九章算术 - 第 22 页/共 23 页

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？答曰：四尺二十分尺之一十一。 　　术曰：以去本自乘，〔此去本三尺为句，折之余高为股，以先令句自乘之幂。〕 　　令如高而一。 　　〔凡为高一丈为股弦并，以除此幂得差。〕 　　所得，以减竹高而半余，即折者之高也。 　　〔此术与系索之类更相反覆也。亦可如上术，令高自乘为股弦并幂，去本自乘为矩幂，减之，余为实。倍高为法，则得折之高数也。〕 　　今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会。问甲、乙行各几何？答曰：乙东行一十步半，甲斜行一十四步半及之。 　　术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲斜行率。斜行率减于七自乘，余为南行率。以三乘七为乙东行率。 　　〔此以南行为句，东行为股，斜行为弦，并句弦率七。欲引者，当以股率自乘为幂，如并而一，所得为句弦差率。加并之半为弦率，以差率减，余为句率。如是或有分，当通而约之乃定。术以同使无分母，故令句弦并自乘为朱、黄相连之方。股自乘为青幂之矩，以句弦并为袤，差为广。今有相引之直，加损同上。其图大体以两弦为袤，句弦并为广。引黄断其半为弦率。列用率七自乘者，句弦并之率。故弦减之，余为句率。同立处是中停也，皆句弦并为率，故亦以句率同其袤也。〕 　　置南行十步，以甲斜行率乘之；副置十步，以乙东行率乘之；各自为实。实如南行率而一，各得行数。 　　〔南行十步者，所有见句求见弦、股，故以弦、股率乘，如句率而一。〕 　　今有句五步，股十二步。问句中容方几何？答曰：方三步十七分步之九。 　　术曰：并句、股为法，句、股相乘为实。实如法而一，得方一步。 　　〔句、股相乘为朱、青、黄幂各二。令黄幂袤于隅中，朱、青各以其类，令从其两径，共成修之幂：中方黄为广，并句、股为袤。故并句、股为法。幂图：方在句中，则方之两廉各自成小句股，而其相与之势不失本率也。句面之小句、股，股面之小句、股各并为中率，令股为中率，并句、股为率，据见句五步而今有之，得中方也。复令句为中率，以并句、股为率，据见股十二步而今有之，则中方又可知。此则虽不效而法，实有法由生矣。下容圆率而似今有、衰分言之，可以见之也。〕 　　今有句八步，股一十五步。问句中容圆径几何？答曰：六步。 　　术曰：八步为句，十五步为股，为之求弦。三位并之为法。以句乘股，倍之为实。实如法，得径一步。 　　〔句、股相乘为图本体，朱、青、黄幂各二。倍之，则为各四。可用画于小纸，分裁邪正之会，令颠倒相补，各以类合，成修幂：圆径为广，并句、股、弦为袤。故并句、股、弦以为法。又以圆大体言之，股中青必令立规于横广，句、股又邪三径均。而复连规，从横量度句、股，必合而成小方矣。又画中弦以规除会，则句、股之面中央小句股弦：句之小股、股之小句皆小方之面，皆圆径之半。其数故可衰。以句、股、弦为列衰，副并为法。以句乘未并者，各自为实。实如法而一，得句面之小股可知也。以股乘列衰为实，则得股面之小句可知。言虽异矣，及其所以成法之实，则同归矣。则圆径又可以表之差并：句弦差减股为圆径；又，弦减句股并，余为圆径；以句弦差乘股弦差而倍之，开方除之，亦圆径也。〕 　　今有邑方二百步，各中开门。出东门一十五步有木。问出南门几何步而见木？答曰：六百六十六步大半步。 　　术曰：出东门步数为法，〔以句率为法也。〕 　　半邑方自乘为实，实如法得一步。 　　〔此以出东门十五步为句率，东门南至隅一百步为股率，南门东至隅一百步为见句步。欲以见句求股，以为出南门数。正合半邑方自乘者，股率当乘见句，此二者数同也。〕 　　今有邑东西七里，南北九里，各中开门。出东门一十五里有木。问出南门几何步而见木？答曰：三百一十五步。 　　术曰：东门南至隅步数，以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一。 　　〔此以东门南至隅四里半为句率，出东门一十五里为股率，南门东至隅三里半为见股。所问出南门即见股之句。为术之意，与上同也。〕 　　今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。 　　问邑方几何？答曰：一里。 　　术曰：令两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之，即得邑方。 　　〔按：半邑方，令半方自乘，出门除之，即步。令二出门相乘，故为半方邑自乘，居一隅之积分。因而四之，即得四隅之积分。故为实，开方除，即邑方也。〕 　　今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？答曰：二百五十步。 　　术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实。 　　〔此以折而西行为股，自木至邑南一十四步为句，以出北门二十步为句率，北门至西隅为股率，半广数。故以出北门乘折西行股，以股率乘句之幂。然此幂居半，以西行。故又倍之，合东，尽之也。〕 　　并出南、北门步数，为从法，开方除之，即邑方。 　　〔此术之幂，东西如邑方，南北自木尽邑南十四步之幂，各南北步为广，邑方为袤，故连两广为从法，并，以为隅外之幂也。〕 　　今有邑方一十里，各中开门。甲、乙俱从邑中央而出：乙东出；甲南出，出门不知步数，邪向东北，磨邑隅，适与乙会。率：甲行五，乙行三。问甲、乙行各几何？答曰：甲出南门八百步，邪东北行四千八百八十七步半，及乙。乙东行四千三百一十二步半。 　　术曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，为邪行率；邪行率减于五自乘者，余为南行率；以三乘五为乙东行率。 　　〔求三率之意与上甲乙同。〕 　　置邑方，半之，以南行率乘之，如东行率而一，即得出南门步数。 　　〔今半方，南门东至隅五里。半邑者，谓为小股也。求以为出南门步数。故置邑方，半之，以南行句率乘之，如股率而一。〕 　　以增邑方半，即南行。 　　〔半邑者，谓从邑心中停也。〕 　　置南行步，求弦者，以邪行率乘之；求东行者，以东行率乘之，各自为实。 　　实如法，南行率，得一步。 　　〔此术与上甲乙同。〕 　　今有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直。从后右表望之，入前右表三寸。问木去人几何？答曰：三十三丈三尺三寸少半寸。 　　术曰：令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一。 　　〔此以入前右表三寸为句率，右两表相去一丈为股率，左右两表相去一丈为见句。所问木去人者，见句之股。股率当乘见句，此二率俱一丈，故曰自乘之。 　　以三寸为法。实如法得一寸。〕 　　今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何？答曰：一百六十四丈九尺六寸太半寸。 　　术曰：置木高，减人目高七尺，〔此以木高减人目高七尺，余有八丈八尺，为句率；去人目三里为股率；山去木五十三里为见股，以求句。加木之高，故为山高也。〕 　　余，以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一。所得，加木高，即山高。