新法算书 - 第 13 页/共 181 页
解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧为六十度而戊己戊丁两弧等其前两正一为己辛一为丁庚其
较丁癸题言丁癸较与己壬壬丁两正各等论曰试作一己子线则丁己子成三邉等角形何也此形中有子丁壬壬己子两三角形此两角形等又何也子壬同腰而丁壬壬己两腰等则丁壬己壬两直角亦等而丁子子己
两底亦等子丁己子己丁两角亦等又丙戊弧既六十度其余戊乙弧必三十度而乙甲戊角为三十度角甲乙庚丁既平行甲戊线截二线于子即内外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己为六十度角也丁与全己全子三角既等两直角【一之三十二】则共为一百八十度于中减全子角六十度则丁己两全角百二十度而此两角既等即各得六十度则此形之三角三边俱等夫丁己己子两线等则己癸垂线所分之丁癸子癸两直角亦等而己癸同腰则丁癸与癸子必等丁癸为丁子之半丁壬为丁己之半全线等则所分必等是丁癸与丁壬等与壬己亦等
系题两弧各有其正半两半至弧之防在六十度之左右而距度防等则前两正半之较即后两半如图丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半己辛先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半为丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半其法以己辛丁庚两半相减得丁癸较一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半【此数半径设一万】
次系有六十度左右相离弧之正一率又有其原正一率而求其相对之彼正其法有二一以大求小一以小求大以大求小者用大弧之正与相离弧之正相减其较为小弧之正【余则称余倒则称倒】以小求大者用相离弧之半加小弧之半即大弧之半如上丁壬离弧之正即己壬与丁癸较等为一千七百三十六丁庚大为九千三百九十六相减得癸庚七千六六○即
己丙弧之己辛小反之丁癸较为一千七百三十六【即丁壬离】以加于癸庚【即辛己小】七千六百六十得丁庚大九千三百九十六
用此法于象限内先得半六十率用加减法即得其余三十率
简法二 有两弧不等之各正又有其各余而求两弧相加相减弧之各正其法有二一相加一相减相加者以前弧之正乘后弧之余弦以后弧之正乘前弧之余各得数并之为实以半径为法而一得两弧相加为总弧之正相减者亦如前法互乘得各
数相减余为实以半径为法而一为
两弧相减弧之正
如上甲乙前弧二十度乙丙后弧十
五度总三十五度其差五度甲乙弧之半为三四二○二○一其余弧甲丁之半为九三九六九二六乙丙弧之半为二五八八一九○其余弧乙丁之半为九六五九二五八以甲乙半与丙丁余之半乘得三三○三六六○三八七○八五八以乙丙半与甲丁余乘得二四三三二一○二九九○五七四○以相加得五七三五七六三【以下满半收为一不满去之】三七七六五九八以半径为法而一得五七三五七六三即三十五度弧之半若以相减则余八七一五五七三九六五一一八以半径为法而一得八七一五五七即○五度弧之半此题多罗某所用全故説中云半而图与数皆全然全与全半与半比例等则亦未有异也
有前六宗率为资有后三要法为具【资为材料具如器械】即可作大测全表
如用前法求得十二度弧之正半率而求其相通之他率
弧 度 分 用法得半数
正弧 一二 二○七九一一七
【半之】 ○六 一○四五二八五
【又半之】 ○三 五二三三六○
【又半之】 ○一三○ 二六一七六九
【又半之】 ○○四五 一三○八九六其余弧 八四 【六度之余】第一九九四五二一九八七 【三度之余】 九九八六二九五八八三○【一度半之余】 九九九六五七三八九一五【○度四十五分之余】 九九九九一四三
弧 度 分 用法得正数
【半其余八十四度】四二 六六九一三○六
【半之】 二一 三五八三六七九
【又半之】 十○三○ 一八二二三五五
【又半之】 ○五一五 九一五○一六
【半其余八十七度】四三三○ 六八八三五四六
【又半之】 二一四五 三七○五五七四
【半其余八八三○】四十四 十五 六九七七九○五又用前七率之余弧而求其正
四八 【四十二之余】第一七四三一四四八六九 【二十一之余】 九三三五八○四七九三○【十度半之余】 九八二二五四九八四四五【五度十五分之余】 九九五八○四九四六三○【四十三度半之余】 七二五三七四四六八一五【二十一四十五分余】 九二八八○九六四五四五【四十四十五分之余】 七一六三○一九
又半前七率而求其正
二四 【四十八之半】 四○六七三六六
弧 度 分 用法得正数
三四三○【六十九之半】 五六六四○六二一七一五【三十四三十分之半】 二九六五四一六三九四五【七十九三十分之半】 六三九四三九○二三一五【四十六三十分之半】 三九四七四三九
又用前五率之余弧而求其半
六六 【二十四之余】第一九一三五四五五五五三○【三十四三十分之余】 八二四一二六二七二四五【十七度十五分之余】 九五五○一九九五○一五【三十九四十五分余】 七六八八四一八六六四五【二十三度十五分余】 九一八七九一二
又半前五率而求其正
三三 【六十六之半】 五四四六三九○一六三○【三十三之半】 二八四○一五三○八一五【一十六三十分之半】 一四三四九二六二七四五【五十五三十分之半】 四六五六一四五
又用前四率之余弧而求其正
五七 【三十三之余】第一八三八六七○六
弧 度 分 用法得正数
七三三○【十六度三十分之余】第一九五八八一九七八一四五【八度十五分之余】 九八九六五一四六二一五【二十七四十五分余】 八八四九八七六
又半前四率而求其正
二八三○【五十七度之半】 四七七一五八八一四一五【二十八三十分之半】 二四六一五三三三六四五【七十三三十分之半】 五九八三二四六
又用前三率之余而求其正
六一三○【二十八度三十分余】第一八七八八一一一七五四五【十四度十五分之余】 九六九二三○九五三一五【三十六四十五分余】 八○一二五三八
又半前六十一度三十分而求其正
三○四五 五一一二九三一
又用前三十○度四十五分之余而求其正
五九一五 第一八五九四○六四
已上皆十二度所生之率再用其余弧七十八度推之亦如前法又十二度之弧为前六宗率之十五邉形也其余五形如三边四邉五邉六边十邉形亦如前法作此既毕即大测表之大段全具矣何者首得者四十五分其次为一度三十分又次为二度一十五分如此常越四十五分而得一率乃至九十度皆然所少者其中之各第一以至四十四分也今欲求初度一分以至四十五分如何其法以四十五分弧之半一三○八九六用第二第三法半之得二十二分三十秒之弧其半为六五四四九又半前弧得一十一分一十五秒之弧其半为三二七二四半夫二十二分三十秒之前弧倍于一十一分十五秒之后弧而前半亦倍于后半盖繇初度之与弧切近畧似相合为一线故也则用同比例法【即三率法】以二十二分三十秒之弧为第一率以其半六五四四九为第二率设十分之弧为第三率而得第四率为二九○八八再用此法得一分之弧为二九○九弱既得一分即用前法推之可至一十五分此外更用前三要法推之以至九十度
其求切线皆用三率法
以余半为第一率以半为第二率以半径为第三率而得第四切线
如三十度之弧其余半八六六○二五四为第一率其半五○○○○○○为第二率半径一○○○○○○○为第三
率则得第四率五七七三五○二
其求割线亦用三率法
以余半为第一率半径为第二率又为第三率而得割线第四率
如前戊乙为三十度之弧其余半甲丙八六六○二五四为一率半径甲戊一○○○○○○○为二率又以半径甲乙为第三率而得甲丁一一五四七○○五为三十度弧之割线
其求割线之约法不用三率而用加减法
如上乙己弧二十度其切线为乙戊余
弧为己丙七十度半之得己丁三十五
度即截乙庚弧与己丁等次作乙辛切
线得数以加乙戊切线即两切线并为戊乙辛切线与甲戊割线等
其求矢法以余半减半径得小矢
如丙丁弧五十度余弧甲丁四十度其余半丁戊即己乙为六四二七八七六以减乙丙千万得己丙矢
已上所述皆逺西法也彼自度以下逓析为六十今中厯递用百析为便故须会通前表为百分之表其会通法如西六十分即中之百分半之三十分即五十分又半之十五分即二十五分以五为法西三分即中五分次用倍法六分即十分九分即十五分十二分即二十分如是以至六十
【三 六 九 十二 十五 十八 二十一 二十四 二十七 三十五 十 十五 二十 二十五 三十 三十五 四十 四十五 五十】【三三 三六 三九 四二 四五 四八 五一 五四 五七 六十五五 六十 六五 七十 七五 八十 八五 九十 九五 百】通表法书各度之四种割圆线中西法皆同所不同者分也其分数书五分用其三分之率书十分用其六分之率如是逓至于百所阙者每二率相距少其间四率耳则用加减法求之
如二十四度○三分即中五分也其小数【小者十万为半径也】四○七五三又二十四度○六分即中十分也其小半四○八三三其差八十五分之得十六为一差以加于前小半即得四○七六九为中厯二十四度六分之半再加一差得四○七八五为七分之半三加得四○八○一为八分之半四加得四○八一七为九分之半五加得四○八三三为十分之半合前率矣如是逓加之得六十与百分相通之全表西法每二率各有差其差大抵半度而一更也若差数有畸零不尽者如西表二十四度二十七分之半为四一三九○又二十四度三十分之半为四一四六九其差得七十九五分之得十五又五分之四为一差通之则从中表二十四度四十五分首加一差
二十四度四十五分 四一三九○
【差法】一五 五之四
四十六分 【加一差】 四一四○五 五之四四十七分 【加二差】 四一四二一 五之三四十八分 【加三差】 四一四三七 五之二四十九分 【加四差】 四一四五三 五之一五十○分 【加五差】 四一四六九
如上有畸零者满半收为一不满去之
考表法 作表未必无误其考之之法
如表书七十七度一十八分其切线为四四三七三四九九此率如属可疑则以前后各二率考之
表用篇第五
表用一 有弧数求其正
如三十七度五十四分之弧求其正查本度本分表得六一四二八五三
又如三十七度五十四分四十六秒求其半查本度本分之半为六一四二八五三又取次率五十五分之半为六一四五一四八相减得差二二九五【若表上有差率即取本差】此差以当六十秒用三率法以六十秒为第一率以二二九五差为二率以四十六秒为三率而求四率得一七五九以加所取之前半六一四二八五三共得六一四四六一二即所求
系凡求切线割线同上法
次系有正弧求余视本弧同位之余度分向正弧表上取其正