益古演段 - 第 5 页/共 11 页

法曰立天元一为圆径加一十步得□丨为方面以自之得□【○二】丨为方田积以十四之得下式□□□ 　　为十四叚方田积于头又立天元 　　圆径以自乗为幂又以十一之得 　　【太○】□便为十四叚圆田积【依密率合以径 　　自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就为十四分母】 　　【也】以并入头位得□□□为十四叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分十四之得一万八千三百五步与左相消得□□□开平方除之得二十一步为密率径也加不及步为方田也 　　依条叚求之十四之积步于上内减十四叚不及步幂为实二十八之不及步为从二十五步常法 　　义曰将此十四个方幂之式 　　只作一个方幂求之自见隅 　　从也 　　第二十四问 　　今有方圆田合一叚共计积一千四百六十七步只云方面与圆径相穿得五十四步问面径各多少答曰方面一十二步　圆径四十二步 　　法曰立天元一为圆径减穿步五十 　　四步得□丨为方田面以自増乗得 　　下式□□丨为方田积于头位再立 　　天元圆径以自之又三之四而一得 　　【元○】□为圆田积也并入头位得□□□为一叚如积寄左然后列真积一千四百六十七步与左相消得□□□倒积倒从开平方得四十二步为圆田径也以减穿步即方面 　　按法内所言倒积倒从即飜积法也盖初商积常减原积此独以原积减初商积倍防常减従步此独以従步减倍防乃平方中之一变也古法多用之今依数布算于后以存其式 　　法列积一千四百四十九步为实以一百零八步为 　　长与一濶又七分半之和即从数求 　　濶初商四十步以一濶七分半乗之 　　得七十步以减和数余三十八步以 　　初商乗之得一千五百二十步为初 　　商积大扵原积反减之余实七十一 　　步乃二因一濶七分半所乗初商之 　　数得一百四十步大扵和数反减之 　　余三十二步为次商防次商二步以 　　一濶七分半乗之得三步半为次商 　　隅凡和数防隅相减此反相加得三 　　十五步半以次商乗之得七十一步为次商积与余积相减恰尽开得濶四十二步 　　依条叚求之穿步幂内减田积为实倍穿步为従一步七分半虚常法 　　义曰二之従步内元减了七分半 　　又叠了一步计虚却一步七分半 　　也 　　第二十五问 　　今有方圆田各一叚共计积一千三百七步半只云方周大如圆周五十八步问方圆各多少【圆依密率】 　　答曰方周一百二十四步　圆周六十六步 　　法曰立天元一为圆周加周差五十 　　八步得□丨为方田周以自増乗得 　　下式□□丨为方周幂便是十六个 　　方田积又就密率分母一十一之得 　　□□□为一百七十六叚方田积于头又立天元圆周以自之为幂又就分一十四之得【元○】□为一百七十六叚圆田积【依密率周上求积合以周自乗又以七乗之如八十八而一为一叚田积也今又周宻上更以十四乗之则合用一百七十六而一故就分便为此数】以添入头位得□□□共为一百七十六叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三万一百二十步与左相消得□□□开平方得六十六步为圆田周也加多步见方周 　　依条叚求之一百七十六之积内减一十一叚多步幂为实二十二之多步为从二十五步常法 　　义曰一百七十六之积步内 　　有一十一个方周方一十四 　　个圆周方也今画此式其一 　　十四个圆周方与一十一个圆周方大小俱同者止为欲见差步权作此式其实合作一十二叚圆式求之其实自见也【按十一方周幂十四圆周幂共积内减去十一不及幂余不及步乗圆周长方二十二圆周幂二十五故以二十二不及步为従二十五为隅也】 　　第二十六问 　　今有方圆田各一叚共计一千四百五十六步只云方周大如圆周方圆周共相和得二百步问二周各多少答曰方周一百二十八步　圆周七十二步 　　法曰立天元一为圆周减于相和二 　　百步得□丨为方周以自乗得□□ 　　丨为方周幂【是十六个方积也】就分三之得 　　□□□为四十八叚方田积扵头再 　　立天元圆周以自之又就分四之得【元○】□亦为四十八叚圆田积并入头位得□□□为四十八叚如积数寄左然后列真积一千四百五十六步就分四十八之得六万九千八百八十八步与左相消得□□□开平方得七十二步为圆田径也减共步则方周 　　依条叚求之三叚和步幂内减四十八之田积为实六之和步为従七益隅 　　义曰减时减过一个方六之従步内又欠六个方共虚了七步故以为益隅 　　第二十七问 　　今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方面不及圆径一十二步圆依密率问面径各多少答曰方面三十步　圆径四十二步 　　法曰立天元一为方面加不及一十 　　二步得□丨为圆径以自之得□□ 　　丨为圆径幂以一十一之得下式□ 　　□□便为十四个圆积于头再立天 　　元方面以自之又就分一十四之得【元○】□为十四个方积也并又头位得□□□为十四叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分一十四之得三万二千四步与左相消得下式□□□平方开之得三十步即方面也加不及一十二步即圆径也依条叚求之十四之真积内减一十一叚差步幂为实二十二之差步为従差步即不及步二十五歩常法 　　义曰十四之积步内有一十 　　一个圆径方与一十四个方 　　面方此式与第二十五问畧 　　同其一十一个圆径幂有十一个方正当十一叚之其数自见也 　　第二十八问 　　今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方周不及圆周一十二步问周各若干【圆依密率】 　　答曰方周一百二十步　圆周一百三十二步 　　法曰立天元一为方周加不及步一十二得【太□】丨为圆周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□ 　　为一百七十六叚密率积扵头再立 　　天元方周以自之为方积一十六叚 　　又就分一十一之得【元○】□便为一百 　　七十六叚方田积并入头位得下式 　　□□□为一百七十六叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四十万二千三百三十六步与左相消得□□□开平方得一百二十步为方周加不及步即圆周也依条叚求之一百七十六之真积内减十四叚差步幂为方实二十八之差步为従二十五常法 　　义曰所减数乃十四叚不及 　　步幂也 　　第二十九问 　　今有方圆田各一叚共计积一千四百四十三步只云圆周大如方周方圆周并得一百九十八步问二周各多少 　　答曰方周九十六步　圆周一百二步 　　法曰立天元一为方周减共步一百 　　九十八得□丨为圆周以自増乗得 　　□□丨为十二叚圆田积四之得下 　　□□□为四十八叚圆田积扵头再 　　立天元方周以自之为十六叚方田积又就分三之得【元○】□便为四十八叚方田积并入头位得□□□为四十八叚如积寄左然后列真积一千四百四十三步就分母以四十八乗之得六万九千二百六十四与左相消得□□□开平方得九十六步为方周也减于并数见圆周也依条叚求之四叚共步幂内减四十八之积为实八之共步为従七益隅 　　义曰八之从内合虚八个方今见有一个方外只虚了七步方也 　　第三十问 　　今有圆田二叚【一叚依圆三径一率一叚依密率】共积六百六十一步只云二径共相和得四十步问二径各数 　　答曰密径一十四步　古径二十六步 　　法曰立天元一为密径以减相和四十步得□丨为古径以自之得下□□丨为古径幂以三因之得□ 　　□□合以四约之又就分母七之得 　　□□□为二十八叚古圆积于头再