九章算术 - 第 13 页/共 23 页

〔按：此术棚，阁；除，斜道；有上下之难，故使二当五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步，是为往来一返凡用一百四十步。于今有术为所有率，笼积一尺六寸为所求率，程行五十九里半为所有数，而今有之，即所到尺数。以所到约积尺，即用徒人数者，此一人之积除其众积尺，故得用徒人数。为术又可令往来一返所用之步约程行为返数，乘笼积为一人所到。以此术与今有术相反覆，则乘除之或先后，意各有所在而同归耳。〕 　　今有冥谷，上广二丈，袤七丈；下广八尺，袤四丈；深六丈五尺。问积几何？答曰：五万二千尺。 　　载土往来二百步，载输之间一里。程行五十八里；六人共车，车载三十四尺七寸。问人到积尺及用徒各几何？答曰：人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六。 　　术曰：以一车积尺乘程行步数，为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。 　　〔按：此术今有之义。以载输及往来并得五百步，为所有率，车载三十四尺七寸为所求率，程行五十八里，通之为步，为所有数，而今有之，所得即一车所到。欲得人到者，当以六人除之，即得。术有分，故亦更令乘法而并除者，亦用以车尺数以为一人到土率，六人乘五百步为行率也。又亦可五百步为行率，令六人约车积尺数为一人到土率，以负土术入之。入之者，亦可求返数也。要取其会通而已。术恐有分，故令乘法而并除。以所到约积尺，即用徒人数者，以一人所到积尺除其众积，故得用徒人数也。〕 　　今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。问积及为粟几何？答曰：积八千尺。 　　〔于徽术，当积七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。 　　淳风等按：依密率，为积七千六百三十六尺十一分尺之四。〕 　　为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。 　　〔于徽术，当粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。 　　淳风等按：依密率，为粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。〕 　　今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几何？答曰：积三百五十尺。 　　〔依徽术，当积三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六。 　　淳风等按：依密率，为积三百三十四尺十一分尺之一。〕 　　为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。 　　〔依徽术，当菽一百三十七斛一万二千七百一十七分斛之七千七百七十一。 　　淳风等按：依密率，为菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。〕 　　今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问积及为米各几何？答曰：积三十五尺九分尺之五。 　　〔于徽术，当积三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。 　　淳风等按：依密率，当积三十三尺三十三分尺之三十一。〕 　　为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。 　　〔于徽术，当米二十斛三万八千一百五十一分斛之三万六千九百八十。 　　淳风等按：依密率，为米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。〕 　　委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。 　　〔此犹圆锥也。于徽术，亦当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一也。〕 　　其依垣者，〔居圆锥之半也。〕 　　十八而一。 　　〔于徽术，当令此下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。 　　依垣之周，半于全周。其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一，故半全周之法以为法也。〕 　　其依垣内角者，〔角，隅也，居圆锥四分之一也。〕 　　九而一。 　　〔于徽术，当令此下周自乘，而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。依隅之周，半于依垣。其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一，当半依垣之法以为法。法不可半，故倍其实。又此术亦用周三径一之率。假令以三除周，得径；若不尽，通分内子，即为径之积分。令自乘，以高乘之，为三方锥之积分。 　　母自相乘得九，为法，又当三而一，得方锥之积。从方锥中求圆锥之积，亦犹方幂求圆幂。乃当三乘之，四而一，得圆锥之积。前求方锥积，乃以三而一；今求圆锥之积，复合三乘之。二母既同，故相准折。惟以四乘分母九，得三十六而连除，圆锥之积。其圆锥之积与平地聚粟同，故三十六而一。 　　淳风等按：依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百三十二而一；依隅者，六十六而一也。〕 　　程粟一斛积二尺七寸；〔二尺七寸者，谓方一尺，深二尺七寸，凡积二千七百寸。〕 　　其米一斛积一尺六寸五分寸之一；〔谓积一千六百二十寸。〕 　　其菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三。 　　〔谓积二千四百三十寸。此为以精粗为率，而不等其概也。粟率五，米率三，故米一斛于粟一斛，五分之三；菽、荅、麻、麦亦如本率云。故谓此三量器为概，而皆不合于今斛。当今大司农斛，圆径一尺三寸五分五厘，正深一尺，于徽术，为积一千四百四十一寸，排成余分，又有十分寸之三。王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫。以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇。《周官考工记》：朅氏为量，深一尺，内方一尺而圆外，其实一釜。于徽术，此圆积一千五百七十寸。《左氏传》曰：“齐旧四量：豆、区、釜、钟。四升曰豆，各自其四，以登于釜。釜十则钟。”钟六斛四斗。釜六斗四升，方一尺，深一尺，其积一千寸。若此方积容六斗四升，则通外圆积成旁，容十斗四合一龠五分龠之三也。以数相乘之，则斛之制：方一尺而圆其外，庣旁一厘七毫，幂一百五十六寸四分寸之一，深一尺，积一千五百六十二寸半，容十斗。王莽铜斛与《汉书律历志》所论斛同。〕 　　今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问高几何？答曰：二丈。 　　术曰：置粟一万斛积尺为实。广、袤相乘为法。实如法而一，得高尺。 　　〔以广袤之幂除积，故得高。按：此术本以广袤相乘，以高乘之，得此积。 　　今还元，置此广袤相乘为法，除之，故得高也。〕 　　今有圆囷，〔圆囷，廪也，亦云圆囤也。〕 　　高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛。问周几何？答曰：五丈四尺。 　　〔于徽术，当周五丈五尺二寸二十分寸之九。 　　淳风等按：依密率，为周五丈五尺一百分尺之二十七。〕 　　术曰：置米积尺，〔此积犹圆堡昪之积。〕 　　以十二乘之，令高而一。所得，开方除之，即周。 　　〔于徽术，当置米积尺，以三百一十四乘之，为实。二十五乘囷高为法。所得，开方除之，即周也。此亦据见幂以求周，失之于微少也。晋武库中有汉时王莽所作铜斛，其篆书字题斛旁云：律嘉量斛，方一尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸；深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。及斛底云：律嘉量斗，方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一尺六寸二分。深一寸，积一百六十二寸，容一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁，合、龠在斛耳上。后有赞文，与今律历志同，亦魏晋所常用。今粗疏王莽铜斛文字、尺、寸、分数，然不尽得升、合、勺之文字。按：此术本周自相乘，以高乘之，十二而一，得此积。今还元，置此积，以十二乘之，令高而一，即复本周自乘之数。凡物自乘，开方除之，复其本数。故开方除之，即得也。 　　淳风等按：依密率，以八十八乘之，为实。七乘囷高为法。实如法而一。开方除之，即周也。〕