周易函书约存 - 第 24 页/共 75 页

焉今考洛书纵横逆顺无往不得加减乘除之法开方勾股之算乃自其未变之先而诸法浑具至洛书而始尽其参伍错综之致云尔 　　大衍圆方之原 　　蓍策之数必以七为用者盖方圆之形唯以径七为率则能得周围之整数勾股之形亦惟以三四为率则能得斜之整数径七固七也勾三股四之合亦七也是故论方圆周围之合数则五十论勾股之合积亦五十此大衍之体也因而开方则不尽一数而止于四十九此大衍之用也开方而不尽一数则蓍策之虚一者是已方面之中函八勾股而又不尽一数则蓍策之挂一者是已唯老阳老隂之数与此密合故作图以明之 　　勾股名义 　　勾【横也】股【直也】【斜也】勾股较【勾股相减也】勾较【勾相减也】股较【股相减也】勾股和【勾与股并也】勾和【勾与并也】股和【股与并也】较和【与勾股较并也】和和【与勾股和并也】和较【与勾股和相减也】较较【与勾股较相减也】 　　勾股求　勾自乘股自乘并之为实用开平方法 　　除之得 　　勾求股　用勾自乘自乘相减所得之数平方开 　　之得股 　　股求勾　用股自乘自乘相减所得之数平方开 　　之得勾 　　周易函书约存卷十二 　　钦定四库全书 　　周易函书约存卷十三　　礼部侍郎胡煦撰原古【冒道分】 　　异乘同除法【泰西谓之三率】 　　以先有之数知今有之数两两相得是生此例莫善于异乗同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故泰西谓之三率异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟同名布与粟为异名矣 　　何以为异乗同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乗是谓异乗若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乗除今粟故曰主乎今有以为言也【置今有粟以异名之布乗之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先冇之二件乗除之也】 　　原价与今物异名以乗原物与今物同名以除泰西以原物为一率原价为二率今有物为三率以二率乗三率而以一率除之即得四率 　　问何以不先除后乗曰以原总物除原物总价则得每物之价以乗今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乗故变为先乗后除其理一也 　　三率法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与后两率之比例等故其数可以互求 　　【今有之二率先只冇其一合前有之二率共为三率以求之而得今冇之余一率是以三求一故曰三率法实四率也】 　　假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四【二率】九【三率】相乗【卅六】为实以三【一率】为法除之必得十二【四率】 　　若互用之以四率为一率三为二率则十二为三率九为四率葢十二与九之比例若四与三也 　　【解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是】 　　若倒用之十二为一率九为二率则四为三率三为四率 　　若以九为一率十二为二率则三为四率四为三率【四九相乘三十六而十二与三相乗亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一四为二三其实同为三十六故以四除之得九以九除之亦复得四】 　　若错综之三为一率九为二率四为三率则十二为四率 　　若以九为一率三为二率十二为三率则四为四率若以十二为一率四为二率九为三率则三为四率若以四为一率十二为二率三为三率则九为四率此又以前图之二与三更之则前两率之第二变为后两率之第一而比例亦等【在前图为三与四若九与十二者此图则三与九亦若四与十二也】 　　若以一率除二率得数以乗三率亦得四率【如以一率三除二率九得三以乗三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先除后乗多有不尽之分故异乗同除为算家大法乃中西两术所同也】 　　笔算并法 　　并法即加法也千与千并百与百并俱从小数始自下而上 　　笔算减法 　　亦千与千并百与百并亦従小数始自下而上本位不足减借上位一数以减之 　　试加差法【凡加皆自下小数起】 　　有九减七减二法凡九减不论单十百千之位亦不计○位只据现有之数而合计之以九除之余者存之列于右次减总数以九除之余者存之列于左两余相比同则无差 　　七减有二法俱论位俱由大数以至小数一法以所加之数分积之凡首数皆作几十以七减之存其余合下数便作几十几如下有○位则此所余之数便作几十以七减之存其余方合三位之数作几十几以七减之若其末有○位不可以其余便为余数亦须作几十之数七减之其余方为所余之数记于右又従首减二行之加数以其余亦记于右又从首减三行之加数以其余亦记于右若所加之数止于三行则以三行所得之数合而七减之存其余列于右然后减总数亦自大数以至小数其○位亦如前法两余相比同则无差一法以所加之数合积之万与万积为一处以七减之以其余并千位之数减毕以其余合百位之数凡所余之数俱作十减至末位止以其余列于右中有○位皆不论矣然后如前减其所得总数相合则无差矣 　　试减差法【凡减皆自下小数起】 　　一法以减数并减余数仍得原数 　　一法以减余之数于原数中减之即得所减之数亦有九减七减二法九减法以减数并减余之数合而九减之以其所余者列于右次并原数亦合而九减之以其余列于左两余相比同则无误【葢必用减数减余二者然后能与原数配也】 　　七减法先以减数从大数始如前七减之法有○位则所余之数亦作十数视其所余者列于右然后以减余之数亦如前七减之法由大数而始递降而七减之亦列于右然后并二者之余数合为一处如过七数仍以七减之不及则并其余列于右次以原数亦如前七减之法由大数而始以七减之存其余列于左两余相比同则无误【如得数原数下冇三○则亦三余而止不可及于四余】 　　试乗差法【凡乗之实数由尾而起乗之法数由大者而起】 　　亦有九减七减二法九减法先以实数积而九减之而纪其余于右次以法数如法九减之而纪其余于左再以左右两减之余相乗得数仍九减之而纪其余于上末以所得之数亦九减之而纪其余于下两余相比同则无误若左右二方内有○即上方亦○又或左为一数即上数亦同右数皆不用乗　七减亦然【几曰十者在本位余者便在第二位】 　　试除差法 　　亦用九减七减二法九减得数记余于左法数记余于右得数与法数相乗记余于上然后以原数九减之记于下而合之 　　七减法先以除数【即法数】如法减之列于左次以得数如法减之列于右次以除数得数之余相乗而减之列于上然后以原数如法减之列于下两数相同知其无悮若使得数除之不尽尚有余数未除则于两数相乗之时合并所余之数而减之 　　试加差法 　　九减式试第一式先减散数去○与九不入减【□本不入 　　数九在减内故不入】并四七【此处除九】五 　　八八六七八八六一五共 　　为七十三九减余一【减去八九七十二】列 　　□左○次并总数三二七七共为 　　一十九九减余一【减去二九一十八】列□右左右相比数同无差通曰此以见数为主不论千百位也 　　七减式试第一式散数首行之左一○作一十七减余 　　三次作 　　三十六 　　七减余一【减五 　　七三十五】次作一 　　十五七减余一【减二七一十四】次作一十四七减无余右下纪○次行左八九作八十九七减余五次作五十七减余一次作一十七七减余三右下纪三【三行余五四行余五】三行依法减余五俱纪右下再以各行纪余○三五五并为十三【此合数也】七减余六乃以总数依法减之余六左右列比无差 　　试减差法 　　九减式试第一式先并减数四二及减余二三一三共 　　为一十五九减余六次并原数 　　二七一五为一十五九减余六 　　左右列比无差 　　通曰九减用实积数亦可葢九数无往 　　不合故也【此二七一五减四二者】 　　七减式试第一式先以减数之左四○作四十七灭余 　　五次作五十二七减余三 　　又以减余之左二三作二 　　十三七减余二次作二十一七 　　减无余次三不足减仍余三【不足】 　　【在末不必作十】三俱纪右下乃以各数纪余之三三并为六不足减仍作六再以原数之左二七作二十七七减余六次作六十一七减余五次作五十五七减余六左右列比无差【此二七一五减四二者】 　　补乗法 　　术曰乗即因也用九因法上列原数【即实数】下列乗数【即法数】齐于右尾算即始右将下一位遍乗上诸位向左逐位纪所乗数于下尽下数乃止诸所纪为散数用加法得所求总数若定总首为何数从乗数左首推至总数左首即知 　　通曰凡以下乗上一数有二位左十右零右即本位也遇十有数而零亦有数者曰平【三四一十二四四一十六之类】本位纪零数左位纪十数遇十有数而零无数者曰足【五四得二十五八得四十之类】本位纪○而其数纪左位也遇十无数而零有数者曰如【一三如三二三如六之类】左位纪○而其数纪本位也旧法纪数每并为一令人难晓凡原尾有○而乗尾无○者虽○亦乗之以存其位乗尾有○而原尾无○者即自乗数之有数位乗起若上下尾与中或俱有○者亦须乗之以存位下数乗上○下○乗上数皆曰某○如某下○乗上○曰○○如○则本位左位俱纪○也 　　十因