历算全书 - 第 129 页/共 206 页
若异倂者尤为易见何也凡异并者正与负并也正与负并则如一物矣故重列之际必以一行为主而定其名【或为正或为负或变和数则无正负】若但守初名而不知所变将一物而名之正又名之负乎必不然矣兼此数端知正负之交变出于自然非强名也【不知正负之变亦不知和较之变矣故又有竒减偶加之误也】
今以诸书所载同加异减例考定如左
假如以牛二羊五作价易猪十三剰价五两以牛一猪一易羊三适足以羊六猪八易牛五不足三两问价各若干
畣曰牛价六两 羊价二两五钱 猪价一两五钱
列所问数
先以右行牛正二遍乗中左两行得数【中右首位同名故正负不变右左首位异名故变左行之正负以从右亦为以少从多】
次以中行牛正一遍乗右行皆得原数 乃以中右两得数对减 牛各正二同名减尽 羊异名【右正五中负六】并得十一猪异名【右负十三中正二】并得十五 价无减【右正五两中适足】仍得五两 于是分正负以价与羊为同名而重列之【羊右正中负猪右负中正故仍为较数价与羊同为正于右行故仍为同名】次以左行牛负五遍乗右行得数【左行既变以从右则右行不变仍其正负】乃以左右两得数对减 牛各正十同名减尽羊异名【右正廿五左负十二】并得三十七 猪同名【右负六十五左负一十六】减余四十九【在右】 价同名减【右正二十五两左正六两】余十九两【亦在右】 于是亦分正负亦以价与羊同名而重列之 羊与余猪原分正负于右故仍为较数价与羊同为正于右故同名
列两减余
如法以两正羊遍乗得数 乃对减 羊同减尽猪同减余十六为法 价同减余二十四两为实法除实得一两五钱为猪价 以猪十五价二十二两五钱异加正价五两【共二十七两五钱】羊十一除之得二两五钱为羊价 任于原列中行羊三价七两五钱内减猪价一两五钱余六两为牛价
论曰凡列正负可以任意呼之要在知下价之于正负孰为同名耳若乗后得数则其首列一位必以同名而相减故正负有时变而其价之正负从之变矣故同异加减必以乗后得数而定也如此所列左右行先为一正一负异名之价而乗后得数必为同名之价何也两价皆与牛同名而牛在首列得数必同名故也若以羊更置首列则两价得数必异名何也价与羊于右同名而于左异名也
试更列之于后
上 中上 中下 下
如法以中行羊与左右两行互遍乗得数相减 羊同减皆尽 右中牛异并三十七 猪异并一百十八 价异并四十五两【价与牛同名】中左牛同减余九猪异并三十 价九两无减【与牛同名】
乃以两减余各分正负而重列之
如法以牛互遍乗而变左行之正负以相从 牛同减尽 猪同减余四十八为法 价同减余七十二两为实 法除实得猪价以次得牛羊价合问 试又更之
如法以中行猪与左右两行互遍乗得数相减 猪同减皆尽右中羊异并一百十八【右负中正】 牛同减余四十九【余负在中】 价同减余一两【余负在右】 分正负【以价与羊同名】 左中羊异并三十【中正而左负】 牛异并十三【中负左正】 价三两无减【中之负数】亦分正负【以价与牛同名】 皆重列之
如法互乗羊同减尽牛同减余六十四两为法价异并三百八十四两为实法除实得牛价六两以次得羊价猪价
论曰反覆求之皆同减异加别无他术可见古人立法之简快竒减偶加辨
方程立法只同名相减异名相加尽之【和数有减无并皆同名也较数有减有倂或同名或异名也和较交变故减并相生】不论二色三色四色乃至多色皆一法也今诸书不察偶见瓜梨一例有竒减偶加之形不得其觧遂执为四色之定法而不知通变使方程一章之法为徒法而莫可施用深可惜也故覼缕辨之今将梨一问考定如后
假如有二梨四共价四十文又梨二榴七共价四十文榴四桃七共价三十文一桃八共二十四文问各价几何畣曰八文 梨六文 榴四文 桃二文
法以和数列位 依四色有空以省算法求之
惟甲丁两行有如四色故先以相乗 减尽甲梨四丁桃十六皆无减 价余八文 分正负【梨甲桃丁故也】以价与桃同名【同在丁行故也】 减尽矣而余行皆无则只三色故径以减余之数与乙行相对
如法互乗 梨同减尽 榴二十八【左正】桃三十二【右负】皆无减价异并一百七十六文【右负左正】
隔行之异名乃同名也以和数列之不分正负又以余行无梨则只二色径以减余与丙行列之【于后】
如法乗减榴减尽余桃六十八为法价一百三十六文为实法除实得桃价二文 以丙行桃七价十四文减共三十文余十六文悉榴价也榴四除之得榴价四文 以乙行榴七价二十八文减共四十二文悉梨价也梨二除之得梨价六文 以甲行梨四共二十四文减共四十文除十六文悉价也二除之得价八文
论曰此和数变为较数而较数复变和数也何以言之初次减余价八文乃桃多于梨之价故曰变为较数也【桃十六价三十二文梨四价二十四文差八文】何以知之余数分在两行也【桃十六在丁行梨四在甲行】何以知桃多于梨桃与价同在丁行故同名也然所用分正负者是甲丁两行之减余非但以丁行空位而立负也又因乙丙位皆空故用此减余径与乙行相对是省二算也乃径求也非专用丁行为主也减余较也乙行和也一和一较故有异名相并而非以偶行故加也
若第二次减余则复是和数何也其相并一百七十六文乃桃榴之共价【桃三十二价六十四文榴二十八价一百十二文共此数】而非其较数故曰复变和数也何以知之桃与榴虽分余于两行而异名然隔行之异名乃同名也【乙行榴正价亦正减余桃负价亦负兼而用之变为同名矣】至于立负之非此尤易见盖既变和数无正负矣虽两遇空而无减岂得谓之立负乎又因丙行梨亦空故径用减余与之对减是又省一算非以丁行对丙行也而顾曰立负榴于丁行误之误矣减余变和丙行相对是两和也故有减而无并也而岂以竒行之故而减也乎哉 今试以甲丁之行易之则加减全非矣
如法以甲丁行对乗减尽 桃十六【甲】梨四【丁】皆无减 价相减余八文【甲】 乃分正负以价与桃同名而重列之与乙行相对
如法乗 桃同减尽 榴六十四【左正】梨二十八【右负】皆无减 价同减余四百二十四文 依前论隔行之异名即同名也不分正负而重列之与丙行相对
如法减榴 余梨六十八为法 四百○八文为实法除实得梨价六文以次得诸物价皆如前
论曰此但更其前后之行耳而价皆同减无异并可见竒减偶加之非通法矣 又试以上下之位而更之
如法以甲丁先乗减去梨尽 余榴二十八【甲】四【丁】皆无减 价相减余八十文【甲】依前论分正负以价与榴同名而重列之与乙行相对
如法乗减榴尽 余桃一百九十六【左正】一十六【右负】皆无减 价相减余五百二十文【左正】依前论复变和数不分正负而径与丙行重列之
如法减桃 余六十八为法 价五百四十四文为实 法除实得价八文以次得诸物价皆如前
论曰此亦有同减无异加固不以竒偶之行而有别也若以甲丁减余更置之则亦有异并之用如后图
论曰此下价何以倂异名故也何以异名凡一和一较方程在和数行者其得必与较首位同名故其较数之价与首位同名者则亦与和价同名也其与首位异名者与和价亦异名也
先用丙行何也以有故可与余相减亦可见行次之非定也 理之不定乃其一定凡事尽然泥一端以定之转不定矣
又论曰此亦复变为和数也何以知之正榴正价皆右负桃负价皆左以之并为一行则无正负矣盖隔行
如法减桃 余榴六十八为法 价二百七十二文为实 法除实得榴价四文以次得诸物价皆如前
论曰兼此数端知加减非闗行数矣
统宗歌曰四色方程实可夸湏存末位作根芽若遇竒行湏减价偶行之价要相加诸书仍讹又推而至于五色六色皆云以末位为主而自首行以往皆与之加减至其所以加减者又皆以行之竒偶如一行三行五行竒数也则价与末行减二行四行偶数也则价与末行加而不言同异名将竒行者皆同名乎偶行者皆异名乎未可必也不知彼所设问各行逓空两位势必挨列虽云四色乃四色之有空者耳非四色之本法也【省算卷辨之极详可以互发】既挨列矣余行之首一色皆空不湏乗减惟末行首行相对可以互乗非用末行乃用上一色相对之行耳使上一色不空者在中二行而末行反空又当以中行先用矣虽欲以末行为主得乎
至于第二次重列而乗减者乃用首行末行相减之余也非専用末行也葢两行相减乃生余数若谓之用末行亦可云用首行矣
又因各行多空故径以减余与次行乗减得数又径以减余与三行乗减乃省算之法于末行毫不相渉也
且方程之行次非有定也其前后可以互居左右中可以相易亦何从而定之为末行乎末行无定矣又安有竒偶之可言乎而以是为加减之定法乎
然则恶乎定曰详和较以列减余别同异以定加减苟其和数也虽空无减不立正负也苟其较数也虽无空位分正负也此列减余之法也但同名者不论何行皆减但异名者不论何位皆加此定加减之法也如是而已
法实辨
算家法实皆生于问者之所求如有总物若干总价若干而问每物若干价则是以物为法价为实也或问每银一两得若干物则是以价为法以物为实也诸算尽然则方程可知矣算海説详曰中余为法除下实盖本统宗然其説非也同文算指曰以少除多其説亦非也何以明之曰方程法实犹诸算之法实也故必于问者之所求详之中下多少非可执也
假如和数方程有物若干又物若干共价若干是物之位在上中而价之位在下也若问每物之价而以物为法银为实是中除下也固也或问每银一两之物而以银为法物为实又当以下除中矣不知问者之所求以物求价乎以价求物乎愚故曰中下难执也
又物之价值莫可等计有贱于银之物以一两而得数千百斤有贵于银之物以数十百金而得一物假如有贵物若干又若干共价若干是物之数少而银之数多也而问每物之价谓之以少除多似也若问每银之物不又当以多除少乎又如有贱物若干又若干共价若干是物之数多而银之数少也而问每银物若干谓以少除多可也若问每物价若干不且以多除少乎惟以多除少故有不满法之实实不满法故有以法命之如云每银一两于物得几分之几者是也其物多除银少者则有退除为钱若分厘故曰多少难拘也
多少中下既不足以定法实则法实安定曰亦惟于问意详之而已 今具例如后
论曰方程法实只是以下一位与上中数位相湏为用耳故有实一而法二其三色者则有实一而法三若以下除中者则有法一而实二或法一而实三故用互乗之法以减之及其用也则只是一法一实而已二色者互乗而对减其一则一法一实也三色者对减其一又对减其一亦一法一实也四色五色其法悉同此方程立法之原也
问河工方九百尺以当筑城八百尺城多一工以河工七百二十尺当城工七百尺城多二工问每工一日若干尺
畣曰河工每日六十尺 城工每日五十尺
如法乗减 余城工五万四千尺为实 工一千○八十为法法除实得每工五十尺为城工每日之数以城工五十尺除右行八百尺得十六工同减负一工余十五工以除河工九百尺得每工六十尺为河工每日之数