九章算术 - 第 20 页/共 23 页

〔言上禾五秉之实多，减其一斗一升，余，是与下禾七秉相当数也。故互其算，令相折除，以一斗一升为差。为差者，上禾之余实也。〕 　　次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术入之。 　　〔按：正负之术，本设列行，物程之数不限多少，必令与实上下相次，而以每行各自为率。然而或减或益，同行异位，殊为二品，各自并、减，之差见于下也。〕 　　今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉；下禾一十五秉，损实五升，当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实八升。下禾一秉实三升。 　　术曰：如方程。置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次，上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。以正负术入之。 　　〔言上禾六秉之实多，减损其一斗八升，余是与下禾十秉相当之数。故亦互其算，而以一斗八升为差实。差实者，上禾之余实。〕 　　今有上禾三秉，益实六斗，当下禾一十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实八斗。下禾一秉实三斗。 　　术曰：如方程。置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负。以正负术入之。 　　〔言上禾三秉之实少，益其六斗，然后于下禾十秉相当也。故亦互其算，而以六斗为差实。差实者，下禾之余实。〕 　　今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？答曰：牛一直金一两二十一分两之一十三。羊一直金二十一分两之二十。 　　术曰：如方程。 　　〔假令为同齐，头位为牛，当相乘。右行定，更置牛十，羊四，直金二十两；左行：牛十，羊二十五，直金四十两。牛数等同，金多二十两者，羊差二十一使之然也。以少行减多行，则牛数尽，惟羊与直金之数见，可得而知也。以小推大，虽四五行不异也。〕 　　今有卖牛二，羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三，豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊，八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？答曰牛价一千二百。羊价五百。豕价三百。 　　术曰：如方程。置牛二，羊五正，豕一十三负，余钱数正；次，牛三正，羊九负，豕三正；次五牛负，六羊正，八豕正，不足钱负。以正负术入之。 　　〔此中行买、卖相折，钱适足，故但互买卖算而已。故下无钱直也。设欲以此行如方程法，先令二牛遍乘中行，而以右行直除之。是故终于下实虚缺矣。故注曰正无实负，负无实正，方为类也。方将以别实加适足之数与实物作实。 　　盈不足章“黄金白银”与此相当。“假令黄金九，白银一十一，称之重适等。 　　交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？”与此同。〕 　　今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并雀、燕重一斤。问雀、燕一枚各重几何？答曰：雀重一两一十九分两之一十三。 　　燕重一两一十九分两之五。 　　术曰：如方程。交易质之，各重八两。 　　〔此四雀一燕与一雀五燕衡适平，并重一斤，故各八两。列两行程数。左行头位其数有一者，令右行遍除。亦可令于左行而取其法、实于左。左行数多，以右行取其数。左头位减尽，中、下位算当燕与实。右行不动。左上空，中法，下实，即每枚当重宜可知也。按：此四雀一燕与一雀五燕其重等，是三雀、四燕重相当。雀率重四，燕率重三也。诸再程之率皆可异术求也，即其数也。〕 　　今有甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。 　　问甲、乙持钱各几何？答曰：甲持三十七钱半。乙持二十五钱。 　　术曰：如方程。损益之。 　　〔此问者言一甲，半乙而五十；太半甲，一乙亦五十也。各以分母乘其全，内子。行定：二甲，一乙而钱一百；二甲，三乙而钱一百五十。于是乃如方程。 　　诸物有分者放此。〕 　　今有二马，一牛，价过一万，如半马之价；一马，二牛，价不满一万，如半牛之价。问牛、马价各几何？答曰：马价五千四百五十四钱一十一分钱之六。牛价一千八百一十八钱一十一分钱之二。 　　术曰：如方程。损益之。 　　〔此一马半与一牛价直一万也，二牛半与一马亦直一万也。一马半与一牛直钱一万，通分内子，右行为三马，二牛，直钱二万。二牛半与一马直钱一万，通分内子，左行为二马，五牛，直钱二万也。〕 　　今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何？答曰：武马一匹力引二十二石七分石之六。中马一匹力引一十七石七分石之一。下马一匹力引五石七分石之五。 　　术曰：如方程。各置所借，以正负术入之。 　　今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠。乙三绠不足，以丙一绠；丙四绠不足，以丁一绠；丁五绠不足，以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？答曰：井深七丈二尺一寸。甲绠长二丈六尺五寸。乙绠长一丈九尺一寸。丙绠长一丈四尺八寸。丁绠长一丈二尺九寸。戊绠长七尺六寸。 　　术曰：如方程。以正负术入之。 　　〔此率初如方程为之，名各一逮井。其后，法得七百二十一，实七十六，是为七百二十一绠而七十六逮井，并用逮之数。以法除实者，而戊一绠逮井之数定，逮七百二十一分之七十六。是故七百二十一为井深，七十六为戊绠之长，举率以言之。〕 　　今有白禾二步，青禾三步，黄禾四步，黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄，青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。问白、青、黄、黑禾实一步各几何？答曰：白禾一步实一百一十一分斗之三十三。青禾一步实一百一十一分斗之二十八。黄禾一步实一百一十一分斗之一十七。黑禾一步实一百一十一分斗之一十。 　　术曰：如方程。各置所取，以正负术入之。 　　今有甲禾二秉，乙禾三秉，丙禾四秉，重皆过于石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。问甲、乙、丙禾一秉各重几何？答曰：甲禾一秉重二十三分石之一十七。乙禾一秉重二十三分石之一十一。丙禾一秉重二十三分石之一十。 　　术曰：如方程。置重过于石之物为负。 　　〔此问者言甲禾二秉之重过于一石也。其过者何云？如乙一秉重矣。互其算，令相折除，而一以石为之差实。差实者，如甲禾余实。故置算相与同也。〕 　　以正负术入之。 　　〔此入，头位异名相除者，正无入正之，负无入负之也。〕 　　今有令一人，吏五人，从者一十人，食鸡一十；令一十人，吏一人，从者五人，食鸡八；令五人，吏一十人，从者一人，食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几何？答曰令一人食一百二十二分鸡之四十五。吏一人食一百二十二分鸡之四十一。 　　从者一人食一百二十二分鸡之九十七。 　　术曰：如方程。以正负术入之。 　　今有五羊，四犬，三鸡，二兔，直钱一千四百九十六；四羊，二犬，六鸡，三兔，直钱一千一百七十五；三羊，一犬，七鸡，五兔，直钱九百五十八；二羊，三犬，五鸡，一兔，直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何？答曰：羊价一百七十七。犬价一百二十一。鸡价二十三。兔价二十九。 　　术曰：如方程。以正负术入之。 　　今有麻九斗，麦七斗，菽三斗，荅二斗，黍五斗，直钱一百四十；麻七斗，麦六斗，菽四斗，荅五斗，黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗，麦五斗，菽七斗，荅六斗，黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗，麦五斗，菽三斗，荅九斗，黍四斗，直钱一百一十二；麻一斗，麦三斗，菽二斗，荅八斗，黍五斗，直钱九十五。问一斗直几何？荅曰：麻一斗七钱。麦一斗四钱。菽一斗三钱。荅一斗五钱。黍一斗六钱。 　　术曰：如方程。以正负术入之。 　　〔此麻麦与均输、少广之章重衰、积分皆为大事。其拙于精理徒按本术者，或用算而布毡，方好烦而喜误，曾不知其非，反欲以多为贵。故其算也，莫不暗于设通而专于一端。至于此类，苟务其成，然或失之，不可谓要约。更有异术者庖丁解牛，游刃理间，故能历久其刃如新。夫数，犹刃也，易简用之则动中庖丁之理。故能和神爱刃，速而寡尤。凡九章为大事，按法皆不尽一百算也。虽布算不多，然足以算多。世人多以方程为难，或尽布算之象在缀正负而已，未暇以论其设动无方，斯胶柱调瑟之类。聊复恢演，为作新术，著之于此，将亦启导疑意。网罗道精，岂传之空言？记其施用之例，著策之数，每举一隅焉。 　　方程新术曰：以正负术入之。令左、右相减，先去下实，又转去物位，则其求一行二物正负相借者，是其相当之率。又令二物与他行互相去取，转其二物相借之数，即皆相当之率也。各据二物相当之率，对易其数，即各当之率也。更置成行及其下实，各以其物本率今有之，求其所同。并，以为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余，以为法。以下置为实。实如法，即合所问也。一物各以本率今有之，即皆合所问也。率不通者，齐之。