历算全书 - 第 173 页/共 206 页

解曰乙丙首率半径也丙辛正为次率其弧丙寅丑戊正为三率其弧丙丑丙丑既与丙辰同则以丙丑【三率之弧也】加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧而辰卯则总弧之余也以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧而丑癸则存弧之余两余相减其较为子丑【子癸同辰卯故以子癸减癸丑得较子丑】子丑折半于壬而壬丑与壬子皆同戊巳是为所求之四率也 　　如此以量法代算法的确不易但细数难分耳 　　若以酉丙为过象限之大弧丙丑为小弧则酉丑为总弧其正丑丁余丑癸【即丁乙】 　　酉辰为存弧其正辰午余辰卯【即子癸】算法略同但先所用者存弧之正小于总弧今则总弧正小于存弧正大则余小正小则余反大加减之用以小从大其理无二故其图可通用也 　　又按壬丑即初得数也两正相乗以半径除之者也乙亥即次得数也两余相乗以半径除之者也今改用加减则以两弧相并为总弧而相较之余为存弧存总两余相加减而半之成初得数省两正乗矣又以初得数去减余成次得数省两余乗矣 　　两余加减例 　　凡总存二弧俱在象限内或俱出象限外则两余相减　若存弧在象限内总弧在象限外则两余相加 　　初得数减余弧例 　　凡存弧之正小于总弧即用存弧之余在位以初得数减之余为次得数　若总弧之正小于存弧即用总弧之余在位以初得数减之余为次得数盖 　　小者余大其余内 　　皆兼有初得次得两数详 　　见环中黍尺 　　甲寅象限弧　乙丙半径 　　为首率 　　丙寅弧之正【丙辛】为次率 　　丙丑弧之正丑戊为三 　　率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】 　　求得戊巳为四率【丑壬壬子并同】 　　以上皆与前图同 　　论曰凖前论丙辛乙句股形与丑壬戊句股形相似法为乙丙与丙辛若丑戊与丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】 　　解曰乙丙首率半径全数也丙辛正为次率其弧丙寅丑戊正为三率其弧丙丑而丙丑【三率】即丙辰以加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧而辰卯亦总弧之余也以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧而丑癸则亦存弧之余也两余相加成子丑【子癸同辰卯皆总弧余】子丑折半于壬而壬丑同壬子亦同戊巳则所求之四率也 　　厯算全书卷五十四 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷五十五 　　宣城梅文鼎撰 　　解八线割圆之根 　　八线割圆説 　　天体至圆最中一防为心过心直线为径圆面诸圏为弧弧与径古用径一围三之比例【有宻术徽术各家不同】然终非弧度之真葢圆为曲线径为直线两者为异类亘古无相通之率夫日月星辰之道皆弧线也人目测视之线皆直线也苟非由直线以得曲线纵推算极精皆非确数于推歩测量诸用所关甚钜其可畧欤西儒几何等书别立数法求得弧与径相凖之率更以逐度之弧准逐度之线内用矢外用割切于是始则因弧而求线继则因线而知弧交互推求虽分秒之弧度尽得其准立法之善即首商髙复生无以易也苐割圆八线表虽乆传于世而立法之根未得専书剖晰大测中如十边五边形之理皆缺焉弗讲薛青州作正解亦仅依式推衍未能有所发明予于厯算生平癖嗜凡有奥义必欲直穷其所以然而后快窃思割圆八线乃厯算之本源岂可习焉不察因反覆抽绎耿耿于心者数年积思之乆乃得渐次防通遂着其图衍其算理之隠赜者明之法之缺畧者补之防而成帙以备好学者之采择云尔 　　立表之根有七 　　一大圆中止有径线初无边角可寻乃作者慿空结撰求得七弧之通而全割圆表即从此推出又絶无假借纽合之病割圆之巧孰有加于是焉 　　表根一　圆内作六等邉切形求得六十度之通法曰六十度之通与圈之半径等作表时命为十万亦曰全数 　　解曰如图辛为心作甲丙丁圈甲丁为全径辛丁为半径次取丁为心辛为界作戊庚辛圈与原圈相交于丙于戊次引长丁辛线至庚必平分丙戊弧于丁亦平分戊丙弧于辛【以丁为戊庚圈心故】次作辛丙丙丁丁戊戊辛四线成丁辛丙丁辛戊二形必皆三邉等三角形何则丁为 　　心辛为界则丁辛与丁丙皆 　　为戊庚圏之半径仍用辛丁 　　为度辛为心丁为界则辛丁 　　又为甲己圈之半径辛丙亦 　　同则辛丁丁丙辛丙三线俱等而辛丁丙为三邉等形丁辛丙三角俱自相等每角六十度夫辛角在心者也则丙丁弧为六十度丙丁即六十度之通与辛丁半径等矣丁戊辛形仿此 　　次以丙辛引至己戊辛引至乙其甲辛己乙辛甲交角俱与丙辛丁戊辛丁角等角等弧亦等即平分大圈为六分次作丙丁等六线相连成六等邉内切形等邉等角葢乙辛己丙辛戊两交角之弧既当六分圈之四则中间己戊乙丙二弧亦必各为六分圈之一故成六等邉形皆以半径为邉此天地自然之数也 　　表根二　圈内作四等邉切形求得九十度之通法曰半径上方形倍之开方得九十度之通 　　解曰圈内四等邉切形即内切 　　直角方形也　如图甲癸丁圏 　　庚为心作丁癸全径又作甲己 　　全径与丁癸十字相交为凑心 　　四直角即平分大圆为四分每分九十度次作甲癸己癸己丁甲丁四线相连成四邉等形其切圏之甲丁己癸四角俱为直角【以各角俱乗半圈故】所容之癸甲丁己为正方形甲癸等为九十度之通用甲庚癸直角形甲庚半径上方与庚癸半径上方并开方得甲癸句股求术也 　　巳上二根并仍厯书之旧 　　表根三　圈内作十等邉切形用理分中末线求得三十六度之通 　　法曰圏径上作理分中末线其大分为十邉等形之一邉即三十六度之通今欲明十邉形之理先解理分 　　中末线欲明理分中末线先解方形 　　及矩形 　　一解曰凡正方形内【如乙庚戊丙方】依一角 　　复作正方形【如丁庚方】以小方之各邉引长之如甲午辛壬即分元方戊庚为四分小方之各邉与大方之各邉俱两两平行其与小方丁庚相对之丁戊形亦必正方形左右所截之午壬甲辛二形必皆矩形而恒自相等一解曰任设一线如甲戊两平分之于乙又任引长之为戊庚【长短不论】其全线甲庚偕引长线戊庚【即子庚】矩内形 　　【甲子矩】及半元线甲乙【癸丑等】上 　　方形【癸辛方】并成子丑壬甲磬 　　折形此形与半元线【乙戊】偕引 　　长线乙庚上之乙丙方形等 　　何则乙庚上方乙丙与磬折形子丑壬甲共用乙子矩形今试以此两率各试去乙子矩形两所余为乙壬矩及丑丙矩夫此两矩形邉各相等【辛丙与乙辛等辛丑与壬辛亦等以壬丑为正方故】其幂亦必等则于乙子形加丑丙得乙丙方于乙子形加乙壬得子甲壬磬折形亦无不等矣　又己辛亦正方形以相对之己庚为正方故己辛方与壬丑方亦等以同在甲庚癸子两平行线内又甲乙乙戊相等故也分中末线 　　解理分中末线　明上二图可论理分中末线矣法曰如图任作甲戊线两平分于乙以甲戊线自之作戊卯方从乙平分处向丁作乙丁线次以甲戊引至庚令乙庚与乙丁等于乙庚上作乙丙方又取庚子与戊庚等作癸子线分戊丁于己则戊己为戊丁元线之大分己丁为小分戊己丁己戊丁三线成连比例戊丁与戊己若戊己与己丁而戊己为中 　　解曰依上二图之论甲庚线偕戊庚矩形及乙戊【即甲乙】上方形并与乙庚上方等今乙庚线既令与乙丁等则 　　乙丁上方亦与乙庚上方等是 　　甲庚偕戊庚矩形及乙戊上方 　　并与乙丁上方等而乙丁上方 　　与乙戊丁戊上两方之并等此 　　二率者共用乙戊上方试以此二率各减去乙戊上方则所存之戊卯方与甲子矩形必等矣夫戊卯方既与甲子矩等又共用甲己矩形试各减去甲己矩形则所存戊子方与卯巳矩形必等矣卯巳与戊子两矩形既等又以巳直角相连则两形之邉为互相似之比例癸己与巳子若戊己与己丁夫癸己即戊丁也则戊丁与戊己若戊己与己丁为连比例而戊己为中率戊己上方【二三率】与戊丁【一率】偕己丁【四率】矩形等戊丁全线为首率戊己大分为中率减戊丁【甲戊同】存己丁小分为末率葢理分中末线云者于一直线上作连比例之谓也求之法以所设甲戊半于乙为句甲戊为股【即戊丁】求乙丁即乙庚也减乙戊句存戊庚即戊己大分减戊丁元线存己丁小分 　　又甲戊引长线止于庚者欲令乙庚等乙丁也若不为连比例戊庚可任意引长之如前二图之论然理分中末线法实从二图之理推出其关键全在乙庚乙丁二线等也 　　解理分中末线大分为三十六度之通　观上诸论可明理分中末线之法然何以知其大分能为十等邉形之一边如图任作甲乙线用上法分之于内为理分中末线甲乙与甲丙若甲丙与丙乙甲丙其大分丙乙其小分次用甲乙全线为半径甲为心乙为界作圏又从乙作乙丁合圏线令与甲丙等末从圏心作甲丁线相连其甲乙甲丁两半径等即甲丙丁为两腰等三角形夫此三角形其腰间之甲乙丁甲丁乙二角必各倍大于底上甲角何则试从丙作丙丁线于甲丙丁角形外作甲丙丁外切圏其甲乙偕乙丙矩内直角形与甲丙上方形等【因连比例等】亦即与至规外之乙丁上方等而乙丁切小圏于丁为切线即乙丁切线偕丁丙线所作乙丁丙角与负丁甲丙圏分之甲角交互相等【见几何三巻三 　　十二】此二率者每加一丙丁 　　甲角即甲丁乙全角与丙 　　甲丁丙丁甲两角并等夫 　　乙丙丁外角与丁甲相对 　　之内两角并等即乙丙丁 　　角与甲丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与乙丁两线亦等夫乙丁原与甲丙等即丙丁与丙甲亦等因丙甲丁丙丁甲两角亦等又甲角既与乙丁丙角等即乙丁丙甲丁丙两角亦相等是甲丁乙倍大于丙丁甲亦即倍大于相等之丙甲丁角也而甲乙邉与甲丁等则甲乙丁角亦倍大于甲角也 　　次解曰丙丁乙角何以知其与丙甲丁角交互相等试作未丁全径与乙丁为直角又作未丙线成未丙丁直角夫丙未丁丙丁未二角并与一直角等乙丁未亦一直角此二率者各减去未丁丙角所存丙丁乙丙未丁二角必等夫丙未丁负圏角也丙甲丁亦负圏角也同负丙丁弧则丙甲丁角与丙未丁角等夫未角与丙丁乙角等也今既与丙甲丁等则丙甲丁角亦必与丙丁乙角等 　　依上论显甲乙丁形之乙丁二角俱倍大于底上甲角形内之丙丁乙形与甲乙丁原形相似其丙乙二角亦倍大于乙丁丙角乙丁丙丁甲丙三线俱等夫甲丁乙形之甲乙丁三角并等两直角今乙丁二角既倍大于甲角是合乙甲丁角而为五分两直角矣则乙甲丁角该五分两直角之一为三十六度夫五分两直角之一与十分四直角【全周】之一等则乙甲丁角或乙丁弧即十分圏之一分乙甲丁甲又各为半径则乙丁即十等边形之一边夫乙丁与丙丁等丙丁与甲丙等则甲丙与乙丁亦等而甲丙即理分中末线之大分故圏径上作理分中末线其大分为三十六度之通 　　圏内作十等边切形法　先依上作甲丁乙两腰等三角形以甲乙甲丁各引至圏界为乙己丁戊其己戊弧与乙丁等次以戊乙弧半于庚作乙庚戊庚二线各半之于辛于壬又作癸丑子寅卯庚诸线俱过甲心各抵圏界即平分大圆为十分末作戊己等十线相连即所求十边形之理据厯书见几何十三卷九题而几何六卷巳后之书未经翻译不可得见考之他书未有发明其义者余特作此解之 　　表根四　圈内作五等邉内切形求得七十二度之通法曰六邉形上方形及十邉形上方形并开方得七十二度通 　　解内切五等邉形法　法曰甲乙丁圈于圈内作甲丙 　　丁两腰等乗圈角形令腰间丙丁 　　二角各倍大于甲角即甲角所乗 　　之丙丁弧为全圈五分之一何则 　　甲丙丁形之三角并等两直角今丙丁二角既各倍大于甲角则甲角为五分两直角之一又甲为乗圈角所乗之丙丁弧必更倍大于甲角之度为全圏五之一矣【七十二度】夫丙于二角又倍大于甲角则其所乗甲丙甲丁二弧亦必倍大于丙丁为全圈五分之二即作丙戊丁乙二线平分丙丁二角亦平分甲丁甲丙二弧分大圈为五平分丙丁线即五等邉之一末作丁戊等四线相连成五等邉内切形等邉等角　此系歴书原法新増作五等邉形法 　　甲庚壬平圆内作五邉等形法任作 　　切圆直线如子丑切平圆于甲乃以 　　切防甲为心任作半圈如子寅丑次 　　匀分半圆周为五平分如子辰等次 　　从半圆上取五平分之各防作直线至切防甲此直线必过半圆周【如甲辰线必过庚寅甲线必过戊余仿此】末于平圆内联各防作通即成五等邉形【庚甲乙甲本为通补作戊庚丁戊乙丁三线并与庚甲乙甲 　　等皆七十二度通也】