周易函书约存 - 第 26 页/共 75 页
以二十二两作二寸二分为实以四十四人作四寸四分为法将实尺比定二寸二分安于法尺四寸四分空处乃量法尺之一分空处得几何今得五厘因以尺之分为银之两则厘当为钱又因以分为人则五钱为一人所得数也 量一寸空处得五分降为五厘亦合一分为一人一寸则为十人量四寸空处得四十人银数四分空处得四人银数此用乗以知除也
降数式银四十四两二十二人分之问各若干曰二两
以四十四两作四寸四分为实以二十二人作二寸二分为法将实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分上实大不可安顿降为四分四厘安于法尺二寸二分空处乃量法尺一分空处得二厘因先降数此当升为二分分为银之两知所得为二两
折实式一十八两六人分之问共若干曰三两
以一十八两折半得九两作九寸为实以六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五厘因降实此当升为一寸五分又因折实此当倍为三寸以寸为两故知所得为三两
法实俱折式一十八两一十二人分之问各若干曰一两五钱
以一十八两折半得九两作九寸为实以一十二人折半得六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五厘因降实当升为一寸五分寸为两知所得为一两五钱法实俱折者除与乗不同乗折则所得止半数故须倍之除折则所得即所求数故不必又倍
随分式银八十两或四平分或五平分问各若干曰四分之一得二十两五分之一得一十六两
以八十两作八十分为实将实尺比定八十分安于法尺百分空处如欲作四平分者则量法尺二寸五分空处得二十分每人即得二十两也如欲作五平分者则量法尺二寸空处得一十六分每人即得一十六两也 二寸五分者四分百之一也二寸者五分百之一也
整零截量式三十二两五人分之问各若干曰六两四
以三十二两作三尺二寸为实以五人作五寸为法先截实末二寸求之将实尺比定二寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得四分后截实首三尺求之将实尺比定三尺降作三寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得六分应升为六寸并前四分得六寸四分以两为寸知每人得六两四钱 后量法尺之十寸空处得六寸亦合此不升数而升度也
比例法
有实数于此以某法数分之得某数今又有实于此照前分例求法几何将实尺比前尺数安法尺之前法数上又将实尺比后实数于法尺空处上下推移求至脗合处视法尺之分寸几何即所求数也比类无穷不可胜举引而伸之存乎其人
银四百四十两二百二十人分之人得二两今有银
八百八十两照前二两分数该人几何曰四百四十人
以二百二十人作二寸二分为法将四百四十两作四寸四分为实以实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分土实大降作四分四厘安于法尺二寸二分空处又将八百八十两作八寸八分亦降作八分八厘以实尺比定八分八厘于法尺空处上下推移至四寸四分空处适合以寸为百数即知为四百四十人 前后俱降实故不升且前以人为法银为实后亦以银为实求出法数人降实则不升法也
式银三两给六人今有银七两照前例应给几人曰一十四人
以三两作三寸为法以六人作六分为实将实尺比定六分安于法尺三寸空处乃量法尺七寸空处视得几何今得一寸四分以分为人即知所得为一十四人也 又术以三两作三分为实以六人作六分为法将实尺比定三分安于法尺六分空处又将实尺比定七分在于法尺空处上下推移至法尺一寸四分空处适得脗合一寸四分即一十四人也法实可互更乘除可互用此尺算之异于他算也凡求得数皆以例比即乘除亦无非比例故比例以尺为便
筹算
珠算笔算皆有数而后乘筹算无数而先乘也故乘以筹为防数尽九九除亦因乘故随时施用所遇数更而先乘之数亦变多寡前后相合自成至若零筹无数又无用之用也【零筹多置几根】
开方筹
筹有二曰平方自乘之还原也故用自乘之数曰立方自乘再乘之还原也故用自乘再乘之数
术曰有实有法先将实数查筹从左向右齐列其两筹每格平行线斜方形合成一位并为一数矣或前位有数或后位有数皆一位也或两位皆有数则合为一数次以筹之格为法数如法数是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之再用笔算加法得所求数乗除皆有法实实者现有之物也法者今所用以乗之除之之规则也凡筹算皆以实列位而以筹为法法有几位则用几筹中有零位则用○筹有几○位则用几○筹凡法实不可误用唯乗法或可通融若除法必须细认
凡乗法皆于实末位小数起视原实某数即于筹某行取数列之
一位法式五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两
以五十九人为实八两为法先依实数查第五筹第九筹五左九右并列次依法八查第八格内横数曰二曰七○曰四去○不用自左向右横视之得四百七十二两也得数尾与法尾数同故知为两
二位法式五十四人每人六十四两问共若干曰三千四百五十六两
以五十四人为实六十四两为法依实查五四两筹齐列先依法尾四查第四格曰六曰一○曰二自右向左横列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三进一位横列之用笔算加法得三千四百五十六两也多位法者视此每查格一囘进一位列数此横列之法故従右起梅定九竪列之则应自下而上矣九格内凡遇右尾有○必须列之以存位其○在
数中者说详后式
【并 二一六法三二四】
【得数】三四五六
如一年三百六十日每日一十二时问共几何答曰四千三百二十时
法列一筹二筹看六三两位六位为七二三位为三六合并得四三二
定位法従末位起知未位是十上一位便是百又上一位便是千也若末位是单上一位便是十
二
一
三筹为法式如每岁三百六十五日每日九十六刻该刻几何曰三万五千○四十刻
法列三六五三筹看九六两位六位二一九九位三二八五因六位二一九下有一○则存之以存刻位筹内斜方有○无数式五十四人每人二十八两问共若干曰一千五百一十二两
以五十四人为实查筹并列二十八两为法先查八格曰二曰三○曰四横列之次查二格曰八曰○曰一进一位列之加得合问○斜方之中有数有○则去不用若无数有○则须存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也
筹内斜方并数进十式有八十七人毎人六两问共若干曰五百二十二两
以八十七人为实查筹并列六两为法查六格曰二曰四八曰四其曰四八者并为十二本位存二以十进位作一其曰四者并所进之一为五当自右向左列曰二二五矣自下而上者亦然若自上顺数之则为五二二
法尾有空式如每年三百六十日今三千八百三十年问日该几何曰一百三十七万八千八百○日此因所问止及十数未及单位之日故法尾存单位为日法列三六两筹而后加一○筹先看三位为一○八次看八位进一位为二八八又次看三位又进一位为一○八并之得一三七八八下有○○方至单位但知尾位一圈是单日则各位皆定
实尾位有空式如一十二万日每日九十六刻该则几何曰一千一百五十二万刻法置九六两筹看一二两位二位为一九二一位为○九六因一位上有一圈故必存○位于上然所问为每日则日为单位而所问实止于万则千百十单必须存四空位方能及于单日用零筹式六百零八人每人三十四两问共若干曰二万零六百七十二两
以六百零八人为实查六筹零筹八筹并列三十四两为法先查四格曰二曰三○曰四曰二横列之次查三格曰四曰二○曰八曰一进一位列之加得合问
实数整几十者列一零筹于右整几百者列二零筹于右以定位也
除法【即商法】
术曰有实有法有商别列实数以法数依号查筹従左向右齐列于诸筹九格内查横行数之等于实数或略少于实数者在第几格即是初商数如在第一格即一为初商也次以查得之数减其实数已尽则止一商如未尽则有再商即再查横行内数之等于存实或略少于存实者在第几格即是再商数又以查得之数减其存实如前又未尽则更有三商倘再商已除实虽未尽而次位无实则商有○位即作○以当次商再以存实于格内查之若至余实数少于法数是为不尽法当命分之
凡除以所分之物为实今欲作几分分之为法法与实须审定不可倒置如有粮若干给若干人则当以粮为实以人之数为法除之葢粮数是所分之物人数是用以分之之法也
凡书商数皆与减数第一行相对若所减第一位是○则作○于原实首位上而对之此定位之根也定位法除毕以商得数与原实对位求之皆如法首位之上一位命为单数【归于法前得零古法实如法而一是也】然此有二法有法少实多者従原实内防法首位认定逆转上一位命为单数【如米则为单石钱则为单文】既得单数则上而十百千万下而分秒忽微皆定矣此为正法有法反多而实反少者乃变法也法従原实首位逆遡而上至法首位止又上一位命为单数【此是虚位借之以求实数】既得单数乃顺下求之命所得为分秒之数
一位商式三百二十五两六十五人分之问各若干曰五两
别列三百二十五两为实以六十五人为法查六五两筹左右齐列何格数与实相等一格至四格皆少五格内自左向右曰三二五适等即五为商数也
如太阳每歳行天三百六十度分为七十二候每候几何度曰每候五度此欲分七十二分当以七二为法用两算
先列三百六十度为实次检七二两筹为法视何格内有三六○与相同今在五格则商作五又查所减第一位是三将商数五对三字书之此法少于实也宜于原实内防十度位即法首位也法首再上一位为单度定所得为五度
假令实是三千六百则所得为五十度此亦法少于实法亦于原实内防法首十位再上一位为单位单位空作圈再上一位是十度定所得为五十度用筹同而得数迥异定位之法所以当明
二位商式三千三百二十五两九十五人分之问各若干曰三十五两