九章算术 - 第 11 页/共 23 页
以深、袤相乘，〔为深、袤之立实也。〕
又三之，为法。
〔以深、袤乘之立实除垣积，即坑广。又三之者，与坚率并除之。〕
所得，倍之。
〔为坑有两广，先并而半之，即为广狭之中平。今先得其中平，故又倍之知，两广全也。〕
减上广，余即下广。
〔按：此术穿地四，为坚三。垣即坚也。今以坚求穿地，当四乘之，三而一。
深、袤相乘者，为深袤立幂。以深袤立幂除积，即坑广。又三之，为法，与坚率并除。所得，倍之者，为坑有两广，先并而半之，为中平之广。今此得中平之广，故倍之还为两广并。故减上广，余即下广也。〕
今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？答曰：一百八十九万七千五百尺：今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？答曰：六千七百七十四尺。
今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？答曰：七千一百一十二尺。
冬程人功四百四十四尺，问用徒几何？答曰：一十六人二百一十一分人之二。
术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。
今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？答曰：四千三百七十五尺。
春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。
问用徒几何？答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。
术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。
〔“去其五分之一”者，谓以四乘，五除也。〕
以沟积尺为实，实如法而一，得用徒人数。
〔按：此术“置本人功，去其五分之一”者，谓以四乘之，五而一，除去出土之功，取其定功。乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者，法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺，故用徒人数。
不尽者，等数约之而命分也。〕
今有堑，上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。
问积几何？答曰：一万九百四十三尺八寸。
〔八寸者，谓穿地方尺，深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫，弃之。文欲从易，非其常定也。〕
夏程人功八百七十一尺，并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二百三十二尺一十五分尺之四。问用徒几何？答曰：四十七人三千四百八十四分人之四百九。
术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。
以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。
〔按：此术“置本人功，去其出土功五分之一”者，谓以四乘，五除。“又去沙砾水石作太半”者，一乘，三除，存其少半，取其定功。乃通分内子以为法。
以分母乘堑积尺为实者，为法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。
不尽者，等数约之而命分也。〕
今有穿渠，上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问积几何？答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。
秋程人功三百尺，问用徒几何？答曰：三万三千五百八十二人，功内少一十四尺四寸。
一千人先到，问当受袤几何？答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。
术曰：以一人功尺数乘先到人数为实。
〔以一千人一日功为实。立实为功。〕
并渠上下广而半之，以深乘之，为法。
〔以渠广深之立实为法。〕
实如法得袤尺。
今有方堡壔，〔堡者，堡城也；壔，音丁老反，又音纛，谓以土拥木也。〕
方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？答曰：三千八百四十尺。
术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。
今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？答曰：二千一百一十二尺。
〔于徽术，当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。
淳风等按：依密率，积二千一十六尺。〕
术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。
〔此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。于徽术当以周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，三百一十四而一。此之圆幂亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田，而以高乘幂也。
淳风等按：依密率，以七乘之，八十八而一。〕
今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？答曰：一十万一千六百六十六尺太半尺。
术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。
〔此章有堑堵、阳马，皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品，以效高深之积。
假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。其用棋也，中央立方一，四面堑堵四，四角阳马四。上下方相乘为三尺，以高乘之，得积三尺，是为得中央立方一，四面堑堵各一。下方自乘为九，以高乘之，得积九尺。是为中央立方一、四面堑堵各二、四角阳马各三也。上方自乘，以高乘之，得积一尺，又为中央立方一。凡三品棋皆一而为三，故三而一，得积尺。用棋之数：立方三、堑堵阳马各十二，凡二十七，棋十三。更差次之，而成方亭者三，验矣。为术又可令方差自乘，以高乘之，三而一，即四阳马也；上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面堑堵也。并之，以为方亭积数也。〕