九章算术 - 第 16 页/共 23 页

是为客用日率也。然则主人用日率者，客马行率也；客用日率者，主人马行率也。 　　母同则子齐，是为客马行率五，主人马行率十三。于今有术，三百里为所有数，十三为所求率，五为所有率，而今有之，即得也。〕 　　以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。 　　〔欲知主人追客所行里者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一，得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四，如客马与主人均行用日分子五而一，亦得主人马一日行七百八十里也。〕 　　今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何？答曰：末一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤八两。次一尺重四斤。 　　术曰：令末重减本重，余，即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。 　　副置，以差率减之，每尺各自为衰。 　　〔按：此术五尺有四间者，有四差也。今本末相减，余即四差之凡数也。以四约之，即得每尺之差。以差数减本重，余即次尺之重也。为术所置，如是而已。 　　今此率以四为母，故令母乘本为衰，通其率也。亦可置末重，以四间乘之，为上第一衰。以差重率加之，为次下衰也。〕 　　副置下第一衰，以为法。以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。 　　〔以下第一衰为法，以本重乘其分母之数，而又反此率乘本重，为实。一乘一除，势无损益，故惟本存焉。众衰相推为率，则其余可知也。亦可副置末衰为法，而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回，然是其旧。故就新而言之也。〕 　　今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？答曰：甲得一钱六分钱之二。乙得一钱六分钱之一。丙得一钱。丁得六分钱之五。戊得六分钱之四。 　　术曰：置钱，锥行衰。 　　〔按：此术“锥行”者，谓如立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均，为一列者也。〕 　　并上二人为九，并下三人为六。六少于九，三。 　　〔数不得等，但以五、四、三、二、一为率也。〕 　　以三均加焉，副并为法。以所分钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。 　　〔此问者，令上二人与下三人等，上、下部差一人，其差三。均加上部，则得二三；均加下部，则得三三。下部犹差一人，差得三，以通于本率，即上、下部等也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五钱为所有数，而今有之，即得等耳。假令七人分七钱，欲令上二人与下五人等，则上、下部差三人。 　　并上部为十三，下部为十五。下多上少，下不足减上。当以上、下部列差而后均减，乃合所问耳。此可仿下术：令上二人分二钱半为上率，令下三人分二钱半为下率。上、下二率以少减多，余为实。置二人、三人，各半之，减五人，余为法。 　　实如法得一钱，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得钱数也。〕 　　今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容，各多少？答曰：下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三十九。 　　术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。 　　〔此二率者，各其平率也。〕 　　上、下率以少减多，余为实。 　　〔按：此上、下节各分所容为率者，各其平率。上、下以少减多者，余为中间五节半之凡差，故以为实也。〕 　　置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升。即衰相去也。 　　〔按此术法者，上下节所容已定之节，中间相去节数也；实者，中间五节半之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。〕 　　下率一升少半升者，下第二节容也。 　　〔一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。〕 　　今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问何日相逢？答曰：三日十六分日之十五。 　　术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。 　　〔按：此术置凫七日一至，雁九日一至。齐其至，同其日，定六十三日凫九至，雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢日。 　　故“并日数为法”者，并齐之意；“日数相乘为实”者，犹以同为实也。一曰：凫飞日行七分至之一，雁飞日行九分至之一。齐而同之，凫飞定日行六十三分至之九，雁飞定日行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分，凫日行九分，雁日行七分也。并凫、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。〕 　　今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？答曰：二日十二分日之一。 　　术曰：并五日、七日，以为法。 　　〔按：此术“并五日、七日为法”者，犹并齐为法。置甲五日一至，乙七日一至。齐而同之，定三十五日甲七至，乙五至。并之为十二至者，用三十五日也。 　　谓甲、乙与发之率耳。然则日化为至，当除日，故以为法也。〕 　　以乙先发二日减七日，〔“减七日”者，言甲、乙俱发，今以发为始发之端，于本道里则余分也。〕 　　也。 　　余，以乘甲日数为实。 　　〔七者，长安去齐之率也；五者，后发相去之率也。今问后发，故舍七用五。 　　以乘甲五日，为二十五日。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也。 　　实如法得一日。 　　〔一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。齐而同之，甲定日行三十五分至之七，乙定日行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分，甲日行七分，乙日行五分也。今乙先行发二日，已行十分，余，相去二十五分。故减乙二日，余，令相乘，为二十五分。〕 　　今有一人一日为牝瓦三十八枚，一人一日为牡瓦七十六枚。今令一人一日作瓦，牝、牡相半，问成瓦几何？答曰：二十五枚少半枚。 　　术曰：并牝、牡为法，牝、牡相乘为实，实如法得一枚。 　　〔此意亦与凫雁同术。牝、牡瓦相并，犹如凫、雁日飞相并也。按：此术“并牝、牡为法”者，并齐之意；“牝、牡相乘为实”者，犹以同为实也。故实如法，即得也。〕 　　今有一人一日矫矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日摐矢十五。今令一人一日自矫、羽、摐，问成矢几何？答曰：八矢少半矢。 　　术曰：矫矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；摐矢五十，用徒三人少半人。并之，得六人，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。 　　〔按：此术言成矢五十，用徒六人，一日工也。此同工其作，犹凫、雁共至之类，亦以同为实，并齐为法。可令矢互乘一人为齐，矢相乘为同。今先令同于五十矢。矢同则徒齐，其归一也。——以此术为凫雁者，当雁飞九日而一至，凫飞九日而一至七分至之二。并之，得二至七分至之二，以为法。以九日为实。——实如法而一，得一人日成矢之数也。〕