新法算书 - 第 14 页/共 181 页

如求三十度之余视正弧表上与同位者为余六十度即向正弧六十度取其八六六○二五四即三十度之余【表上逆列同位者为五十九度六十分而此言六十度盖并其六十分为六十度其逆列六十度者则是六十一度何者凡所书弧分皆所书弧度之算外分故也】 　　又如求五十度○分之余本表逆列同位者为三十九度六十分即于正表上简三十九度六十分之 　　得六四二七八七六即所求 　　三系测三角形欲得见弧【见弧者有己得之弧而求其也隠弧者有己得之而求其弧也凡己得者称见未得称隠诸线诸角之属皆仿此】之各线查表之本度分直取之则各线咸在也如弧三十度求其割圆各线即查表之三十度初分又查其同位之六十度所得如左三十度【初分】正　　五○○○○○○ 　　切线　　五七七三五○三 　　割线　　一一五四七○○五 　　余【五十九度六十分】　　　八六六○三五四 　　切线　　一七三二○五○八 　　割线　　二○○○○○○○ 　　四系有钝角求其各线如钝角一百四十二度六分其正则以一百四十二度六分减半周余三十七度五十四分查表求其正得六一四三八五三 　　如上丙丁正当丙乙小弧亦当丙戊大弧故当丙甲丁鋭角亦当丙甲戊钝角何者甲上鋭钝二角原当两直角而表上无钝角之弧与其正故减钝角于百八十度得鋭角三十七度五十四分其半丙丁以当丙戊大弧即以当大弧之 　　钝角也 　　表用二　有正求其弧 　　与前题相反如有正八八八八八三九欲求其弧查表上正格得此数即得本度为六十二本分为四十四也 　　又如正五七六五八三四求弧查表无此数即取其近而畧小者得三十五度十二分之为五七六四三二三与见相减余一五一一又取其近而畧大者得五七六六七○○与前小相减余二三七七以此大差当六十秒用三率法以二三七七大差为第一率以六十秒为第二率以一五一一小差为第三率而得第四率为三十五度十二分三十秒即所求他各线求俱仿此 　　表用三　有弧求其通 　　如七十五度四十八分之弧求通其法半之得三十七度五十四分求其正得六一四二八五二倍之得一二二八五七○四即所求 　　如甲乙弧七十五度四十八分半之为乙戊弧求得乙丁正倍之即乙丁甲通也因通无表故用半弧正倍之即是他准此 　　表用四　有弧求其大小矢 　　如乙丁弧三十七度五十四分求两矢查表截矢数得乙丙小矢为二一○九一五九以减全径二○○○○○○○得大矢一七八 　　九○八四一如表无小矢即求见弧之余得七八九○八四一以减半径得小矢 　　测平篇第六 　　测平者测平面上三角形也凡此形皆有六率曰三边曰三角角无测法必以割圆线测之其比例甚多今用四法以为根本依此四根法可用大测表测一切平面三角形亦执简御繁之术也凡测三角形皆用三率法【即同比例】三率法又以相似两三角形【几何六卷四】为宗下文详之 　　根法一　各三角形之两边与其各对角两正比例等一云右边与左边若左角之与右角之 　　如上甲乙丙平面三角形其甲丙两为鋭角即以甲为心甲乙为半径作乙戊弧次作乙己垂线即乙戊弧之正亦即甲角之正也又以甲乙为度从丙截取丙庚从丙心庚界作庚辛弧又作垂线庚丁即庚辛弧与丙角之正 　　也题言乙角之甲乙右边与乙丙左邉若左角丙之庚丁正与右角甲之乙己正 　　论曰乙丙己三角形有乙己庚丁两平行线即乙丙与乙己若庚丙与庚丁而丙庚原与甲乙等即乙丙与乙己若甲乙与庚丁更之即甲乙与乙丙若庚丁与乙己如上甲乙丙形乙为直角有丙乙丁戊两平行线即甲丙与丙乙若甲丁与丁戊而乙丙与甲丁等即甲丙与丙乙若丙乙与丁戊反之则丙角之丙乙右边与丙甲左边若左角 　　甲之丁戊与右角乙之丙乙 　　如上甲乙丙形乙为钝角其正丙壬而甲戊线与乙丙等甲角之正为戊己题言丙角之甲丙右边与丙乙左边若左角乙之丙壬与右角甲之戊己何也试于形外引 　　甲乙至丁作丙丁线与丙乙等即丁角与乙鋭角等依首条甲丙与丙丁若丙壬与戊己即甲丙与丙乙亦若丙壬与戊己 　　总论之各三角形各两边之比例与两对角之两正比例等者何也试于形外作切圏则三边为三而本形之各边皆为 　　各对角之通即乙丙邉与甲乙邉若甲角之与丙角之也当已即是岂止同比例而已乎夫全与全半与半比例等则各半与各通之比例亦等此题为用对角根本 　　根法二　各三角形以大角为心小边为半径作圏而截两边各为圏内外两线即底线与两腰并若腰之外分与底之外分 　　如上甲乙丙形其小邉甲丙其底乙丙以甲为心甲丙为半径作圏截底于戊截大腰于庚题言乙丙底与乙甲甲丙两腰并若腰外分乙庚与底外分乙戊 　　论曰试作乙己引出线即甲己与甲丙等而乙己与两腰并等乙己乙庚矩内形与乙丙乙戊矩内形两容等【几何三卷三五】即两形邉为互相视之边而乙己与乙丙若乙戊与乙庚既得乙戊底外分以减全底得戊丙半之得垂线所至为丁丙 　　此题为用垂线根本 　　根法三　有两角并之数又有其各正之比例求两分角之数 　　如上乙甲丙角有其弧乙辛丙之数其两分之大角为乙甲壬小角为壬甲丙未得数但知大角正乙丁小角正丙戊之比例亦未得数而求两分角之数其法以乙辛丙弧两平分于辛作甲辛线乙甲辛辛甲丙两角等而辛甲壬 　　角为半弧与小弧之差又为大弧与小弧之半差次截辛庚弧与辛戊等作甲庚线即庚甲壬角为大小两弧之差夫乙丙者总角之乙丑平分弧之正而己辛为乙辛半弧之切线辛癸为辛丙半弧之切线此二线等而辛壬辛庚各为半差弧之切线亦等又乙丁子子丙戊两形为两正上三角形此两形之丁与戊皆直角又同底即两正之对角为子上两交角亦等【几何一卷十题】而丁乙子子丙戊两角亦等【几何一卷三二】则两形为相似形而乙丁正 　　与丙戊正若乙子与子丙【几何六卷四】先既有乙丁丙戊两正之比例即得乙子与子丙之比例而又得乙子与子丙之较为子寅夫乙丙己癸两线同为甲辛半径上之垂线即平行甲乙丙甲己癸两形之各角等即为相似之形【六卷四】而两形内所分之各两三角形如甲庚癸甲寅丙之类俱相似即以两线之并数乙丙为第一率以两线之差数子寅为第二率以两半弧之两切线己癸为第三率则得两差弧之切线庚壬为第四率矣而此比例稍繁别有简者则半之曰丙丑与子丑若癸辛与壬辛也有更简者则曰乙丙与子寅若辛癸与辛壬也今用第三法云乙丙为两邉之并数子寅其较数辛癸为两角总数内半弧之切线而辛壬为大小两角较弧之切线既得辛壬切线即得辛甲壬角以加乙甲辛半角即得乙甲壬大角以减辛甲丙半角即得壬甲丙小角 　　以数明之乙甲丙角为四十度所包大小两隠角为乙甲壬壬甲丙其两正乙丁丙戊之比例为七与四即乙子子丙之比 　　例亦七与四而乙丙之总数如十一平分之于丑即乙丑丑丙各得五有半而乙辛辛丙两弧各二十度又以大线七与半线相减余一有半以半线五有半与小线四相减亦余一有半又甲辛为半径即辛丙二十度弧之切线辛癸为三六三九七○二即以丑丙五有半为第一率以辛癸切线三六三九七○二为第二率以子丑一有半为第三率而得辛壬切线九九二六四六为第四率既得第四率即得辛壬所当辛甲壬角为五度四十○分八秒以减辛丙二十度余壬甲小角一十四度一十九分五十二秒以加半弧乙辛得乙甲壬大角二十五度四十○分八秒 　　此题为用切线根本 　　根法四　凡直角三边形之各邉皆能为半径 　　其一以线为半径作弧即余两腰包直角者各为其对角之正 　　如上甲乙丙形其乙丙为对直角之线以为半径作丁丙弧即甲丙小腰为对角乙之正甲乙大腰为对角丙之正 　　其二以大腰为半径即小腰为小角之切线而线为 　　小角之割线 　　如上甲乙大腰为半径即甲丙小腰为乙小角之切线而乙丙为乙角之割线 　　其三以小腰为半径即大腰为大角之切线而线为大角之割线 　　如上甲丙小腰为半径即甲乙大腰为丙大角之切线而乙丙线为其割线 　　此题为用割圆各线根本 　　新法算书卷十 　　测天约説叙目 　　测天者脩厯之首务约説者议厯之初言也不从测无縁推筭故测量亟矣即测推筭亦非甚难不可几及之事所难者其数曲而繁其情密而隠耳欲御其繁曲宜自简者始欲穷其密隠宜自显者始约説之义则总厯家之大指先为简显之説大指既明即后来所作易言易知渐次加详如车向康庄此为发轫已又古之造厯者不欲求明抑将晦之诸凡名义故为隠语诸凡作法多未及究论其所从来与其所以然之故墙宇既峻经途斯狭后来学者多不得其门而入矣此篇虽云率略皆从根源起义向后因象立法因法论义亦复称之务期人人可明人人可能人人可改而止是其与古昔异也或云诸天之説无从考证以为疑义不知厯家立此诸名皆为度数言之也一切逺近内外迟速合离皆测所得舍此即推步之法无从可用非能妄作安所置其疑信乎若夫位置形模实然实不然则天载幽人灵浅尠谁能定之姑论而不议可矣都为二卷共八篇如左 　　钦定四库全书 　　新法筭书卷十一　　　　　　明　徐光启等　撰测天约説卷上 　　首篇 　　度数之学凡有七种共相连缀初为二本曰数曰度数者论物几何众其用之则筭法也度者论物几何大其用之则测法量法也【测法与量法不异但近小之物寻尺可度者谓之量法逺而山岳又逺而天象非寻尺可度以仪象测知之谓之测法其量法如筭家之专术其测法如算家之缀术也】既有二本因生三干一曰视人目所见一曰听人耳所闻一曰轻重人手所揣耳所闻者因生乐器乐音手所揣者因生举运之器举运之法惟目视一又生二枝一曰测天一曰测地七者在西土庠士俱有专书今翻译未广仅有几何原本一种或多未见未习然欲略举测天之理与法而不言此理此法即説者无所措其辞听者无所施其悟矣七者之中音乐与轻重别为二家故兹所陈特举其四曰数曰测量曰视曰测地四学之中又每举其一二为卷中所必需其余未及缕悉者俟他日续成之也为他篇所共赖故列于篇次之外曰首篇欲知他篇须知此篇故又名须知篇 　　数学一题 　　比例者以两数相比论其几何 　　比例有二一曰相等之比例一曰不等之比例若二数相等以此较彼无余分名曰等比例也若二数不等又有二一曰以大不等一曰以小不等如以四与二相比四之中凡为二者二是为以大即命曰二倍大之比例也如以二与四相比倍其身乃得为四是为以小即命曰二分之一之比例或命曰半比例也 　　测量学十八题 　　第一题至十四题论测量之理 　　第十五题至第十八题论测量之法 　　几何原本书中论线论面论体今第一至第五论线也第六至十四论体也此书中不及面故不论面几何原本中多言直线圜线其理易明今不及论论其稍异者五题前二题言独线后三题言两线 　　第一题【独线一】 　　长圆形者一线作圏而首至尾之径大于腰间径亦名曰瘦圈界亦名撱圏 　　如甲乙丙丁圏形甲丙与乙丁两径等即成圏今甲首至丙尾之径大于己至庚之腰间径是名长圆或问此形何从生荅曰如一长圆柱横断之其防处为两面皆圆形若防处稍斜其两面必稍长愈斜愈长或 　　称卵形亦近似然卵两 　　端大小不等非其类也 　　【指其面曰平长圆若成体曰立长圆】 　　第二题【独线三】 　　蛇蟠线者于平面上作一线自内至外恒平行恒为圏线而不遇不尽如上图自甲至乙者是 　　旋风线者于平圆柱上作一线亦如蛇蟠但蜿蜓腾凌而 　　上如旋风也 　　如上图自甲至乙者是 　　螺旋线者于球上从腰至顶作一线如蛇蟠而渐髙如旋 　　风而渐小 　　如上图自甲至乙者是 　　此书独用螺旋线欲解其形势故备言之