益古演段 - 第 4 页/共 11 页

为内方周以自増乗得下式□ 　　□丨为十六段池积于头再立 　　天元外圆径以自之又十二之 　　得【元○】□为十六段田积也内减 　　头位余□□□为十六段如积寄左然后列真积一千六百一十一步就分母十六之得二万五千七百七十六步与左相消得□□□平方开得五十四步为外圆径也加不及步为内方周也 　　依条段求之置十六之积加不及步幂为实倍不及步为虚从一十一步为常 　　义曰十二个圆径 　　幂该十六个圆田 　　积十六个圆田积 　　内有十六个方池其十六个方池于实积内侵过所加一角并二段虚从之数也 　　第十八问 　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三百四十七步只云外圆周内方周共得二百八步问内外周各多少 　　答曰外圆周一百八步　内方周一百步 　　法曰立天元一为内方靣以四 　　之为内方周减于相和二百八 　　步得□□为外圆周以自增乗 　　得□□□为圆周幂便为十二 　　段圆田积于头再立天元内方靣以自之又就分十二之得【元○】□为十二段方池积也以减头位余□□□为十二段如积寄左然后列见积三百四十七步就分母十二之得四千一百六十四步与左相消得□□□开平方得二十五步为内方靣也四之为内方周减于相和步为圆周也 　　依条段求之以十二之积步减和步幂为实八之和步为虚从四常法 　　义曰十二段圆田内有十二个 　　方池于方周幂内补了十二池 　　外犹欠四个故以四为隅法此 　　式元系虚从今却为虚隅命之 　　故以四为虚常法 　　旧术曰相和步自乗于头位以十二之积步减头位余八而一为实相和步为从法廉常置半步减从第十九问 　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三十三亩一百七十六步只云内外周与实径共相和得六百二步问三事各多少 　　答曰外圆周三百六十步　内方周二百八步 　　实径三十四步 　　法曰立天元一为内方靣以减一百七十二得□丨为外田径也【倍云数得一千二百四步别得是六个圆径八个方靣两个实径今将一个方靣两个实径合成一个圆俓并前数而计是七个方靣七个圆径也今置一千二百四步在地以七约之 　　得一百七十二步为径靣共也便是一个方靣一个圆径更无 　　实径也】以自增乘得□□丨为圆 　　径幂也以三之得□□□为四 　　段圆田积于头再立天元内池 　　靣以自之又就分四之得【元○】□为四池积以减头位得□□丨为四段如积寄左然后列见积八千九十六步又就分四之得三万二千三百八十四步与左相消得□□丨开平方得五十二步为内方靣也以七之方靣减于倍和步余以七而一即圆径也圆径内减方靣余者又半之即实径也 　　依条段求之径靣共一百七十二也自之为幂又三之于头位内减四之见积余为实六之径靣共步为从一常法 　　义曰四之真积内有四个方池于从法内叠周了三个外剰一个故以一步为常法 　　旧术曰倍相和步自乗三之为头位以一百九十六步【按此即四与四十九相乗之数】之田积减头位余以十四而一为实又六之相和步为从法廉常置三步半开平方见内方靣 　　第二十问 　　今有圆田一段内有方池水占之外计地二千四百七十五步只云内外周与斜径相和得二百五十九步半问三事各多少 　　答曰外圆周一百八十步　内方周六十步　斜 　　十九步半 　　法曰立天元一为内方靣以三 　　十三之减于十之云数二千五 　　百九十五步得□□为三十五 　　个圆田径【十之云数内有外圆径三十个内方靣四】 　　【十个角斜十个今将七个方靣并入十个角斜为五个圆径也总别得十之云数是方靣三十三个圆径三十五个外更无斜径角也】乃以三十五之圆径自増乗得下式□□□为一千二百二十五段圆径幂也以三因之得□□□合以四除之今不除便为四千九百段圆田积于头再立天元内池靣以自之又就分以四千九百乗之得○□为四千九百段方池积以减头位得□□□为四千九百段如积数寄左然后列真积二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千二百一十二万七千五百步与左相消得□□□平方开得一十五步为内方靣方【三十三之方靣以减于十之相和二千五百九十五步余三十五而一即圆径以方靣加四减圆径余半之即斜径也】 　　依条段求之十之相和步自之为幂以三之于头位以四千九百段见积减头位为实一千九百八十之相和步为从一千六百三十三为常法 　　义曰减数计三千六百七十五个圆径幂便是四千九百个圆田积也内漏下四千九百个方池却于从 　　内叠用了三千二 　　百六十七个方池 　　外犹剰一千六百 　　三十三个方靣幂故以之为常法也其从法元有一百九十八个方靣合用一百九十八之相和步为从今用一千九百八十个相和步者縁为相和步先进了一位也 　　第二十一问 　　今有方田三段共计积四千七百七十步只云方方相较等三方靣共并得一百八步问三方多少 　　答曰大方靣五十七步　中方靣三十六步　小 　　方靣一十五步 　　法曰立天元一为方差以减中方靣 　　【置并数三而一即得中方靣】得□丨为小方靣也 　　以自之得□□丨为小方积于头再 　　立天元方差加入中方靣得□丨为 　　大方靣以自之得□□丨为大方积于次位又列中方靣□自之得下□为中方积于下位三位相并得□○□为一段如积数寄左然后列真积四千七百七十步与左相消得□○□开平方得二十一步即是方差也【置方差数加中方即大方靣减中方即小方靣也】 　　依条段求之列并数以三约之所得即中方靣也以自之为幂又三之以减积为实无从二步常法义曰积步内减三个中方幂外有两个方故得二步 　　常法旧术又折半止得一个 　　方也 　　第二十二问 　　今有方田一段其西北隅被斜水占之外计地一千二百一十二步七分半只云从田东南隅至水楞四十五步半问田方靣多少 　　答曰田方靣三十五步 　　法曰立天元一为水占斜加入 　　云数四十五步半得□【元丨】为田 　　斜以自増乗得□步□丨为田 　　斜幂于头再立天元一水占斜 　　以自之为水占得小方积就分以一步九分六厘乗 　　之得【元○】□　　　　　　　　　【步】为所展得水占积也以减头位得□□ 　　□　　　　　　【步】为如积一段寄左然后列真积一千二百一十二步七分半以一步九分六厘乘之得二千三百七十六步九分九厘与左相消得□□□开平方得三步半为水占斜加至步为田斜身外减四即是方靣也 　　依条段求之展积内减至步幂为实二之至步为从九分六厘虚常法开平方得三步半即水占斜也义曰今将水占斜直命为小方池靣也 　　旧术曰列田积于头位又列至步除四则直至步以 　　自乗减头位余为实二之直至 　　为从以九分六厘为廉从开平 　　方得二步半加直至步三十二 　　步半得三十五步即田方靣也 　　此图即旧术条段也旧术减云 　　步为直至步入法而求得二步 　　半为直至不及方靣步新术展 　　积入法而求得三步半为水占 　　斜 　　益古演段卷上 　　钦定四库全书 　　益古演段卷中　　　　　　元　李冶　撰第二十三问 　　今有圆方田各为叚共计积一千三百七步半只云方面大如圆径一十步圆依密率问面径各多少答曰方面三十一步　圆径二十一步