九章算术 - 第 21 页/共 23 页

其一术曰：置群物通率为列衰。更置成行群物之数，各以其率乘之，并，以为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余为法。以成行下实乘列衰，各自为实。实如法而一，即得。 　　以旧术为之。凡应置五行。今欲要约，先置第三行，减以第四行，又减第五行；次置第二行，以第二行减第一行，又减第四行。去其头位；余，可半；次置右行及第二行。去其头位；次以右行去第四行头位，次以左行去第二行头位，次以第五行去第一行头位；次以第二行去第四行头位；余，可半；以右行去第二行头位，以第二行去第四行头位。余，约之为法、实。实如法而一，得六，即有黍价。以法治第二行，得荅价，右行得菽价，左行得麦价，第三行麻价。如此凡用七十七算。 　　以新术为此。先以第四行减第三行；次以第三行去右行及第二行、第四行下位，又以减左行下位，不足减乃止；次以左行减第三行下位，次以第三行去左行下位。讫，废去第三行。次以第四行去左行下位，又以减右行下位；次以右行去第二行及第四行下位；次以第二行减第四行及左行头位；次以第四行减左行菽位，不足减乃止；次以左行减第二行头位，余，可再半；次以第四行去左行及第二行头位，次以第二行去左行头位，余，约之，上得五，下得三，是菽五当荅；次以左行去第二行菽位，又以减第四行及右行菽位，不足减乃止；次以右行减第二行头位，不足减乃止；次以第二行去右行头位，次以左行去右行头位；余，上得六，下得五，是为荅六当黍五；次以左行去右行荅位，余，约之，上为二，下为一；次以右行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以减左行下位；次，左行去第二行下位，余，上得三，下得四，是为麦三当菽四；次以第二行减第四行下位；次以第四行去第二行下位；余，上得四，下得七，是为麻四当麦七。是为相当之率举矣。据麻四当麦七，即麻价率七而麦价率四；又麦三当菽四，即为麦价率四而菽价率三；又菽五当荅三，即为菽价率三而荅价率五；又荅六当黍五，即为荅价率五而黍价率六；而率通矣。更置第三行，以第四行减之，余有麻一斗，菽四斗正，荅三斗负，下实四正。求其同为麻之数，以菽率三、荅率五各乘其斗数，如麻率七而一，菽得一斗七分斗之五正，荅得二斗七分斗之一负。则菽、荅化为麻。以并之，令同名相从，异名相消，余得定麻七分斗之四，以为法。置四为实，而分母乘之，实得二十八，而分子化为法矣以法除得七，即麻一斗之价。置麦率四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自为实。以麻率七为法。所得即各为价。亦可使置本行实与物同通之，各以本率今有之，求其本率所得。并，以为法。如此，即无正负之异矣，择异同而已。又可以一术为之。置五行通率，为麻七、麦四、菽三、荅五、黍六，以为列衰。成行麻一斗，菽四斗正，荅三斗负，各以其率乘之。讫，令同名相从，异名相消，余为法。又置下实乘列衰，所得各为实。此可以置约法，则不复乘列衰，各以列衰为价。如此则凡用一百二十四算也。〕 　　卷九 　　○句股（以御高深广远） 　　今有句三尺，股四尺，问为弦几何？答曰：五尺。 　　今有弦五尺，句三尺，问为股几何？答曰：四尺。 　　今有股四尺，弦五尺，问为句几何？答曰：三尺。 　　句股〔短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦。句短其股，股短其弦。将以施于诸率，故先具此术以见其源也。〕 　　术曰：句、股各自乘，并，而开方除之，即弦。 　　〔句自乘为朱方，股自乘为青方。令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。〕 　　又，股自乘，以减弦自乘。其余，开方除之，即句。 　　〔淳风等按：此术以句、股幂合成弦幂。句方于内，则句短于股。令股自乘，以减弦自乘，余者即句幂也。故开方除之，即句也。〕 　　又，句自乘，以减弦自乘。其余，开方除之，即股。 　　〔句、股幂合以成弦幂，令去其一，则余在者皆可得而知之。〕 　　今有圆材，径二尺五寸。欲为方版，令厚七寸，问广几何？答曰：二尺四寸。 　　术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘，减之。其余，开方除之，即广。 　　〔此以圆径二尺五寸为弦，版厚七寸为句，所求广为股也。〕 　　今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？答曰：二丈九尺。 　　术曰：以七周乘围为股，木长为句，为之求弦。弦者，葛之长。 　　〔据围广，求从为木长者其形葛卷裹袤。以笔管，青线宛转，有似葛之缠木。 　　解而观之，则每周之间自有相间成句股弦。则其间葛长，弦。七周乘围，并合众句以为一句；木长而股，短；术云木长谓之股，言之倒。句与股求弦，亦无围。弦之自乘幂出上第一图。句、股幂合为弦幂，明矣。然二幂之数谓倒在于弦幂之中而已。可更相表里，居里者则成方幂，其居表者则成矩幂。二表里形讹而数均。又按：此图句幂之矩青，卷白表，是其幂以股弦差为广，股弦并为袤，而股幂方其里。股幂之矩青，卷白表，是其幂以句弦差为广，句弦并为袤，而句幂方其里。是故差之与并用除之，短、长互相乘也。〕 　　今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺。葭长一丈三尺。 　　术曰：半池方自乘，〔此以池方半之，得五尺为句；水深为股；葭长为弦。以句、弦见股，故令句自乘，先见矩幂也。〕 　　以出水一尺自乘，减之。 　　〔出水者，股弦差。减此差幂于矩幂则除之。〕 　　余，倍出水除之，即得水深。 　　〔差为矩幂之广，水深是股。令此幂得出水一尺为长，故为矩而得葭长也。〕 　　加出水数，得葭长。 　　〔淳风等按：此葭本出水一尺，既见水深，故加出水尺数而得葭长也。〕 　　今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何？答曰：一丈二尺六分尺之一。 　　术曰：以去本自乘，〔此以去本八尺为句，所求索者，弦也。引而索尽、开门去阃者，句及股弦差，同一术。去本自乘者，先张矩幂。〕 　　令如委数而一。 　　〔委地者，股弦差也。以除矩幂，即是股弦并也。〕 　　所得，加委地数而半之，即索长。 　　〔子不可半者，倍其母。加差者并，则两长。故又半之。其减差者并，而半之，得木长也。〕 　　今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问木长几何？答曰：五丈五寸。 　　术曰：以垣高一十尺自乘，如却行尺数而一。所得，以加却行尺数而半之，即木长数。 　　〔此以垣高一丈为句，所求倚木者为弦，引却行一尺为股弦差。为术之意与系索问同也。〕 　　今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？答曰：材径二尺六寸。 　　术曰：半锯道自乘，〔此术以锯道一尺为句，材径为弦，锯深一寸为股弦差之一半。锯道长是半也。 　　淳风等按：下锯深得一寸为半股弦差。注云为股差差者，锯道也。〕 　　如深寸而一，以深寸增之，即材径。 　　〔亦以半增之。如上术，本当半之，今此皆同半，故不复半也。〕 　　今有开门去阃一尺，不合二寸。问门广几何？答曰：一丈一寸。 　　术曰：以去阃一尺自乘。所得，以不合二寸半之而一。所得，增不合之半，即得门广。 　　〔此去阃一尺为句，半门广为弦，不合二寸以半之，得一寸为股弦差。求弦，故当半之。今次以两弦为广数，故不复半之也。〕 　　今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？答曰：广二尺八寸。高九尺六寸。 　　术曰：令一丈自乘为实。半相多，令自乘，倍之，减实。半其余，以开方除之。所得，减相多之半，即户广；加相多之半，即户高。 　　〔令户广为句，高为股，两隅相去一丈为弦，高多于广六尺八寸为句股差。按图为位，弦幂适满万寸。倍之，减句股差幂，开方除之。其所得即高广并数。以差减并而半之，即户广。加相多之数，即户高也。今此术先求其半。一丈自乘为朱幂四、黄幂一。半差自乘，又倍之，为黄幂四分之二，减实，半其余，有朱幂二、黄幂四分之一。其于大方者四分之一。故开方除之，得高广并数半。减差半，得广；加，得户高。又按：此图幂：句股相并幂而加其差幂，亦减弦幂，为积。盖先见其弦，然后知其句与股。今适等，自乘，亦各为方，合为弦幂。令半相多而自乘，倍之，又半并自乘，倍之，亦合为弦幂。而差数无者，此各自乘之，而与相乘数，各为门实。及股长句短，同源而分流焉。假令句、股各五，弦幂五十，开方除之，得七尺，有余一，不尽。假令弦十，其幂有百，半之为句、股二幂，各得五十，当亦不可开。故曰：圆三、径一，方五、斜七，虽不正得尽理，亦可言相近耳。其句股合而自相乘之幂者，令弦自乘，倍之，为两弦幂，以减之，其余，开方除之，为句股差。加于合而半，为股；减差于合而半之，为句。句、股、弦即高、广、邪。其出此图也，其倍弦为袤。令矩句即为幂，得广即句股差。其矩句之幂，倍句为从法，开之亦句股差。以句股差幂减弦幂，半其余，差为从法，开方除之，即句也。〕