九章算术 - 第 15 页/共 23 页

淳风等按：米有精粗之异，粟有多少之差。据率，粺、少而粝多；用粟，则粺、多而粝少。米若依本率之分，粟当倍率，故今反衰之，使精取多而粗得少。〕 　　副并为法。以七斗乘未并者，各自为取粟实。实如法得一斗。 　　〔于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，粟七斗为所有数，而今有之，故各得取粟也。〕 　　若求米等者，以本率各乘定所取粟为实，以粟率五十为法，实如法得一斗。 　　〔若径求为米等数者，置粝米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十；米十二，用粟二十五。齐其粟，同其米，并齐为法。以七斗乘同为实。所得，即为米斗数。〕 　　今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问各几何？答曰；米五斗一升七分升之三。菽一斛二升七分升之六。 　　术曰：置米一、菽二，求为粟之数。并之，得三、九分之八，以为法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自为实。实如法得一斛。 　　〔淳风等按：置粟率五，乘米一，米率三除之，得一、三分之二，即是米一之粟也；粟率十，以乘菽二，菽率九除之，得二、九分之二，即是菽二之粟也。 　　并全，得三。齐子，并之，得二十四；同母，得二十七；约之，得九分之八。故云“并之，得三、九分之八”。米一、菽二当粟三、九分之八，此其粟率也。于今有术，米一、菽二皆为所求率，当粟三、九分之八，为所有率，粟二斛为所有数。凡言率者，当相与。通之，则为米九、菽十八，当粟三十五也。亦有置米一、菽二，求其为粟之率，以为列衰。副并为法，以粟乘列衰为实。所得即米一、菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之，即合所问。〕 　　今有取佣，负盐二斛，行一百里，与钱四十。今负盐一斛七斗三升少半升，行八十里。问与钱几何？答曰：二十七钱一十五分钱之一十一。 　　术曰：置盐二斛升数，以一百里乘之为法。 　　〔按：此术以负盐二斛升数乘所行一百里，得二万里。是为负盐一升行二万里，得钱四十。于今有术，为所有率。〕 　　以四十钱乘今负盐升数，又以八十里乘之，为实。实如法得一钱。 　　〔以今负盐升数乘所行里，今负盐一升凡所行里也。于今有术以所有数，四十钱为所求率也。衰分章“贷人千钱”与此同。〕 　　今有负笼重一石，行百步，五十返。今负笼重一石一十七斤，行七十六步，问返几何？答曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。 　　术曰：以今所行步数乘今笼重斤数，为法。 　　〔此法谓负一斤一返所行之积步也。〕 　　故笼重斤数乘故步，又以返数乘之，为实。实如法得一返。 　　〔按：此法，负一斤一返所行之积步；此实者一斤一日所行之积步。故以一返之课除终日之程，即是返数也。 　　淳风等按：此术，所行步多者得返少，所行步少者得返多。然则故所行者今返率也。故令所得返乘今返之率，为实，而以故返之率为法，今有术也。按：此负笼又有轻重，于是为术者因令重者得返少，轻者得返多。故又因其率以乘法、实者，重今有之义也。然此意非也。按：此笼虽轻而行有限，笼过重则人力遗。 　　力有遗而术无穷，人行有限而笼轻重不等。使其有限之力随彼无穷之变，故知此术率乖理也。若故所行有空行返数，设以问者，当因其所负以为返率，则今返之数可得而知也。假令空行一日六十里，负重一斛行四十里。减重一斗进二里半，负重二斗以下与空行同。今负笼重六斗，往返行一百步，问返几何？答曰：一百五十返。术曰：置重行率，加十里，以里法通之，为实。以一返之步为法。实如法而一，即得也。〕 　　今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何？答曰：四十八里一十八分里之一十一术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之，为实。实如法得一里。 　　〔此亦如上术。率：一百七十五里之路，往返用六日也。于今有术，则五日为所有数，一百七十五里为所求率，六日为所有率。以此所得，则三返之路。今求一返，当以三约之，因令乘法而并除也。为术亦可各置空、重行一里用日之率，以为列衰，副并为法。以五日乘列衰为实。实如法，所得即各空、重行日数也。 　　各以一日所行以乘，为凡日所行。三返约之，为上林去太仓之数。按：此术重往空还，一输再还道。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齐而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。完言之者，一百七十五里之路，往返用六日。故并空、重者，并齐也；空、重相乘者，同其母也。于今有术，五日为所有数，一百七十五为所求率，六为所有率。以此所得，则三返之路。今求一返者，当以三约之。故令乘法而并除，亦当约之也。〕 　　今有络丝一斤为练丝一十二两，练丝一斤为青丝一斤一十二铢。今有青丝一斤，问本络丝几何？答曰：一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六。 　　术曰：以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，又以络丝一斤乘，为实。实如法得一斤。 　　〔按：练丝一斤为青丝一斤十二铢，此练率三百八十四，青率三百九十六也。 　　又络丝一斤为练丝十二两，此络率十六，练率十二也。置今有青丝一斤，以练率三百八十四乘之，为实。实如青丝率三百九十六而一。所得，青丝一斤，练丝之数也。又以络率十六乘之，所得为实；以练率十二为法。所得，即练丝用络丝之数也。是谓重今有也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘前法而并除也。故以练丝两数为实，青丝铢数为法。一曰：又置络丝一斤两数与练丝十二两，约之，络得四，练得三。此其相与之率。又置练丝一斤铢数与青丝一斤一十二铢，约之，练得三十二，青得三十三。亦其相与之率。齐其青丝、络丝，同其二练，络得一百二十八，青得九十九，练得九十六，即三率悉通矣。今有青丝一斤为所有数，络丝一百二十八为所求率，青丝九十九为所有率。为率之意犹此，但不先约诸率耳。凡率错互不通者，皆积齐同用之。放此，虽四五转不异也。言同其二练者，以明三率之相与通耳，于术无以异也。又一术：今有青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，为实；以青丝一斤一十二铢为法。所得，即用练丝两数。以络丝一斤乘所得为实，以练丝十二两为法，所得，即用络丝斤数也。〕 　　今有恶粟二十斗，舂之，得粝米九斗。今欲求粺米一十斗，问恶粟几何？答曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。 　　术曰：置粝米九斗，以九乘之，为法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以恶粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗。 　　〔按：此术置今有求粺米十斗，以粝米率十乘之，如粺率九而一，即粺化为粝，又以恶粟率二十乘之，如粝率九而一，即粝亦化为恶粟矣。此亦重今有之义。为术之意犹络丝也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘前法而并除之也。〕 　　今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问几何步及之？答曰：二百五十步。 　　术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步，为实。实如法得一步。 　　〔按：此术以六十步减一百步，余四十步，即不善行者先行率也；善行者行一百步，追及率。约之，追及率得五，先行率得二。于今有术，不善行者先行一百步为所有数，五为所求率，二为所有率，而今有之，得追及步也。〕 　　今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善行者几何里及之？答曰：三十三里少半里。 　　术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善行者先行一十里乘善行者一百里，为实。实如法得一里。 　　〔按：此术不善行者既先行一十里，后不及二十里，并之，得三十里也，谓之先行率。善行者一百里为追及率。约之，先行率得三，三为所有率，而今有之，即得也。其意如上术也。〕 　　今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行几何步及之？答曰：一百七步七分步之一。 　　术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘犬追步数为实。实如法得一步。 　　〔按：此术以不及三十步减先走一百步，余七十步，为兔先走率。犬行二百五十步为追及率。约之，先走率得七，追及率得二十五。于今有术，不及三十步为所有数，二十五为所求率，七为所有率，而今有之，即得也。〕 　　今有人持金十二斤出关，关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。 　　问金一斤值钱几何？答曰：六千二百五十。 　　术曰：以一十乘二斤，以十二斤减之，余为法。以一十乘五千为实。实如法得一钱。 　　〔按：此术置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所当税者也。减二斤，余即关取盈金。以盈除所偿钱，即金值也。今术既以十二斤为所税，则是以十为母，故以十乘二斤及所偿钱，通其率。于今有术，五千钱为所有数，十为所求率，八为所有率，而今有之，即得也。〕 　　今有客马，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃觉。持衣追及，与之而还；至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？答曰：七百八十里。 　　术曰：置四分日之三，除三分日之一，〔按：此术“置四分日之三，除三分日之一”者，除，其减也。减之余，有十二分之五，即是主人追客还用日率也。〕 　　半其余，以为法。 　　〔去其还，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。是为主人与客均行用日之率也。〕 　　副置法，增三分日之一。 　　〔法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未觉之前独行用日之分也。并连此数，得二十四分日之十三，则主人追及前用日之分也。