益古演段 - 第 2 页/共 11 页

周以自之【元○】丨为十二段圆池 　　积【圆周幂为九个圆径幂每三个圆径幂为四个圆池积今九 　　个圆径幂共为十二个圆池积也】又就分四之 　　得【元○】□为四十八个圆池积以减头位得□□丨为四十八段如积寄左然后列真积一十三亩二分以亩法通之得三千一百六十八步又就分母四十八之得一十五万二千○六十四步与寄左相消得□□丨平方开之得七十二步为内圆周也三而一为池径 　　依条段求之四十八段田积内减三段不及步幂为实六之不及为从一虚隅 　　义曰每一个方周方为十六段方田积今三之为四十八段方田积也内除了三个圆周幂外于见积上虚了一个圆周幂也今求圆周故以一步为虚隅法旧术曰以十六乗田积为头位【以合方周之积】以不及步自乗减头位余三之为实六之不及步为从法防常以一步为减从法 　　第六问 　　今有方田一段内有圆池水占之外计地二千六百七十三步只云内圆周与外方靣数等问各多少答曰外方靣内圆周各五十四步 　　法曰立天元一为方靣【便是圆周】以 　　自之得元丨便为十二段池积 　　也再立天元方靣以自之又十 　　二之得【元○】□为十二段方田积 　　也二数相减余【元○】□为十二段如积寄左然后列真积就分母十二之得□与左相消得□□平方开之得五十四步为方靣亦为圆周径也 　　依条段求之十二之真积为实无从一十一步常法 　　义曰一个方田积便是一 　　个圆周积也一个圆周积 　　便是十二个圆池积今将 　　一十二个圆池积减于十 　　二个方田积通有十一段方田积也 　　旧术曰以十二乗田如十一而一所得开方除之合前问也 　　又法立天元一为等数以自之为外田积又就分母九之得【元○】□为九个方田积于头又立天元等数以自之为十二个圆池积也三之四而一得【元○】□为九个圆池以减头位得【元○】□为九段如积寄左然后列真积就分九之得二万四千○五十七步与左相消得□○□平方开得五十四步为等数也 　　依条段求之九之积为实无从八步二分半为常法义曰每一个方幂为十二个圆池今将见有底九个 　　圆池去了七分半余二分半并 　　实有八个方恰是八个二分半 　　也 　　又法立天元一为径以三之为 　　外方靣以自之得【元○】□为外方积于上再立天元圆径以自之三之四而一得【元○】□为圆池积也以此圆积减方积得【元○】□为一段如积寄左然后列真积与左相消得下式□○□平方开得一十八步为圆径也 　　以条段求之积为实八步二分半为常法 　　义曰中间一方除圆池四分之 　　三外有四分之一即是一步内 　　得二分半也 　　旧术曰列积步以八步二分半 　　为法除之所得再开方见内圆径 　　第七问 　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一千三百五十七步只云外方靣不及内池周一十四步问方圆各多少 　　答曰方靣四十步　圆周五十四步 　　法曰立天元一为外方加不及 　　一十四步得□丨为内周以自 　　増乗得□□丨为十二个圆池 　　积于头再立天元方靣以自之 　　又十二之为十二个方田积内减头位得□□□为十二段如积寄左然后列见积一千三百五十七步就分母十二通之得一万六千二百八十四步与左相消得□□□开平方得四十步为外方靣也依条段求之十二之积内加入不及步幂为实二之不及步为虚从十一步常法 　　义曰其十二段积内起十二个圆池其十二个圆池补成一个圆周方其圆周多于方靣十四步故 　　自之为幂加入所 　　欠之一角又二之 　　为虚从恰得十一 　　个方也 　　第八问 　　今有方田一段内有圆池水占之外有地一十三亩七分半只云内外方圆周共相和得三百步问方圆周各多少 　　答曰外方周二百四十步　内圆周六十步 　　法曰立天元一为圆径以三之 　　为圆周以减共步得□□为方 　　周以自増乗得□□□为十六 　　段方田积于头再立天元圆径 　　以自之又十二之得【太○】○□为十六个圆池积以减头位得□□□为十六段如积寄左然后列真积一十三亩七分半以亩法通之得三千三百步又就分母一十六通之得五万二千八百步与左相消得□□□开平方得二十步为圆池径又三之为圆周也依条段求之和步幂内减十六之见积为实六之和步为从三步常法 　　义曰十六个圆池该十二个方内从步合除去九个方外犹剰三个方故以三步为常法也 　　旧术曰列相和步自乗为头位又以十六之田积减头位又六而一为实以相和步为从法廉常置五分 　　第九问 　　今有方田一段内有圆池水占之外计地三千一百六十八步只云内外周与实径共相得三百三十步问三事各多少 　　答曰外方周二百四十步　实径十八步　圆周七十二步 　　法曰立天元一为池径以五之 　　减倍之相和步得□□为九个 　　方靣以自増乗得□□□为八 　　十一段方田积于头位【二之相和步别】 　　【得是八方面六圆径二实径今二实径与一圆径就成一方靣共前数计九方靣五圆径却更无实径也】再立天元池径以自之又以六十步七分半乗之得【元○】□为八十一个圆池【所以用六十步七分半乘之者欲齐其八十一分母也每个圆池七分半以八十一通之得六十步七分半也】以此减头位余□□□为八十一段如积寄左然后列真积三千一百六十八步以八十一通之得二十五万六千六百○八与 　　左相消得下□□□　　　　　　　　　　　　　【步】开平方得二十四步为池径也五因池径减倍相和余九而一得方田靣以池径减方余折半为实径 　　依条段求之倍共步自乗于头以八十一之田积减头位余为实二十之共步为从三十五步七分半为常法 　　义曰八十一个方田内起八 　　十一个圆池每个圆池七分半 　　此八十一个计该六十步七分 　　半其从步内合除去二十五个 　　外犹剰三十五个七分半故以之为常法也 　　旧术曰倍相和步自乗为头位又以八十一乗田积减头位余退一位为实倍相和步为从法廉常置三步五分七厘半 　　第十问 　　今有方田一段内有圆池水占之外计地三千一百六十八步只云内外方圆周与斜径共相和得三百四十二步问三事各多少 　　答曰外方周二百四十步　内圆周七十二步 　　斜三十步 　　法曰立天元一为池径以二十 　　五之减于十之相和三千四百 　　二十步得□□为四十七个外 　　方靣以自増乗得□□□为二 　　千二百九段方田积于头位【十之相和步三千四百二十为方靣四十个内池径三十个斜至步一十个以一十个斜至步合入五个池径共得五斜此五斜却便是七个方靣计总数该四十七个方靣二十五个圆径外更无斜至步也】再立天元池径以自之又以一千六百五十六步七分半乗之得【元○】　□为二千二百○九个圆池积也【所以用一千六百五十六步七分半乗之者欲齐其二千二百○九分母也每一个圆池积七分半今有二千二百○九个圆池积以七分半乘之该一千六百五十六步七分半也】以此减头位得□□□为二千二百九段如积数寄左然后列真积三千一百六十八步以分母二千二百九通之得六百九十九万八千一百一十二步与左相消得□□□开平方得二十四步即池径也以二十五之圆径减十之和步余四十七而一得为外方靣身加四内减了圆池径余折半为斜径也 　　按法内所用四十七方靣之数亦由立天元一法取出但截去前段恐初学不能无疑兹仍依其法补之 　　法立天元一为池径五因之以减倍和得□□为八方靣一斜共数以方五因之得□□为实又以方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七并之得四十七为法除实得方靣不除便为四十七个方靣也 　　依条段求之相和步进一位自乗于头位以二千二百九之真积减头位余为实五百之和步为益从一千三十一步七分五厘为益隅 　　义曰减数系是二千二百九段方靣幂内却漏下二千二百九个圆池此数该一千六百五十六个七分 　　圆径幂却于从步上叠用了六 　　百二十五个池径幂外犹剰一 　　千三十一个七分五厘故以之 　　为隅法其从法元有五十个圆 　　径今命为之五百者縁相和步进一位也 　　旧术曰列相和步进一位自相乗为头位以二千二百九之积减头位余以三之为实又以一千五百之相和步为从法廉常置三千九十五步二分半开平方见池径