线亦即四等面体心至各角之线 　　八等面形图注 　　第一合形 　　甲丁　甲丙　甲己　甲戊 　　丁丙　丙己　己戊　戊丁 　　戊乙　己乙　丁乙　丙乙 　　以上形外之楞凡十有二即根 　　数也其长皆等 　　或设一百为一楞之数则十二楞皆一百也 　　甲丁戊　甲戊己　甲己丙　甲丙丁　丙丁乙己丙乙　戊己乙　丁戊乙 　　以上形周之分面凡八皆等边平三角形也其容积其边皆等 　　或设一百为边数则三边皆一百而形周之分面八皆三边边皆一百也 　　第二横切形【二】 　　甲丁丙己戊为上半俯形 　　丁丙己戊乙为下半仰形 　　右二形各得合形之半皆从 　　丁戊楞横剖至己丙 　　一俯一仰皆方锥扁形丁丙 　　己戊为方锥之底其边皆等 　　其从四角凑至顶之楞皆与 　　底之边等 　　第三直切形【四】 　　从甲尖依前后楞直剖过丁 　　己至乙尖成左右两形 　　从甲尖依左右楞直剖过丙 　　戊至乙尖成前后两形 　　此四形者一切皆与仰俯二 　　形同但彼为眠坐之体故为 　　方锥【仰者即倒卓方锥】而此则立体即如打倒方锥之形也第四横切之面一直切之面二 　　因横剖得正方平面在立方锥以此 　　为底倒方锥以此为面在合形则为 　　腰围其己丁及丙戊两对角斜线相 　　交于心即两直切之界也【心即合形中心】因直剖得斜立方面二其己丁及戊 　　丙横对角线即横切之界其从甲至 　　乙垂线即直剖之界如立面在前后 　　互剖之形则此线为左右直剖之界 　　彼此互为之也亦即为全形之中髙 　　径线 　　以此知八等面之中髙线为方斜之 　　比例 　　第五分形 　　因横剖及两直剖分总形为八皆 　　三角锥形也 　　皆以等边平三角形面为锥形之 　　底而以横直剖线相交处之点为 　　其锐顶即合形之中心也 　　其自顶心至角之楞皆等皆边线 　　之方斜比例也【底线为方则此线为其斜之半】而 　　此楞线又即为八等面形之外切 　　圆之半径 　　设己戊边一百其幂一万则心戊 　　楞之幂五千【倍戊庚半边之幂为半斜幂也】戊心之幂五千内减戊庚幂二千 　　五百则其余二千五百为心庚之 　　幂故心庚必与戊庚等 　　从心顶对己庚楞直剖至庚分形为两则其中剖处成三角平面 　　己庚者乙己戊等边三角平面之 　　中垂线也其幂为边四之三设边 　　一百之幂一万则己庚之幂七千 　　五百 　　庚辛者平面三角容圆之半径也得己庚三之一其幂则九之一也己庚之幂七千五百则庚辛之幂八百三十三【三三】辛防即各三角平面之中心 　　以庚辛幂八百三十三【三三】减心庚幂二千五百得心辛幂一千六百六十六开方为心辛即分形之中髙也求得分形中髙四十○【八二四七】 　　依平面三等边法设边一百其中长线八十六【六○二五】其幂积得四千三百三十○【一二五○】　取平幂三之一得一千四百四十三【三七五○】以乘中髙得分形积五万八千九百二十五【三五一三】　再以八因之得总积四十七万一千四百○二【八一○四】与总算合 　　设八等面之边一百其幂一○○○○即横剖中腰之正方　半之为每角辏心之线之幂得○五○○○此线即分形自底角辏顶心之楞【如心戊心己心乙】又为八等面形外切浑圆之半径　又半之为分形每面自顶至边斜垂线之幂【即心庚】得○二五○○此线即设边之半其幂为设边四之一 　　设半边之幂取其三之二为分形中髙线之幂【即心辛】得○一六六六不尽又为八等面形内容浑圆之半径防法取八等面设边之幂六而一为八分体中髙之幂开方得中髙 　　假如设边一百其幂一万则分体中髙之幂一千六百六十六不尽　求其根得四十○【八二四八】　以中髙乘三角平面幂三除之得分体八因之得全积 　　又捷法八等面设边之幂取三之二为体内容浑圆之径幂开方得内容浑圆径折半为八分体中髙 　　假如设边一百其幂一万则内容浑圆之径幂六千六百六十六不尽　求其根得八十一【六四九六】　折半为分体中髙 　　或竟以内容浑圆全径乘设面三角平幂四因三除之得全积 　　又捷法　此方斜之比例 　　八等面设边之幂倍之为体外切圆径幂开方得径以乘设边之幂【即腰广平方】得数三归见积 　　假如设边一百其幂一万其斜如之幂倍方幂得二万求其根得一百四十一【四二一三】　以乘腰广一万得一百四十一万四千二百一十三　三除之得总积四十七万一千四百○四 　　一系　八等面体之边上幂与其外切浑圆之径上幂 　　其比例为一与二【方斜比例】 　　一系　八等面体之边上幂与其内容浑圆之径上幂 　　其比例为三与二 　　一系　八等面体外切浑圆之径上幂与其内容浑圆之径上幂　其比例为三与一 　　准此而知八等面内容浑圆浑圆内又容八等面其浑圆外切之八等面边或径上幂与内容之八等面边或径上幂其比例亦必为三与一也 　　计开 　　八等面形诸数 　　设边一百　其积四十七万一四○四【与厯书所差甚微】其体外切浑圆之径一百四十一【内外两浑圆之径幂为三与一其根约为四与七而强】体内容浑圆之八十一 　　八等面外切立方径一百四十一【方斜比例也与外切浑圆同】八等面内容立方径四十七 　　内外切大小立方之径之比例为三与一 　　内外两立方之积之比例为二十七与一 　　若浑圆内容立方立方内容八等面体八等面体内又容浑圆则大小两浑圆之径亦若三与一其积亦若二十七与一 　　一率　　四七一四○四　　例容 　　二率　　一○○○○○○　例边之立方 　　三率　　一○○○○○○　设积 　　四率　　二一二一三二二　设边之立积 　　开立方得根一百二十八为公积一百万之八等面根【与比例规解合】 　　防何补编卷二 　　二十等面形自腰切之成十等边平面